1、10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,1,第十三講,第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,2,乃魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是(H.Nyquist)于1932年提出，于1940年后得到廣泛應(yīng)用。,5.4乃魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù),利用開環(huán)乃氏圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。從代數(shù)判據(jù)脫穎而出，故可說是一種幾何判據(jù)。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,3,特點(diǎn): 1. 作圖、計(jì)算量小。 2.開環(huán)頻率特性曲線可按開環(huán)頻率特性繪制，也可以全部由實(shí)驗(yàn)方法繪制。不需知道系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)。 3.便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響 。,10-7-20,

2、控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,4,4. 還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備相對穩(wěn)定性。以及進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑。 乃氏判據(jù)在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中有很重要的地位，它是整個(gè)頻率域控制理論的基石。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,5,乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)將開環(huán)頻率響應(yīng),與閉環(huán)特征方程,在右半s平面內(nèi)極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)，這種方法無須求出閉環(huán)極點(diǎn)，從而得到廣泛應(yīng)用。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,6,5.4.1米哈伊洛夫定理,設(shè)n次多項(xiàng)式 有p 個(gè)根位于復(fù)平面的右半平面，有 q個(gè)根位于原點(diǎn)，其余 (n-p-q)個(gè)根位于左半面，則當(dāng)以 代入 并令 從0連續(xù)增大到 時(shí),復(fù)數(shù) 的角

3、增量應(yīng)等于,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,7,為了證明這個(gè)定理，我們研究一個(gè)一次式,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,8,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,9,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,10,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,11,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,12,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,13,因此，p個(gè)右根的總角變化量為p(-/2),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,14,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,15,推論：如果n次多項(xiàng)式D(s)的所有零點(diǎn)都位于復(fù)平面的左半面，則當(dāng)以s=j代入D(s

4、) 并命從0連續(xù)增大到時(shí)，復(fù)數(shù)D(s)的角連續(xù)增大,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,16,5.4.2乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,17,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,18,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,19,令 用S=j代入F(s) ,且從0變化時(shí)，F(xiàn)(j) 的角增量為,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,20,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,21,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,22,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,23,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,24,（1）如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定

5、的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是，當(dāng) 從 0時(shí)，開環(huán)頻率特性在復(fù)數(shù)平面的軌跡G(j) 不包圍(-1,j0),推論：,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,25,（2）如果開環(huán)特征多項(xiàng)式有p個(gè)根在S右半平面，q個(gè)根在原點(diǎn)，其余(n一Pq）個(gè)根在S左半面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理：,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,26,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,27,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,28,如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：當(dāng) 從0變化時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的每一個(gè)極點(diǎn)使 開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處的每一個(gè)極點(diǎn)使,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

6、分析,29,例5-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和K的關(guān)系。,解：,開環(huán)傳遞函數(shù),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,30,開環(huán)系統(tǒng)乃氏圖是一個(gè)半徑為 ， 圓心在,的圓。,當(dāng),時(shí)，,系統(tǒng)穩(wěn)定。,當(dāng),時(shí)，,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,31,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,32,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,33,例5-10 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于,和,相對大小。試畫出該系統(tǒng)的乃奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,乃氏圖在第三象限，相對,點(diǎn)的角增量,1）,系統(tǒng)穩(wěn)定。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分

7、析,34,乃氏圖在第二象限，相對,點(diǎn)的角增量,2）,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,35,5.4.3乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一表述,令從 0,相應(yīng)得出的乃氏圖是與 從0 +得出的乃氏圖對于實(shí)軸對稱的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,36,(1) 當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，乃氏判據(jù)可表述為： 如果對應(yīng) +封閉的乃氏曲線不包圍（1，j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,37,(2),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,38,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,39,例：以5-9為例,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)

8、定性分析,40,輔助曲線的作法： 以為半徑，從乃氏曲線的起始端沿逆時(shí)針方向，繞過90作圓。這個(gè)圓就是輔助曲線，是開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,41,例5-6 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)具有下列,試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,開環(huán)傳遞函數(shù)：,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),)，,奈奎斯特圖表明，,軌跡順時(shí)針方向包圍,點(diǎn)一次，,在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,(,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,42,例5-7 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)： 試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),)，因此。開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,軌跡逆時(shí)針方向包圍,點(diǎn)一次，

9、,，這說明,這是一個(gè)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。,(,沒有零點(diǎn)位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,43,習(xí)題:,5-3,5-10,5-11,5-21,作 業(yè),P191,5-22,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,44,5.5由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在復(fù)平面上繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 來判斷穩(wěn)定性還是比較麻煩的，采用對數(shù)頻率特性，則使繪制曲線的工作大為簡化 。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,45,由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實(shí)際上是乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，即利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來判別系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定

10、性，而伯德圖又可通過實(shí)驗(yàn)獲得，因此在工程上獲得了廣泛的應(yīng)用。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,46,5.5.1對數(shù)幅相頻率特性穩(wěn)定性判據(jù),圖5-34表示的G(j)曲線1對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,曲線2對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,47,開環(huán)穩(wěn)定，對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 特征是： 當(dāng) 當(dāng),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,48,用開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,1、如果系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)閉環(huán) 時(shí)的穩(wěn)定條件是：只要對數(shù)幅頻特性 的所有角頻率 值下， 曲線還在 這條線之上(即相角都大于 ），系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。,10-7-20,

