1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,在前面關(guān)于隨機變量及其分布的討論中，我們較仔細地討論了隨機變量的概率分布，我們看到隨機變量的概率分布(分布函數(shù)或分布列和概率密度)是隨機變量的概率性質(zhì)最完整的刻劃，是能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的.,但是在許多實際問題中，求概率分布不是一件容易的事；另一方面，有時不需要知道隨機變量的概率分布，而只需要知道它的某一方面的性質(zhì).,例如，考察某種大批生產(chǎn)的元件的壽命，如果知道了它的概率分布，就可以知道壽命在任一指定的界限內(nèi)的元件的百分率有多少，這對該種元件的壽命狀況提供了一幅完整的圖景.,下面我們將看到，根據(jù)這一分布我們可

2、以算出元件的平均壽命值m，這個數(shù)m雖然不能對元件的壽命狀況提供一個完整的刻劃，但卻在一個重要方面，且往往是人們最為關(guān)心的一個方面，刻劃了元件壽命的狀況，因而在應(yīng)用上有極重要的意義.,類似的情況很多，比如我們在了解某一個行業(yè)的經(jīng)濟狀況時，我們首先關(guān)心的恐怕會是其平均收入，這給了我們一個總的印象；至于收入的分布狀況，除非為了特殊的研究目的，倒反而不一定是最重要的了.,另一類重要的數(shù)字特征，是衡量一個隨機變量(或其分布)取值的散布程度.,例如，兩個行業(yè)工人的平均收入大體相近，但一個行業(yè)中工人收入的分配較平均，即大多數(shù)工人的收入都在平均值上下不遠處，其“散布”?。涣硪粋€行業(yè)則相反，其收入遠離平均值者很

3、多，“散布”較大，這二者的實際意義當(dāng)然很不同.,又如生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的兩個工廠，各自的產(chǎn)品平均說來都能達到規(guī)格要求，但一個工廠的波動小，較為穩(wěn)定，另一個工廠則波動大，有時質(zhì)量超標(biāo)準(zhǔn)，有時則低于標(biāo)準(zhǔn)不少，這二者的實際后果當(dāng)然也不同.,上面提到的平均值和散布程度，是刻劃隨機變量性質(zhì)的兩類最重要的數(shù)字特征.,對于多維隨機變量而言，則還有一類刻劃各分量之間的關(guān)系的數(shù)字特征.,在本章中，我們將要介紹的數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩.,引例 考試的平均成績問題,假設(shè)有n名同學(xué)參加了某種考試，考試后的成績是：第一個同學(xué)得了a1分，第二個同學(xué)得了a2分，第n個同學(xué)得了an分，那么他們這種考試的

4、平均成績,引例 考試的平均成績問題,假設(shè)有n名同學(xué)參加了某種考試，考試后的成績是：第一個同學(xué)得了a1分，第二個同學(xué)得了a2分，第n個同學(xué)得了an分.,將他們的成績進行了匯總，發(fā)覺得x1分的人有n1個，得x2分的人有n2個，得xk分的人有nk個，其中n1+n2+nk=n，那么他們這種考試的平均成績,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,4.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,4.1.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,定義4.1 設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 P(X=xk)=pk，k=1,2, 若級數(shù),絕對收斂，即,則稱該級數(shù)為離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為EX或E(X)，即,當(dāng),發(fā)散時，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.,

5、定義中的絕對收斂條件是為了保證式,不受求和的次序的改變而影響其和的值.,如果把x1,x2,xk,看成是x軸上質(zhì)點的坐標(biāo)，而把p1,p2,pk,看成是相應(yīng)質(zhì)點的質(zhì)量，質(zhì)量總和為,則式,表示質(zhì)點系的重心坐標(biāo).,常用的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,例1 (01分布)設(shè)隨機變量X的分布列為,求EX.,解 EX=0(1p)+1p=p.,由前面可知，事件A的示性函數(shù)IA服從01分布：,故EIA=P(A)，即任意事件的概率等于它的示性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,例2 (二項分布)設(shè)隨機變量X的分布列為,求EX.,解,例3 (泊松分布)設(shè)隨機變量X的分布列為,求EX.,解,由此看出，泊松分布的參數(shù)就是相應(yīng)隨機變量X的數(shù)學(xué)期

