1、1,高級(jí)運(yùn)籌學(xué),商學(xué)院管理科學(xué)與信息管理系,Advance Operation Research,Tel主講：徐選華,E-mail： ,2,目 錄,第1章：對(duì)策論,第2章：模糊集合,第3章：模糊關(guān)系,第4章：模糊綜合評(píng)判,第5章：模糊模式識(shí)別,第6章：模糊聚類分析,第8章：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析,第9章：非線性規(guī)劃（選講）,第7章：層次分析法,3,第 1 章：對(duì)策論,1.1 基本概念 一、競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象 各種比賽：體育、棋類等比賽。 政治方面：外交談判。 經(jīng)濟(jì)方面：貿(mào)易談判，爭(zhēng)奪市場(chǎng)，各種經(jīng)營(yíng)競(jìng)爭(zhēng)等。 工業(yè)生產(chǎn)方面：多創(chuàng)價(jià)值。 例1-1.齊王與田忌賽馬：他們各有上等、中等、下等馬各一

2、匹，且同級(jí)馬，齊王比田忌強(qiáng)些。雙方 約定：每局比賽三場(chǎng)，每負(fù)一場(chǎng)者應(yīng)付1千金，且每匹馬都應(yīng)參加比賽。結(jié)果田忌以 O：3 輸了后請(qǐng)教孫臏，則采用如下策略反敗為勝，結(jié)果田忌二勝一負(fù)，實(shí)得1千金。,4,例1-2.兩小孩玩石頭、剪刀、布的游戲：甲、乙兩小孩出的手勢(shì)都有可能是石頭、剪刀、布， 若他們?nèi)纬龅氖謩?shì)如下圖，則乙小孩二勝一負(fù)。,二、競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象的特點(diǎn) 雙方均有理智：為擊敗對(duì)手，可隨機(jī)應(yīng)變改變策略(多為保密)。 實(shí)力強(qiáng)者：穩(wěn)扎穩(wěn)打以優(yōu)勢(shì)取勝。 實(shí)力弱者：避開(kāi)對(duì)方優(yōu)勢(shì)鋒芒，打擊對(duì)方弱點(diǎn)取勝。 在經(jīng)濟(jì)管理對(duì)策中：把非理智的客觀世界設(shè)想為“理智人”，并與之斗爭(zhēng)。 三、對(duì)策論的概念 研究競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象的一種定量分

3、析理論。 三、對(duì)策論的起源 1 我國(guó)古代圍棋比賽和17世紀(jì)歐洲國(guó)際象棋比賽 形成模擬模型。 2 1912年，數(shù)學(xué)家翟墨羅發(fā)表論文“把集合論應(yīng)用于象棋的博奕理論”， 把對(duì)策從模擬模型抽象為數(shù)學(xué)模型。 3 第一次世界大戰(zhàn)期間，產(chǎn)生了軍事對(duì)策(戰(zhàn)役、戰(zhàn)略、軍事裝備等)。 4 1944年，馮諾意曼與經(jīng)濟(jì)學(xué)家摩根斯特恩合寫“對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為”,把對(duì)策論應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理。 5 我國(guó)公元前六世紀(jì)(春秋)“孫子兵法”13篇。,5,四、對(duì)策 參加競(jìng)爭(zhēng)的各方為了取勝，而研究出一組對(duì)付對(duì)方的策略。 五、對(duì)策的三要素 1 局中人：參加競(jìng)爭(zhēng)，并有決策權(quán)的各方(二人或多人)。 如：齊王和田忌。 2 策略：在一局競(jìng)爭(zhēng)中，每一

4、局中人均有供他選擇的實(shí)際可行的完整行動(dòng)方案。 如例1-1，齊王有6個(gè)策略：(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上) 田忌有6個(gè)策略：(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上) 如例1-2，甲小孩有3個(gè)策略：石頭，剪刀，布 乙小孩有3個(gè)策略：石頭，剪刀，布 3 一局對(duì)策的得失：局中人的得失。叫支付函數(shù)，對(duì)有限策略集，叫支付矩陣。 如：齊王出策略(上中下)，田忌出策略(中上下)， 則齊王二勝一負(fù)，贏得1千金；田忌損失1千金。 六、局勢(shì) 每個(gè)局中人從各自的策略集合中選取一個(gè)策略參加對(duì)策，形成的一個(gè)處于競(jìng)爭(zhēng)的策略組。 如：齊王選策略

5、(上中下)，田忌選策略(中上下)，構(gòu)成一個(gè)局勢(shì)(上中下)，(中上下)。 局勢(shì)的得失總和為0。 七、對(duì)策的分類,6,對(duì)策,7,1.2 支付矩陣有鞍點(diǎn)的二人有限零和對(duì)策 一、特點(diǎn) 1 策略公開(kāi)。 2 得失確定且總和為零：一方所得必為另一方所失，局中人利益沖突(對(duì)抗對(duì)策)。 3 單局競(jìng)爭(zhēng)決定勝負(fù)。 二、建模：建立支付函數(shù)，這里是支付矩陣(也叫矩陣對(duì)策問(wèn)題) 設(shè)局中人甲有m個(gè)純策略 S甲= 1,2,m，局中人乙有n個(gè)純策略 S乙= 1,2,n。 純局勢(shì)(i,j)得失為aij：當(dāng)aij0時(shí)，甲贏得aij，乙損失aij； 當(dāng)aij0時(shí)，甲損失-aij，乙贏得-aij。 構(gòu)成支付矩陣 A：,對(duì)策可寫成 G

