1、第十一章 梁的位移計算,梁的位移計算,工程實例,2,梁的位移計算,工程實例,3,梁的位移計算,工程實例,本章對平面彎曲下梁變形的基本概念、基本方法以及 簡單靜不定梁進行簡要介紹。,4,梁的位移計算,撓度、轉角及其相互關系,撓曲線：梁變形后的軸線。,在小變形情況下，任意橫 截面的形心位移是指方向的 線位移，截面形心垂直于軸線 方向的線位移稱為撓度,y A,q,B x,x,v,l,向上為正，向下為負,v = f ( x),撓曲線方程,彎曲變形時，橫截面繞中性軸轉動的角度稱為轉角, = ( x),轉角方程,逆轉為正，順轉為負,5,梁的位移計算,q,B,A,x,v,l,dv tg = dx,橫截面的轉

2、角與撓曲線在該截面處的斜率近似相等， 即撓曲線方程的一階導數為轉角方程。,6,梁的位移計算,曲率公式,撓曲線微分方程,q,B,1M ( x) = ( x) EI z,A,x,v,l,撓曲線為一平面曲線，其上任一點的曲率,1,=,d v 2 dx, dv 1 + dx ,2,2, ,3,2,d v 2 dx,dv 2 1+ ( ) dx ,3 2,2,M ( x) = EI z,微小量,撓曲線微分方程,7,梁的位移計算,在小變形情況下,dvM = 2 dxEI z,2,正負號與彎矩符號規(guī)定及所取坐標系有關,y,M 0,d v 0 2 dx,2,y,M 0,d v 0 2 dx,2,O,2,x,O

3、,x,d vM = 2 dxEI z,撓曲線近似微分方程,8,梁的位移計算,積分法求梁的位移,d vM ( x) = 2 dxEI z,2,dvM ( x) ( x) = = dx + C dxEI z, M ( x) v( x) = dx dx + Cx + D EI z,C,D 為積分常數，由梁的位移約束條件確定。,撓曲線近似微分方程通解的積分常數確定以后，就得 到了撓曲線方程和轉角方程，這種求梁變形的方法稱為積 分法。,9,梁的位移計算,確定積分常數的條件有兩類：邊界條件和變形連續(xù)條件。,邊界條件：位于梁支座處的截面，其撓度或轉角常為零 或為已知,y,l,x,y,l,x,固定鉸鏈支座,固

4、定端約束,x = 0, v = 0,x = l, v = 0,v = 0 x = 0 =0 ,10,梁的位移計算,變形連續(xù)條件：位于梁的中間截面處，其左右極限截面處 的撓度和轉角相等。在中間鉸鏈位置左右極限截面的撓度 相等。,y,2l 3 l,x,邊界條件,變形連續(xù)條件,2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3,2 x = l , v1 = v2 ,1 = 2 ; 3,11,梁的位移計算,思考：,用積分法計算圖示梁的撓度和轉角，其邊界條件和 連續(xù)條件是什么？,y,q,x,l,a,x = a+l v = 0 = 0,答：邊界條件 x = 0 v = 0,連續(xù)性條件 x =

5、l,v1 = v2,12,例,如圖所示懸臂梁，在自由端受集中力作用，設為 常量，試求梁的最大撓度和最大轉角。,解 、建立撓曲線近似微分方程,取坐標系如圖所示，彎矩方程,P,y,l,x,M ( x) = P (l x) = P ( x l ),d v P( x l ) = 2 dxEI z,2,x,、積分求通解,PP x = ( x l )dx =( lx) + C EI zEI z 2,2,13,例,2,PP x = ( x l )dx =( lx) + C EI zEI z 2 32 P x lxP v = ( x l )dxdx =( ) + Cx + D EI zEI z 62,、確定積

6、分常數,P,x,x=0 =v=0 C =D=0,、轉角方程和撓曲線方程,P x =( lx) EI z 2,2,3,y,l,x,2,P x lx v=( ) EI z 62,、確定最大撓度和最大轉角 max,Pl = 2 EI z,2,Pl v= 3EI z,3,14,例,求簡支梁撓曲線方程，已知，EI為常數。,解,、建立撓曲線微分方程,y,q,d v M ( x) 1 11 2 =( qlx qx ) 2 dxEI zEI z 22,、積分求通解,2,11 2 M ( x) = qlx qx 22,A,ql 2,B x,x,l,ql 2,ql 2 q 3 EI z = x x + C 46