11、控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,49,或者說，當(dāng)相頻率特性曲線 達(dá)到 時(shí)， 在0分貝以上，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,50,2、如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的特征方程有p個(gè)根在右半平面內(nèi)，它在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定的充要條件是： 在所有 的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線 在 線上的正負(fù)穿越之差為 p/2 次，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,51,正穿越當(dāng) 增大時(shí)，相角增加的穿越。從 開始的正穿越為半次正穿越。正穿越用 表示。 負(fù)穿越當(dāng) 增大時(shí)，相角減少的穿越。從 開始的負(fù)穿越為半次負(fù)穿越。負(fù)穿越用 表示。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,52,半

12、次正穿越：,如果 時(shí)， 為 ，奈氏圖向第三象限去。,半次負(fù)穿越：,如果 時(shí)， 為 ，奈氏圖向第二象限去。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,53,對照圖如下：,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,54,例 1圖537所示的四種開環(huán)對數(shù)幅相頻率特性，試判別其閉環(huán)后的穩(wěn)定性。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,55,解：圖537（a)，p=0，即開環(huán)無右特征根，在 的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,圖537（b)，p=1，即開環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)右特征根，在 范圍內(nèi)，只有半次正穿越，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,圖537（d)，p=2，在 的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為 ，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,

13、圖537（c)，p=2，在 的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,56,例2: 某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試用對數(shù)幅頻特性穩(wěn)定判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,解：,該開環(huán)傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的.根據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),時(shí)，,即穩(wěn)定的條件變?yōu)?當(dāng),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,57,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,58,當(dāng),得,即,在對數(shù)坐標(biāo),的幾何中心點(diǎn)上；而,點(diǎn)在單位圓上，,當(dāng),時(shí)，,通過（-1，j0)點(diǎn)，,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,此時(shí),即系統(tǒng)臨界放大倍數(shù)為,系統(tǒng)穩(wěn)定,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,59,但運(yùn)用勞斯判據(jù)，得

14、到系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：,穩(wěn)定條件為：,即,兩種方法得到的結(jié)論不一致，原因在于計(jì)算對數(shù)幅頻特性用的是漸近線，因此有誤差。只要 ，兩種方法的結(jié)論趨向一致。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,60,5.6控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,控制系統(tǒng)能正常工作的前提條件是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，除此之外，還要求穩(wěn)定的系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度即有一定的相對穩(wěn)定性。用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 曲線繞(1，j0）點(diǎn)的情況來進(jìn)行穩(wěn)定性判斷的。,控制系統(tǒng)能正常工作的前提條件是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，除此之外，還要求穩(wěn)定的系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度即有一定的相對穩(wěn)定性。用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，是通過系統(tǒng)的開環(huán)

15、頻率特性 曲線繞(1，j0）點(diǎn)的情況來進(jìn)行穩(wěn)定性判斷的。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,61,通常所說的相對穩(wěn)定性。它通過G(j)相對點(diǎn)（1，j0）的靠近程度來度量，其定量表示為相位裕量和幅值裕量 。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,62,5.6.1相對穩(wěn)定性指標(biāo),1.相位裕量,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,63,2.幅值裕量,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,64,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,65,穩(wěn)定系統(tǒng) 不穩(wěn)定系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定,幅值裕量應(yīng)當(dāng)大于6分貝。,為了得到滿意的性能，相位裕量應(yīng)當(dāng)在,之間，,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分

16、析,66,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,Stable System,Unstable System,0,dB,0,dB,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,67,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,-1,1,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,-1,1,Stable System,Unstable System,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分

17、析,68,一階或二階系統(tǒng)的幅值裕量為無窮大，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計(jì)及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。,一階或二階系統(tǒng)的幅值裕量為多少？,例3 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求：K=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的幅值裕量20logKg=20dB，相位裕量,解：,即,相位穿越頻率,幅值裕量,在,處的開環(huán)對數(shù)幅值為,根據(jù)K=1時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù),相位裕量,增

18、益穿越頻率,截止頻率, 由題意知,驗(yàn)證是否滿足相位裕量的要求。 根據(jù),的要求，則得：,不難看出，,就能同時(shí)滿足相位裕量和幅值裕量的要求。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,74,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,75,關(guān)于相位裕量和幅值裕量的說明,1、控制系統(tǒng)的 ,Kg，是開環(huán)乃氏曲線對 的靠近的度量，因此，這兩個(gè)裕量可用作設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,76,2、為了得到滿意的性能在工程實(shí)踐中， 之間,幅值裕量應(yīng)當(dāng)大于6dB(Kg2),10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,77,3、對于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng) 和Kg都為正時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。為了確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的儲(chǔ)備，必須同時(shí)考慮這兩項(xiàng)指標(biāo)，只用其中一項(xiàng)不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,10-7-20,控制系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,78,4、對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)幅頻特性與相頻特性之間有確定的對應(yīng)關(guān)系， 的相位裕量，意味著在開環(huán)波德圖上，對數(shù)幅頻率特性曲線在 處的斜率必須大于 -40 ，在大多實(shí)際系統(tǒng)中，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，要求 上的斜率為 -20，如果 處的斜率為-40，系統(tǒng)即使穩(wěn)定，相位裕量也較小，相對