6、= 甲，乙，S甲，S乙，A。,8,如例1-1.齊王與田忌賽馬：,則支付矩陣為：,9,如例1-2.兩小孩玩游戲：,則支付矩陣為：,10,例1-3.某單位秋季要決定冬季取暖用煤的貯量。冬季用煤貯量在較暖、正常和較冷情況下分為 10、15和20噸。設(shè)冬季煤價(jià)也隨寒冷程度而變，在上述三種情況下分別為340、420和500元/噸， 已知秋季煤價(jià)為340元/噸，冬季氣象未能予知，問(wèn)秋季合理貯煤量為多少？ 解：建模，設(shè)局中人甲為：貯煤量決策者； 局中人乙為：未來(lái)冬季氣候。 費(fèi)用總和=秋季貯煤量費(fèi)用+冬季補(bǔ)購(gòu)煤量費(fèi)用,則支付矩陣為：,11,二、求解 1 穩(wěn)妥性原則 局中人在公開(kāi)對(duì)策的前提下，都從最壞處著想，在

7、最壞的環(huán)境中爭(zhēng)取最好的結(jié)果。 例1-4 某企業(yè)決定由職工代表大會(huì)選舉行政負(fù)責(zé)人，經(jīng)提名產(chǎn)生候選人甲和乙。他們根據(jù)企業(yè)的 發(fā)展戰(zhàn)略和群眾關(guān)心的事業(yè)各自提出了企業(yè)改革的方案。甲提出了四種：1,2,3,4； 乙提出了三種：1,2,3。他們的參謀人員為使競(jìng)爭(zhēng)對(duì)本方有利，予先作了個(gè)民意抽樣 測(cè)驗(yàn)。因各方提供的不同策略對(duì)選票吸引力不同。測(cè)驗(yàn)選票經(jīng)比較后差額如下表 (單位:十張)：,問(wèn)：甲和乙在競(jìng)選中應(yīng)采用何種策略？,解：對(duì)策時(shí)，雙方均理智，且發(fā)揮主動(dòng)性。 最后，甲用2競(jìng)選，領(lǐng)先2O票優(yōu)勢(shì)； 乙只能用2競(jìng)選，縮短票數(shù)差距。 雙方均認(rèn)為只能如此，為雙方妥協(xié)結(jié)果。,支付矩陣中： 每行選最小值，這些最小值中選最大

8、值V1；,每列選最大值，這些最大值中選最小值V2；,若 V1 = V2 ，則得最優(yōu)解。,12,2 穩(wěn)妥性原則數(shù)學(xué)表達(dá)： 對(duì)甲而言是最小最大原則：從支付矩陣每行元素中取最小數(shù)，再?gòu)倪@些最小數(shù)中取最大數(shù)，得,對(duì)乙而言是最大最小原則：從支付矩陣每列元素中取最大數(shù)，再?gòu)倪@些最大數(shù)中取最小數(shù)，得,若V1=V2=VG，則穩(wěn)妥原則實(shí)現(xiàn)，VG為支付矩陣的穩(wěn)定值即鞍點(diǎn)值，對(duì)應(yīng)的純策略i*,j*為 甲、乙的最優(yōu)純策略，局勢(shì)(i*,j*)為對(duì)策的最優(yōu)解，即：,如例1-3.,甲用策略3，乙用策略3， 即 秋季購(gòu)進(jìn)煤2O噸，總費(fèi)用最低為68OO元。,13,例1-5 某廠工程師設(shè)計(jì)了三個(gè)礦石冶煉(或選礦)流程，考慮到它們

9、的所用設(shè)備和工藝環(huán)節(jié)等因素， 若付諸實(shí)施可會(huì)遇上生產(chǎn)正常和生產(chǎn)不正常兩種情況,這兩種情況的出現(xiàn)及其概率未能予知， 但三個(gè)流程在這兩種情況下的單位支付費(fèi)用已算出，如下表，問(wèn)：選用哪個(gè)流程較好?,解：有二個(gè)鞍點(diǎn)局勢(shì)(1,2)和(3,2) 甲用1，乙用2；甲用3，乙用2 最小支付費(fèi)用為：1.7(百元/噸)。 所以應(yīng)選“流程1” 或“流程3” 。,三、鞍點(diǎn)對(duì)策問(wèn)題兩個(gè)性質(zhì) 1 解的穩(wěn)定性 對(duì)策的最終結(jié)局可在支付矩陣中得到雙方均認(rèn)可的妥協(xié)， 雙方均認(rèn)識(shí)到在原有策略中存在最優(yōu)策略。 2 對(duì)策的公開(kāi)性 雙方均明確并可公開(kāi)申明參加對(duì)策的最優(yōu)策略，最優(yōu)局勢(shì)是雙方妥協(xié)的結(jié)果， 反映雙方策略的實(shí)力。,14,1.3