7、ql 3 q 4 EI z v = x x + Cx + D 1224,15,例,ql 2 q 3 EI z = x x + C 46,y,q,ql 3 q 4 EI z v = x x + Cx + D 1224,、確定積分常數,A,B x,ql 2,x=0,v=0,3,x=l,D=0,v=0,ql 2,x,l,ql C=, 24,、轉角方程和撓曲線方程,q l 2 1 3 l =( x x ) EI z 4624,3,qx l 2 1 3 l v=x )( x EI z 122424,16,3,例,求簡支梁最大撓度，已知，EI為常數。,解,、建立撓曲線微分方程,y,a,F,b,A,x1,x

8、2,l,C,B x,a F l,b M 1 ( x1 ) = F x1 l,b F (0 x1 a ) l,b M 2 ( x2 ) = Fx2 F ( x2 a ) l,(a x2 l ),d v b EI 2 = Fx1 dxl,2,2,(0 x1 a ),d v b EI 2 = Fx2 F ( x2 a ) dxl,(a x2 l ),17,例,、分兩段積分,b 2 EI 1 =Fx1 + C1 2l,b 3 EIv1 = Fx1 + C1 x1 + D1 6l,y,bF 2 F2 EI 2 =x2 ( x2 a ) + C2 2l2,a,F,b,A,b F l,B x,a F l,x

9、1,x2,l,C,bF 3 F3 EIv2 =x2 ( x2 a ) + C 2 x2 + D2 6l6,、確定積分常數,x1 = 0, v1 = 0,x2 = l , v2 = 0,x1 = x2 = a ,v1 = v2 1 = 2,Fb 22 C1 = C2 = (l b ) 6l,D1 = D2 = 0,18,例,、轉角方程和撓曲線方程,bFx1 2 2 2 Fb 2 22 EIv1 =( x1 l + b ) EI 1 =( x1 l + b ) 6l 6l bF3l 2222 3 x2 l + b ( x2 a ) EI 2 = 6lb bF 3 2l 23 EIv2 = x2 l

10、 + b ( x2 a ) 6lb,、求最大撓度,設：ab,則最大撓度在AC段。最大撓度處截面的轉角為零。,3 2,1 = 0,x0 =,l b 3,2,2,vmax,Fbl b =1 2 9 3EI l ,2,2,19,梁的位移計算,疊加法求梁的位移,在小變形和材料服從胡克定律的條件下導出撓曲線 近似微分方程,d vM ( x) = 2 dxEI z,2,此方程為線性方程,外力和彎矩之間也為線性關系,撓度和轉角和外力 之間為線性關系,當梁上作用幾種載荷時，各載荷同時作用引起變形， 等于各載荷單獨作用引起的變形的代數和疊加原理。,疊加法求梁的變形,20,梁的位移計算,梁在簡單載荷作用下的變形,

11、21,梁的位移計算,22,梁的位移計算,23,梁的位移計算,24,梁的位移計算,25,梁的位移計算,思考：,應用疊加法求梁的位移，必須滿足的條件是什么？,答：小變形，材料符合胡克定律。,26,梁的位移計算,4,3,已知圖1B點的撓度和轉角分別為 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 圖2C截面的轉角為多少？,q,A,l,B,ql / 8 EI,3,q,A,B,C,l,l,27,例,如圖所示簡支梁，已知，試利用疊加法求vc,解,將荷載分解為兩組,q,F,A,l/2,l,C,B,q,A,l,B,4,l/2,F,A,l,B,3,5ql vc1 = 384EI,5qlFl vc = vc1

12、+ vc 2 = 384EI 48EI,4,3,Fl vc 2 = 48EI,28,例,如圖所示懸臂梁，已知，試利用疊加法求vB,解 B為自由端，CB段無內力， 梁變形后CB段必保持為直線,q(l / 2)ql =vC = 8EI128EI 33 q (l / 2)ql C = = 6 EI48 EI,4,4,q,A,l/2,C C,C,l,B,v B1,vB2,v B1,ql = vC = 128 EI,4,4,vB 2,llql = tan C = C = 2296 EI,4,4,29,4,qlql7ql vB = vB1 + vB 2 = = 128EI 96EI384EI,例,如圖所示

