1、課題：2.3.3.5直線系問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.直線系概念：一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系。它的方程稱直線系方程，直線系方程中除含變量x 、y以外，還有可以根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)。2.幾種常見的直線系方程： （1）過已知點P（x0，y0）的直線系方程：yy0k（xx0）（k為參數(shù)）或x=x0(k不存在時）（2） 斜率為k的直線系方程ykxb（b是參數(shù)）()（3） 與已知直線AxByC0平行的直線系方程AxBy0（為參數(shù)） （4） 與已知直線AxByC0垂直的直線系方程BxAy0（為參數(shù)）（5） 過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的

2、交點的直線系方程：A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（為參數(shù)）不含l2。確定平面上一條直線，需要兩個獨立且相容的幾何條件，如果只給定一個條件，直線的位置不能完全確定。另一方面，如果只給定一個幾何條件時，二元一次方程的兩個獨立的系數(shù)中，只有一個被確定，那個未被確定的系數(shù)是參數(shù)。利用直線系方程求直線，可以簡化計算過程，欲求適合某兩個幾何條件的直線的方程，可先用其中一個條件寫出直線系方程，再用另一個條件來確定參數(shù)值。用直線系方程求適合某一條件的直線時，應(yīng)注意不能被該方程表示的直線(例如，過定點(x1，y1)的直線系方程，不能表示直線x-x1=0)，若它符合已知條件，應(yīng)收入；過兩直線交點的直線系方

3、程有兩種形式。其中A1xB1yC1（A2xB2yC2）0 較簡單些，但它不能包含直線l2：A2xB2yC20本身。而方程m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0，(m，n不同時為零的實數(shù))，可以避免這個缺陷。例1：求與直線3x4y7=0垂直，且在x軸上的截距為-2 的直線。解法一：利用“垂直”寫出直線系方程，再用“在x軸上截距為-2”這個條件確定參數(shù)。和直線3x+4y7=0垂直的直線系方程是4x3ym=0(其中m是參數(shù))。直線方程是4x3y+8=0解法二：利用“在x軸上截距為-2”這個條件寫出直線系，再用“垂直”這個條件確定參數(shù)。此直線過點(-2，0)用點斜式寫出直線系y0=k(x2)，

4、即y=k(x2)，(斜率k是參數(shù))。k1k=-1所以直線方程為例2：求和直線3x4y+2=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。解法一：先用“平行”這個條件寫出直線系方程，再用“面積”這個條件確定參數(shù)。與直線3x+4y2=0平行的直線系方程是3x4y+m=0,令x=0,得y軸的載距 , 令y=0,得x軸的載距,因為直線與坐標(biāo)軸圍面的面積為24，所以|，所以m=所求直線l的方程為3x4y24=0解法二：先用“面積”這個條件寫出直線系方程，再用“平行”這個條件確定參數(shù)。設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則由畫草圖可知a、b同號，因為S= 所以ab=48, 又因為直

5、線=1與直線3x4y+2=0平行，所以所求直線為3x4y24=0 例3：已知兩直線l1x20， l24x3y50及定點A(-1，2)求：直線l，它過l1、l2的交點且與點A的距離等于1。解法一：先利用“過l1、l2的交點”寫出直線系方程，再根據(jù)“l(fā)與A點距離等于1”來確定參數(shù)。過l1、l2交點的直線系方程是(x2)(4x3y5)0，是參數(shù)?；癁?1+4)x+3y(25)0得=0。代入方程，得x2=0。因為直線系方程中不包含l2，所以應(yīng)檢查l2是否也符合所求l的條件。l2也符合要求。答：所求直線l的方程是x+2=0和4x+3y+5=0解法二：l1、l2的交點為(2，1)，過這點的直線系方程為y1

6、=k(x2)，斜率k是參數(shù)。即kxy(2k1)0，再根據(jù)方程的直線與點A(-1，-2)的距離為1，來確定參數(shù)k。得所求直線l的方程為4x3y5=0。因為直線系方程不包括與y軸平行的直線，所以應(yīng)檢查過點(2，1)且與y軸平行的直線x=2是否符合所求直線l的條件。點A(-1，-2)到直線x=-2的距離為1，所以直線x=-2即x+2=0也符合l的要求，應(yīng)該補上，答：所求直線l的方程是x2=0和4x3y5=0例4：在ABC中，AB邊所在直線方程為4xy12=0，高BH所在直線方程為5x-4y15=0，高AH所在直線方程為2x+2y-9=0。求：第三條高CH所在直線方程與AC邊所在直線方程。解：(1)H

7、為垂心，CH過BH與AH的交點，且與AB垂直，過BH與AH交點的直線系方程為(5x-4y-15)+(2x+2y-9)=0，即(52)x(-42)y(-159)0 與AB垂直，(即CHAB)，代入，得CH所在直線方程是3x-12y-10(2)直線AC是過AB與AH的交點且與BH垂直的直線，可設(shè)AC方程是過AB與AH交點的直線系方程(4x+y-12)+(2x2y9)=0，即(42)x+(1+2)y(-12-9)=0，ACBH，5(42)(-4)(12)0，得=-8。代入得直線AC的方程是4x+5y-200。例5：已知2a-3b1(a，bR)，求證：直線axby-5=0必過一個定點，并求出此定點。代

8、入axby-50，得(x-10)b(3x2y)=0b是實數(shù)，方程可看作過兩相交直線交點的直線系方程，這兩條直線分別是l1x100，l23x+2y0，這兩條直線的交點坐標(biāo)為P(10，-15)。P點坐標(biāo)代入直線axby-50的左邊得a10b(-15)-5=5(2a-3b)-5=51-50(注意2a-3b1是已知條件)，直線axby5=0過定點P(10，15)。例6：已知直線l12x-3y-10，l2：3xy-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求過l1、l2交點且與l3垂直的直線方程。分析：過兩直線l1，l2的交點的直線系方程為l1l20(R)，根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求出即可。解：設(shè)為待定系數(shù)，則所求直線系方程是(2x-3y-1)+(3xy-2)=0，整理為(23)x(-3-)y(-1-2)=0方程與直線l3垂直，其系數(shù)關(guān)系為7(23)-7(-3-)=0=-5/4 式代入，所求直線為7x7y6=0。例7：長度為1的線段AB(B在A的右邊)在x軸上移動，點P(0，