1、42.1直線與圓的位置關(guān)系第一課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系提出問(wèn)題“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”是唐朝詩(shī)人王維的詩(shī)句，它描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象如果我們把太陽(yáng)看成一個(gè)圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽(yáng)落山的圖片問(wèn)題1：圖片中，地平線與太陽(yáng)的位置關(guān)系怎樣？提示：(1)相離，(2)相切，(3)相交問(wèn)題2：結(jié)合初中平面幾何中學(xué)過(guò)的直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓有幾種位置關(guān)系？提示：3種，分別是相交、相切、相離問(wèn)題3：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系導(dǎo)入新知1直線與圓有三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)公共點(diǎn)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)相離沒(méi)有公共

2、點(diǎn)2.直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式000化解疑難判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般常用幾何法，因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算煩瑣，書(shū)寫(xiě)量大，易出錯(cuò)，幾何法則較簡(jiǎn)潔，但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關(guān)系時(shí)，常用代數(shù)法直線與圓位置關(guān)系的判斷例1若直線4x3ya0與圓x2y2100有如下關(guān)系：相交；相切；相離，試分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一：(代數(shù)法)由方程組消去y，得25x28axa29000.(8a)2425(a2900)36a290 000.當(dāng)直線和圓相交

3、時(shí)，0，即36a290 0000，50a50；當(dāng)直線和圓相切時(shí)，0，即a50或a50；當(dāng)直線和圓相離時(shí)，0，即a50.法二：(幾何法)圓x2y2100的圓心為(0,0)，半徑r10，則圓心到直線的距離d.當(dāng)直線和圓相交時(shí)，dr，即10，50ar，即10，a50.類(lèi)題通法直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷(3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系活學(xué)活用1直線xky10與圓x2y21的位置關(guān)系是()A相交B相離C相交或相切D

4、相切答案：C2若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)答案：C切 線 問(wèn) 題例2過(guò)點(diǎn)A(1,4)作圓(x2)2(y3)21的切線l，求切線l的方程解(12)2(43)2101，點(diǎn)A在圓外法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程是x1，不滿足題意設(shè)直線l的斜率為k，則方程為y4k(x1)，即kxy4k0.圓心(2,3)到切線l的距離為1，解得k0或k，因此，所求直線l的方程y4或3x4y130.法二：由于直線l與圓相切，所以方程組只有一解消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程(1k2)x2(2k22k4)xk22k40，則(2k22k4)

5、24(1k2)(k22k4)0，解得8k26k0，即k0或k，因此，所求直線l的方程為y4或3x4y130.類(lèi)題通法1過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程yy0或xx0.2過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的求法設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為xx0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條一般不用聯(lián)立方程組的方法求解活學(xué)活用1直線xym0與圓

6、x2y2m相切，則m的值為()A0或2B2C. D無(wú)解答案：B2圓x2y24x0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案：D弦 長(zhǎng) 問(wèn) 題例3已知圓的方程為x2y28，圓內(nèi)有一點(diǎn)P(1,2)，AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為的弦(1)當(dāng)135時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫(xiě)出直線AB的方程解(1)法一：(幾何法)如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OCAB.由已知條件得直線的斜率為ktan 1351，直線AB的方程為y2(x1)，即xy10.圓心為(0,0)，|OC|.r2，|BC|，|AB|2|BC|.法二：(代數(shù)法)當(dāng)135時(shí)，直線AB的方程為y2(x1)，即yx

7、1，代入x2y28，得2x22x70.x1x21，x1x2，|AB|x1x2|.(2)如圖，當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，OPAB.kOP2，kAB，直線AB的方程為y2(x1)，即x2y50.類(lèi)題通法求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法(1)幾何法：如圖，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有2d2r2，即|AB|2.(2)代數(shù)法：如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|y1y2|(直線l的斜率k存在)活學(xué)活用求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且被定圓x2y225截得的弦長(zhǎng)為8的直線的方程解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)

8、點(diǎn)P的直線方程為x3，代入x2y225，得y14，y24，所以弦長(zhǎng)為|y1y2|8，符合題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為yk(x3)，即kxy3k0.由已知，得弦心距為3，所以3，解得k，所以此直線的方程為y(x3)，即3x4y150.綜上所述，所求直線的方程為x30或3x4y150.典例過(guò)點(diǎn)A(3,1)和圓(x2)2y21相切的直線方程是()Ay1Bx3Cx3或y1 D不確定解析由題意知，點(diǎn)A在圓外，故過(guò)點(diǎn)A的切線應(yīng)有兩條當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則直線方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由于直線與圓相切，所以d1，解得k0，所以切線方程為y1.當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，x

9、3也符合條件綜上所述，所求切線方程為x3或y1.答案C易錯(cuò)防范1解題時(shí)只考慮所求直線的斜率存在的情況，而忽視了斜率不存在的情況，而錯(cuò)誤地選A；若只考慮斜率不存在的情形，而忽視了斜率存在的情況，而錯(cuò)誤地選B.2過(guò)一點(diǎn)求圓的切線時(shí)，首先要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以此來(lái)確定切線的條數(shù)，經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線，求解中若只求出一個(gè)斜率，則另一條必然斜率不存在成功破障已知圓C：(x1)2(y2)24，則過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程為_(kāi)答案：5x12y450或x3隨堂即時(shí)演練1直線x2y10與圓2x22y24x2y10的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交但直線不過(guò)圓心 D相交且直線過(guò)圓心答案：C

10、2設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0)，且與圓x2y21相切，則l的斜率是()A1 BC D答案：C3(全國(guó)乙卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_(kāi)答案：44過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與圓C：x2y25相切的直線方程是_答案：x2y505已知圓C：x2y28y120，直線l：axy2a0.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2時(shí)，求直線l的方程答案：(1)(2)7xy140或xy20. 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1直線l：xy10與圓C：x2y24x2y10的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交且過(guò)圓心 D相交但不過(guò)圓

11、心答案：D2過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2y24y0所截得的弦長(zhǎng)為()A. B2C. D2答案：D3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x4y50與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為()A3 B2C. D1答案：B4由直線yx1上的點(diǎn)向圓C：x2y26x80引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A1 B2C. D3答案：C5已知圓的方程為x2y26x8y0，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)P(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A10 B20C30 D40答案：B二、填空題6(山東高考)圓心在直線 x2y0上的圓 C與 y軸的正半軸相切，圓 C截x 軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C 的標(biāo)

12、準(zhǔn)方程為_(kāi)答案：(x2)2(y1)247已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_(kāi)答案：(x1)2y228已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上直線l：yx1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)答案：xy30三、解答題9已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長(zhǎng)為2，求圓C的方程解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，圓心到直線yx的距離為|m|.由半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)的關(guān)系得9m272m2，m1，所求圓C的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.10已知圓C：(x1)2(y2)22，過(guò)點(diǎn)P(2，1)作圓C的切