13、外伸梁，已知，試利用疊加法求vD,解,D為自由端，BD段無內力， 梁變形后BD段仍保持為直線,將AB段視為簡支梁，查表：,B,Fl = 16 EI,2,B,A,C,F,l /2,B,B,D,l /2,a,v D = a B,Fl a = 16 EI,30,2,梁的位移計算,梁的剛度條件 提高粱剛度的主要措施,一、梁的剛度條件,vmax v , max ,v,許用撓度,許用轉角, ,一般軸,滑動軸承,吊車梁,v = (0.0003 0.0005)l = (0.003 0.005)rad v = (0.0013 0.0025)l,31,例,機床主軸的支撐和受力可簡化為如圖所示的外伸梁， 其中 P

14、為由于切削而施加于卡盤上的力，P2 為齒輪間1 的相互作用力。主軸為空心圓截面，外徑 D = 80mm ， la 內徑 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ， 1 P2 = 1kN ，材料的彈性模量為 E = 200GPa 。規(guī)定 主軸的許用轉角和許用撓度為：卡盤處的撓度不超過 43 兩軸承間距的 1 / 10 ，軸承處的轉角不超過 1 / 10 rad 。 試校核主軸的剛度。,P2,A,C,P 1,B,D,l /2,l /2,a,32,例 ,解,Iz =,D,4,64,(1 ) = 1.885 10 mm,4,6,4,B,A,C,P2,l /2,B,B

15、,D,P2l 4 B ( P2 ) = = 0.265 10 rad 16 EI Z,2,l /2,a,B,vD ( P2 ) = B ( P2 )a = 2.65 10 mm,3,P al 4 1 B ( P1 ) = 0.707 10 rad 3EI Z,Pa 3 1 vD ( P ) =(l + a ) = 8.84 10 mm 1 3EI Z,2,A,C,P 1,D,l /2,l /2,a,vD = vD ( P ) + vD ( P2 ) = 6.19 10 mm1,3, B = B ( P1 ) + B ( P2 ) = 0.442 10 rad ,4,vD v 5= 1.548

16、10 l l ,滿足剛度要求,33,梁的位移計算,二、提高粱剛度的主要措施,增大截面慣性矩,因為各類鋼材的彈性模量比較接近，采用優(yōu)質鋼材對 提高彎曲剛度意義不大，所以一般選擇合理的截面形狀以 增加慣性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空 心圓軸等。,盡量減少梁的跨度或長度,因為梁的撓度和轉角分別與梁跨度的立方和平方成 正比，所以減少梁的跨度是提高粱的剛度的主要措施。,34,梁的位移計算,增加支撐,35,梁的位移計算,改善受力情況,改善受力情況可以減小彎矩，從而減小梁的撓度和轉角。,P,y,l,x,ql v= 3EI z,ql v= 8 EI z,36,4,y,q,x,l,4,梁的位移計算

17、,簡單靜不定梁,梁支座約束力的數目超出了獨立的平衡方程數目， 因而僅靠平衡方程不能求解靜不定梁。,q,A,B,l,37,梁的位移計算,變形比較法 比較基本靜定系和原超靜定系統(tǒng)在多余約束處 的變形，寫出變形協調條件進行求解。,將處約束去掉,基本靜定系 靜定基,相當系統(tǒng),A,l,B,加上及約束力,變形協調條件,3,4,q,A,vB = 0,MA,RB lql vB =0 3EI 8 EI,RB,B,l,q,A,B,38,3 RB = ql 8,梁的位移計算,本章小結,撓曲線、撓度、轉角、撓曲線方程、轉角方程,v = f ( x), = ( x),dv tg = dx,撓曲線微分方程,d v 2 dx,dv 2 1+ ( ) dx ,3 2,2,M ( x) = EI z,d vM = 2 dxEI z,39,2,梁的位移計算,積分法求梁的位移,邊界條件和連續(xù)條件,dvM (