1、一、填空題（每空3分,共30分),考試題解析,解 由于,得特征值:,又A-1=,2.設矩陣A= ,當a取_值時,A可以唯一分解為GGT,其中G為下三角矩陣.,1.設矩陣A= ,則(A)=_,Cond(A)1=_.,所以A1=5,A-11=5/7.,解 令,解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a.,5.設(x)=x3+x2-3,則差商3,32,33,34=_.,3.向量x=(x1,x2,x3)T,試問|x1|+|2x2|+|x3|是不是一種向量范數_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一種向量范數_.,是 不是,4.求 的Newton迭代格式為_.,1,6.設l0(x),l1(x)

2、,l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點的三次插值基函數,則 =_.,(x-2)3,7.設S(x)= 是以0,1,2為節(jié),解 (1)因為00,所以(x)僅在(1,2)內有零點,而當10,故(x)單調.因此方程(x)=0有唯一正根,且在區(qū)間(1,2)內.,點的三次樣條函數,則b=_c=_.,解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得,二、(13分)設函數(x)=x2-sinx-1 (1)試證方程(x)=0有唯一正根; (2)構造一種收斂的迭代格式xk=(xk),k=0,1,2,計 算精度為=10-2的近似根; (3)此迭代法的收斂階是多少?說明之.,-2 3

3、,(2)構造迭代格式:,由于|(x)|=| |1,故此迭代法收斂.,(3)因為0/2,所以(),取初值x0=1.5, 計算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983.,0,故,此迭代法線性收斂(收斂階為1).,三、(14分)設線性方程組,(1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)討論這兩種迭代法的收斂性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計算時, 預估誤差x*-x(10) (取三位有效數字).,(2)因為A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacob

4、i法收斂,SOR法當01時收斂.,解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為,(3)由(1)可見B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經計算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有,四、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得,H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x),令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2

5、0.5x(x-1)(x-2),(1)試建立一個三次插值多項式H3(x),使?jié)M足插值條件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;,(2)設y=(x)在0,2上四次連續(xù)可微,試確定插值余項R(x)=(x)-H3(x).,令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;,令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2 +2.5x+2,由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可設,五、(12分)試確定參數A,B,C及,使數

6、值積分公式,4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3,有盡可能高的代數精度,并問代數精度是多少?它是否是Gauss公式?,解 令公式對(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,則有,R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2),構造函數(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2),于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0,64/5=A4+C4,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2,容易驗證公式對(x)=x5仍精確成立，故其代數精度為5，是Gauss公式。,六、(12分)設初值問題,(1)試證單步法,解 (1)由于,是二階方法.,(2)以此法求解y=-10y, y(0)=1時,取步長h=0.25,所得數值解yn是否穩(wěn)定?為什么?,于是有,而,所以有,當h=0.25時,有,所以此單步方法為二階方法.,(2)此單步方法用于方程y=-10y,則有,所以,所得數值解是不穩(wěn)定的.,七、(6分)設