1、四柱坐標系與球坐標系簡介庖丁巧解牛知識巧學一、柱坐標系定義：如圖1-4-1，建立空間直角坐標系O-xyz，設P是空間任意一點，它在Oxy平面上的射影為Q，用(,)(0,02)來表示點Q在平面Oxy上的極坐標.這時點P的位置可用有序數(shù)組(,z)(zR)表示.這樣，就建立了空間的點與有序數(shù)組(,z)之間的一種對應關系，把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數(shù)組(,z)叫做點P的柱坐標，記作P(,z)，其中0,02,-z+.圖1-4-1空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(,z)之間的變換公式為 要點提示 柱坐標系又稱半極坐標系，它是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的.二、

2、球坐標系定義：如圖1-4-2，建立空間直角坐標系O-xyz，設P是空間任意一點，連結OP，記|OP|=r,OP與Oz軸正向所夾的角為，設P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為.這樣點P的位置就可以用有序數(shù)組(r,)表示.這樣，空間的點與有序數(shù)組(r,)之間就建立了一種對應關系，把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系或空間極坐標系，有序數(shù)組(r,)叫做點P的球坐標，記作P(r,)，其中r0,0,02.空間點P的直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,)之間的變換關系為圖1-4-2 要點提示 在測量實踐中，球坐標中的角稱為被測點P(r,)的方位角，90-稱為高低角

3、.三、坐標系的建立1.當圖形中有互相垂直且相交于一點的三條直線時，可以利用這三條直線直接建系;2.有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點的三條直線，但是圖形中有一定的對稱關系（如正三棱錐正四棱錐正六棱錐等），則可以利用圖形的對稱性建立空間坐標系來解題;3.有些圖形沒有互相垂直且相交于一點的三條直線，但是有兩個互相垂直的平面，我們可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且相交于一點的三條直線，建立空間坐標系. 深化升華 當描述點的位置只用長度來形容不夠時,要考慮用角度來表示;如果用一個角度不夠,就用兩個角度來表示,來分別建立適當?shù)目臻g坐標系.問題探究問題1 分析在柱坐標系,球坐標系和空間直角坐標系

4、中刻畫空間中點的位置的方法,探討有何異同?探究:它們都是三維的坐標，球坐標與柱坐標都是在空間直角坐標基礎上建立的.在直角坐標中，需要三個長度：(x,y,z)，而在球坐標與柱坐標中，既需要長度，也需要角度.它們是從長度、方向來描述一個點的位置，需要(,z)或者(r,).空間直角坐標：設點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一地確定了一個有序數(shù)組x，y，z.這組數(shù)x，y，z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標,縱坐標和豎坐標.(如圖1-4-3

5、所示）圖1-4-3坐標為(x,y,z)的點M通常記為M(x,y,z).這樣，通過空間直角坐標系，就建立了空間的點M和有序數(shù)組(x,y,z)之間的一一對應關系.如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，則x=y=z=0等.幾種三維坐標互相不同，互相有聯(lián)系，互相能夠轉化,它們都是刻畫空間一點的位置，只是描述的角度不同.典題熱題例1如圖1-4-4，請你說出點M的球坐標.圖1-4-4思路分析：抓住球坐標定義.解:連結OM，記|OM|=R,OM與Oz軸正向所夾的角為，設M在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最

6、小正角為.這樣點M的位置就可以用有序數(shù)組(R,)表示.答案：M(R,). 誤區(qū)警示 字母與平時表示不一樣,容易出錯.例2經(jīng)過若干個固定和流動的地面遙感觀測站監(jiān)測，并通過數(shù)據(jù)匯總，計算出一個航天器在某一時刻的位置，離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，此時經(jīng)度為80，緯度為75.試建立適當?shù)淖鴺讼?，確定出此時航天器點P的坐標.思路分析：在赤道平面上，選取地球球心為極點，以O為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立平面極坐標系，在此基礎上，取以O為端點且經(jīng)過北極的射線Oz（垂直于赤道平面）為另一條極軸，如圖1-4-5建立一個球坐標系.圖1-4-5解：在赤道平面上，選取地球球心為極點，

7、以O為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立球坐標系.由已知航天器位于經(jīng)度為80，可知=80，由航天器位于緯度75，可知=90-75=15，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.點P的球坐標為(8 755,15,80). 深化升華 在球坐標系中，它的三度與前面所學的球的一些基本知識是有著密切的聯(lián)系的.（1）經(jīng)線與經(jīng)度：地球球面上從北極到南極的半個大圓叫做經(jīng)線，規(guī)定經(jīng)過英國格林威治天文臺舊址的經(jīng)線為0經(jīng)線.一個地方的經(jīng)度是指經(jīng)過當?shù)亟?jīng)線的所在半平面和0經(jīng)線所在半平面之間的夾角的度數(shù)，以0經(jīng)線為基準，向東度量的為東經(jīng)，向西度量的

8、為西經(jīng).如東經(jīng)30,西經(jīng)60等.（2）緯線與緯度：與地軸（通過北極和南極的直線）垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線，其中大圓叫做赤道.一個地方的緯度是指當?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0緯線；以赤道為基準，向北度量為北緯，向南度量為南緯.如北緯25,南緯23.5等.例3已知長方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為AB=14,AD=6,AA1=10,以這個長方體的頂點A為坐標原點，以射線AB、AD、AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體頂點C1的空間直角坐標,球坐標,柱坐標.解：如圖1-4-6,此題是考查空間直角坐標,球坐標,柱坐標的概念，

9、要能借此區(qū)分三個坐標，找到它們的相同和不同點.圖1-4-6C1點的(x,y,z)分別對應著CD、BC、CC1,C1點的(,z)分別對應著CA、DAC、CC1，C1點的（r,)分別對應著AC1、A1AC1、BAC.C1點的空間直角坐標為(14,6,10)，C1點的柱坐標為(,arctan,10)，C1點的球坐標為(,arctan). 深化升華 另外，點B的空間直角坐標為(14,0,0)，柱坐標為(14,0,0)，球坐標為(14,0)；點A1的空間直角坐標為(0,0,10)，柱坐標為(0,0,10)，球坐標為(10,0,0).例4設地球的半徑為R，在球坐標系中，點A的坐標為(R,45,70)，點B的坐標為(R,45,160)，求A、B兩點的球面距離.思路分析：要求A、B兩點間球面距離，要把它放到AOB中去分析，只要求得AOB的度數(shù)和AB的長度，就可求球面距離.解：如圖1-4-7，OB=R，由點A、B的球坐標可知BOO=45，AOO=45，這兩個點都在北緯90-45=45圈上，