6、望.,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,4.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,4.1.2 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,對以f(x)為概率密度的連續(xù)型隨機變量X而言，值x和f(x)dx分別相當(dāng)于離散型隨機變量情況下的“xk”和“pk”，故由離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義可知，連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望可定義如下：,定義4.2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分,絕對收斂，即,則稱該廣義積分為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為EX或E(X)，即,EX的物理意義可理解為以f(x)為質(zhì)量密度的一維連續(xù)質(zhì)點系的重心坐標(biāo).,常用的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,例4 (均勻分布)設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,求E

7、X.,解,這個結(jié)果是可以預(yù)料的，因為X在a,b上服從均勻分布，它取值的平均值當(dāng)然應(yīng)該是a,b的中點.,例5 (指數(shù)分布) 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,其中是正常數(shù)，求EX.,解,例6 (正態(tài)分布)設(shè)連續(xù)型隨機變量XN(,2)，求EX.,解 EX=. 正態(tài)分布中的參數(shù)，表示相應(yīng)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.,例7 (柯西分布)設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,求EX.,解 由于,故X的數(shù)學(xué)期望不存在.,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,4.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,4.1.3 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,4.1.3 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,關(guān)于一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有下面的定理,定理4.1 設(shè)Y=g(X)，

8、g(x)是連續(xù)函數(shù). ()若X是離散型隨機變量，分布列為P(X=xk)=pk， k=1,2,，且,則有,()若X是連續(xù)型的隨機變量，概率密度為fX(x)，且,則有,根據(jù)上面的這個定理4.1可知，當(dāng)求Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望時，不必知道Y的分布，只需知道X的分布就可以了.,例8 設(shè)隨機變量X的概率密度為,求E(sinX).,當(dāng)然，我們可以先求出Y=sinX的概率密度fY(y)，再由連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求出 E(sinX). 不過，這樣計算要麻煩得多.,解,例9 設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X(單位為噸)，它在2000,4000上服從均勻分布的，又設(shè)每售出這種商品

9、一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出去而囤積于倉庫，則每噸需要浪費保養(yǎng)費1萬元，問需要組織多少貨源，才能使國家的收益最大.,解 設(shè)y為預(yù)備出口的該種商品的數(shù)量，由已知條件X在2000,4000上服從均勻分布可知，這個數(shù)量y可以只考慮介于2000與4000之間的情況.,用Z表示國家的收益(單位為萬元)，則由題設(shè)可得,下面求EZ，并求使EZ達到最大的y值.,故當(dāng)y=3500時，EZ達到最大值8250.因此，組織3500噸這種商品是最佳的決策.,定理4.1還可以推廣到二維及二維以上的隨機變量函數(shù)的情況.以二維隨機變量函數(shù)Z=g(X,Y)為例，有下面的定理.,定理4.2 設(shè)Z=g(X,Y)，g

10、(x,y)是連續(xù)函數(shù) ()若(X, Y)是二維離散型隨機變量，分布列為 pij =P(X=xi ,Y=yj)，i,j=1,2, 且,則有,()若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x,y)，且,則有,從式,可以得到由(X,Y)的概率密度f(x,y)求X與Y的數(shù)學(xué)期望的公式：,例10 設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且都服從N(0,2)分布，求,解 由二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的公式，有,例10 設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸、y軸和直線x+y+1=0所圍城的區(qū)域(圖4.1)，求EX，E(3X+2Y)，E(XY).,圖4.1,解 (X,Y)的概率密度為,于是,4.1.4 隨

11、機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),() EC=C，C為常數(shù)；,() E(CX)=CEX，C為常數(shù)；,() E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn ；,()若X1,X2,Xn相互獨立，則 E(X1X2Xn)= EX1EX2EXn.,在上面的性質(zhì)中，均假設(shè)數(shù)學(xué)期望是存在的.,證 ()將C看成一個離散型隨機變量，有分布列P(C=C)=1.于是 EC=CP(C=C)=C1=C.,()設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x).令 Y=g(X)=CEX,則由上面的定理4.1得,故 E(CX)=CEX.,離散型隨機變量的情況，可類似證明.,()對n=2的情況給出證明，一般的情況不難用數(shù)學(xué)歸納法推得.,先考慮連

