1、2.3.3 空間向量運算的坐標表示1掌握空間向量線性運算及數(shù)量積的坐標表示(重點)2能夠利用空間向量的坐標運算求空間向量的長度與夾角(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1空間向量運算的坐標表示閱讀教材P36P37例5以上的部分，完成下列問題1空間向量運算的坐標表示設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則：(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空間兩個向量和的坐標等于它們對應(yīng)坐標的和(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空間兩個向量差的坐標等于它們對應(yīng)坐標的差(3)a(x1，y1，z1)(R)，即，實數(shù)與空間向量數(shù)乘的坐標等于實數(shù)與向量對應(yīng)坐標的乘積(4)設(shè)a(x1，y1，z

2、1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2.即，空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積之和2空間向量的坐標與起點和終點坐標的關(guān)系若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)1已知a(1,2，3)，b(5，7,8)，則2ab的坐標為()A(7，3,2)B(6，5,5)C(6，3,2)D(11，12,13)【解析】2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)【答案】A2在空間直角坐標系中，點A的坐標為(1,2,3)，點B的坐標為(4,5,6)，則_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答

3、案】(3,3,3)教材整理2空間向量平行、垂直、長度、夾角的表示閱讀教材P37例5以下P38練習以上的部分，完成下列問題設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則(1)若b0，則aba bx1x2，y1y2，z1z2(R)；(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.(a0，b0)1已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，則a與b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【解析】ab030300，ab.【答案】A2與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標為()A(1,3,2)B(1，3,2)C(1,3，2)D(1，3，2)【解析】(1,3，2)(1，3

4、,2)，(1,3，2)與(1，3,2)平行【答案】C質(zhì)疑手記預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型空間向量的坐標運算(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，則ab_，2ab_.【自主解答】ab(21，12,31)(3,1,2)，2ab2(2，1,3)(1,2，1)(4，2,6)(1,2，1)(3，4,7)【答案】(3,1,2)(3，4,7)(2)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值為_【自主解答】ab，bk a，即k(1,0,2)(6,21,2)，2或3.【答案】 或 (3)已知a(1

5、,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，則ab2c_.【導(dǎo)學號：】【自主解答】ab2c(1,0，1)(1，2,2)2(2，3，1)(4,8，5)【答案】(4,8，5)數(shù)量積的坐標運算已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab)【精彩點撥】根據(jù)數(shù)量積的計算公式運算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5，4)(2,1,8)(6,10，8)(2,1,8)(4,9，16)3ab3(3,5，4)(2,1,8)(9,15，12)(2,1,8)(11,16，4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空間向量數(shù)量積即將

6、對應(yīng)坐標乘積的求和，牢記運算公式是正確計算的關(guān)鍵再練一題1本例條件不變，求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5，4)(3,5，4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐標運算解決長度和夾角問題已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積【精彩點撥】根據(jù)平行四邊形的面積S|sin (，)，所以必須求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2，1，3)，(1，3,2)設(shè)，cos ，0，sin ，S|sin 7，即以，為鄰邊的平行四邊形的面積為7.1空間中的距離和夾角問題可

7、轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角問題求解這體現(xiàn)了向量的工具作用引入坐標運算，可使解題過程程序化2平行四邊形面積的計算公式：SABCD.再練一題2已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求cosBAC；(2)求ABC中BC邊上中線的長度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosBAC.(2)設(shè)BC中點為D，則D點坐標為，又A(2,0,2)，|.即ABC中BC邊上中線的長度為.坐標形式下的平行與垂直問題已知空間三點A(2,0,2)、B(1,1,2)、C(3,0,4)設(shè)a，b.【導(dǎo)學號：】(1)設(shè)|c|3，c，求c；

8、(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.【精彩點撥】利用向量平行與垂直的直角坐標表示運算即可【自主解答】(1)(2，1,2)且c，設(shè)c(2，2)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.向量平行與垂直問題主要有以下兩種類型：一是判斷平行與垂直；一是利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題解決這種問題時要注意：適當引入?yún)?shù)參與運算；建立關(guān)于參數(shù)的方程；準確運算再練一題3設(shè)a(1,5，1)，b

9、(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.【解】(1)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a與b不共線，所以有解得k；(2)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)0，即k|a|2(3k1)ab3|b|20，而|a|227，|b|238，ab8，所以27k8(3k1)1140，解得k.探究共研型空間直角坐標系的特征探究1在建立空間直角坐標系時，空間向量的坐標運算與坐標原點的位置有關(guān)系嗎？【提示】(1)空間向量的坐標運算與坐標原點的位置選取無關(guān)，因為一個確定的幾何體，其“線線夾角”、“點點距離”是固定的，坐

10、標系的位置不同，只會影響其計算的繁簡(2)進行向量的運算時，在能建系的情況下盡量建系轉(zhuǎn)化為坐標運算，一般按照右手系建系，如圖所示探究2用坐標表示空間向量的一般步驟是什么？【提示】用坐標表示空間向量的一般步驟是：(1)觀察圖形、認識圖形，并分析圖形特征(2)建系找出三條兩兩垂直的直線作軸，建立空間直角坐標系(3)計算利用向量的線性運算用基底表示目標向量(4)結(jié)果根據(jù)線性運算表示不確定向量的坐標如圖2313所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，以D為坐標原點，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系過B作BMAC1于M，求點M的坐標圖2313【精彩點撥】寫出A，B，

11、C1的坐標，設(shè)出M的坐標，利用條件BMAC1及M在AC1上建立方程組，求解【自主解答】法一：設(shè)M(x，y，z)，由圖可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，則(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.M.法二：設(shè)(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，0即a2a2a2a20，解得，.M點坐標.構(gòu)建體系1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對空間任意的兩個向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)若a與b共線，則.

12、()(2)若a(x，y，z)則|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，則點B的坐標為(x1，y1，z1)()【解析】(1)若b0則不成立(2)|a|.(3)因需知A點坐標方可求點B坐標【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1，1)，b(3，2,1)，則下列結(jié)論正確的是()Aab(5，1,1)Bab(1，1,0)C2b(6，4,2)Dab9【解析】ab(5，1,0)，ab(1,3，2)，2b(6，4,2)，ab23(2)11(1)3.【答案】C3已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，則x的值為()A3B4C5D6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】C4已知a(2，1,2)，b(0，1,4)，則ab_.3b_，ab_.【解析】ab(20，11,24)(2，2,6)3b3(0，1,4)(0，3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(