12、續(xù)型隨機變量的情況,設(shè)(X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x,y)，則由上面的定理4.2立即可得,下面考慮離散型隨機變量的情況,設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機變量，分布列為 pij =P(X=xi ,Y=yj)，i,j= 1,2,則由上面的定理4.2立即可得,()對兩個連續(xù)型隨機變量的情況給出證明，離散型隨機變量的情況，可類似證明；一般的情況不難用數(shù)學(xué)歸納法推得.,設(shè)X，Y是兩個連續(xù)型隨機變量，概率密度分別fX(x)和fY(y)，于是由X與Y相互獨立得(X,Y)的概率密度f(x,y)可由fX(x)和fY(y)的乘積來表達，從而,例12 設(shè)XB(n,p)，求EX.,解 在前面的例2中

13、，我們已經(jīng)直接用數(shù)學(xué)期望的定義求得了EX=np.現(xiàn)在利用數(shù)學(xué)期望的的性質(zhì)()來作.,設(shè)在n重伯努利試驗中，成功的次數(shù)為Y，而在每次試驗成功的概率為p，則Y與X有相同的分布，從而有相同的數(shù)學(xué)期望.,若設(shè)Xi表示在第i次試驗成功的次數(shù)，i=1,2,n，則Xi的分布列為,且,由Xi的分布列得，EXi=p ，于是由數(shù)學(xué)期望的的性質(zhì)()得到,與例2的作法比較可見，本例的作法要簡單得多.,例13 設(shè)r個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在樓的任一層下電梯的概率是相同的.如果到樓的某一層無乘客下電梯，電梯就不停車，求直到乘客都下完時電梯停車的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.,解 設(shè)Xi表示在第i層電梯停車的次數(shù)，

14、i=1,2,n，則,易見,下面求Xi的分布列(i=1,2,n),由于每個人在樓的任一層下電梯的概率均為1/n，故他不在樓的某一層下電梯的概率均為,故r個人同時不在第i層下電梯的概率為,即,從而,于是,因此,在這個例子中，若r=10，n=10，則EX=6.5，即電梯平均停車6.5次.,在上面的例子中，把一個比較復(fù)雜的隨機變量X拆成n個比較簡單的隨機變量Xi的和，然后通過這些比較簡單的隨機變量的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)()求得了X的數(shù)學(xué)期望，這樣的方法是概率論中常采用的方法.,例 同時擲四顆勻質(zhì)的骰子，求所得點數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望？,解 設(shè)X表示四顆骰子的點數(shù)之和，則X是一個離散型的隨機變量，它的

15、取值是4,5,24.,設(shè)Xi表示第i顆骰子的點數(shù)，i=1,2,3,4,，則,例13 設(shè)N個人進行驗血，有兩種方案：,(1)對每個人的血液逐個化驗，共需進行N次化驗；,(2)將采集的每個人的血液分成兩份，按k個人一組混合后進行化驗(設(shè)N為k的倍數(shù))，若呈陰性反應(yīng)，則認為k個人的血都是陰性反應(yīng)；如果混合后血液呈陽性反應(yīng)，則需要對k個人的另一份血液逐個進行化驗，這時k個人的血總共要化驗k+1次.,假設(shè)所有人的血液呈陽性反應(yīng)的概率都是p，且各次的化驗結(jié)果是相互獨立的，試說明適當(dāng)選取k可使第二個方案減少化驗次數(shù).,解 設(shè)X表示第二個方案下的總化驗次數(shù),解 設(shè)X表示第二個方案下的總化驗次數(shù)，Xi為第i個分組的化驗次數(shù)(i=1,2,N/k)，則,EX表示第二個方案下的總的平均化驗次數(shù)，EXi表示第i個分組的平均化驗次數(shù)(i=1,2,N/k).,下面先求EXi.,按照第二個方案的規(guī)定，Xi可能取兩個值： 混合血液呈陰性時，Xi=1； 血液呈陽性，Xi=k+1.,因為“Xi=1”表示“組內(nèi)k個人的血都是陰性”這個事件，又由于各次的化驗結(jié)果是相互獨立的，所以,于是,因此,這就是第二個方案下的總的平均化驗次數(shù)，由此可知，只要選k使,即,就可以使第二個方案減少化驗次數(shù).,當(dāng)q已知時，