10、支付矩陣無(wú)鞍點(diǎn)的二人有限零和對(duì)策 一、特點(diǎn) 1 策略保密性：圖謀出奇制勝。 2 得失隨機(jī)性：某局競(jìng)爭(zhēng)的勝敗難于予料，強(qiáng)者可敗，弱者可勝。 3 多局競(jìng)爭(zhēng)性：多局競(jìng)爭(zhēng)后決定勝負(fù)。 二、建模：建立得失期望值函數(shù) 1 混合策略 設(shè)局中人甲有m個(gè)純策略 S甲=1,2,m，局中人乙有n個(gè)純策略 S乙=1,2,n。 純局勢(shì)(i,j)得失為aij，構(gòu)成的支付矩陣A無(wú)鞍點(diǎn)。G = 甲，乙，S甲，S乙，A。 設(shè)甲以 x1,x2,xm 的概率取純策略 1,2,m ， 則稱概率向量 X = (x1,x2,xm)為甲的一個(gè)混合策略，xi0，x1+x2+xm=1， 甲的混合策略集記為 S(m)； 設(shè)乙以 y1,y2,yn

11、 的概率取純策略 1,2,n ， 則稱概率向量 Y = (y1,y2,yn )為乙的一個(gè)混合策略，yi0，y1+y2+yn=1， 乙的混合策略集記為 T(n) 。 2 混合局勢(shì) (X,Y)稱為混合局勢(shì)。 3 得失期望值,15,如例1-2.兩小孩共玩了10局游戲?qū)Σ?，最后總?jì)誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)，設(shè)這10次游戲中： 甲隨機(jī)出了 3次石頭、3次剪刀、4次布，即甲采用混合策略 X = (0.3,0.3,0.4)； 乙隨機(jī)出了 0次石頭、5次剪刀、5次布，即乙采用混合策略 Y = (0,0.5,0.5)。,支付矩陣為(無(wú)鞍點(diǎn))：,得失期望值為：,所以，甲平均要輸 0.05。,16,4 最優(yōu)混合策略 定義:若 X*

12、S(m),Y*T(n)，使對(duì)所有 XS(m),YT(n),都有 E(X,Y*)E(X*,Y*)E(X*,Y), 則 X*、Y* 分別稱為甲、乙的最優(yōu)混合策略，(X*,Y*)為對(duì)策的解，E(X*,Y*)為對(duì)策值V。 例1-6 給定一個(gè)矩陣對(duì)策 G = 甲,乙,S甲,S乙,A，S甲=1,2,S乙=1,2 ，,設(shè)甲以 x,1-x 的概率取純策略 1,2；乙以 y,1-y 的概率取純策略 1, 2。得失期望值為：,求甲、乙的最優(yōu)混合策略。,解：, G無(wú)鞍點(diǎn)，兩局中人無(wú)純策略穩(wěn)定解，斗爭(zhēng)轉(zhuǎn)入策略保密， 即求最優(yōu)混合策略。, 當(dāng)甲以 x = 2/5 = 0.4 的概率選1時(shí)，其贏利期望值 E(X,Y)=4

13、， 是甲從穩(wěn)妥原則出發(fā)能達(dá)到的最大期望贏利值,而x,1-x=0.4,0.6=X*是甲的最優(yōu)混合策略， 當(dāng)x取一值時(shí)，y可取另外一值與其對(duì)抗，但當(dāng)x=2/5時(shí)，y無(wú)論取何值都無(wú)法與其對(duì)抗； 當(dāng)乙以 y = 1/2 = 0.5 的概率選1時(shí)，其損失期望值 E(X,Y)=4， 是乙從穩(wěn)妥原則出發(fā)能達(dá)到的最小期望損失值,而y,1-y=0.5,0.5=Y*是乙的最優(yōu)混合策略， 當(dāng)y取一值時(shí)，x可取另外一值與其對(duì)抗，但當(dāng)y=1/2時(shí)，x無(wú)論取何值都無(wú)法與其對(duì)抗。 故 X*=0.4,0.6，Y*=0.5,0.5 ，E(X*，Y*)=4 就是雙方都感到只能如此的最好結(jié)果。,17, 存在性定理：任意一個(gè)給定的矩

14、陣對(duì)策一定有解，局中人雙方總有一個(gè)最優(yōu)混合策略，即：,則 X*、Y* 為甲、乙的最優(yōu)混合策略，(X*,Y*)為對(duì)策的解，對(duì)策值 V=V1=V2。, 定理1：若矩陣對(duì)策值為V，則下面兩組不等式的解是局中人甲、乙的最優(yōu)混合策略：, 定理2：若 X*、Y* 為甲、乙的最優(yōu)混合策略，則對(duì)某一個(gè)i或j，有,18,5 支付矩陣的縮減：若存在優(yōu)勢(shì)策略，則支付矩陣階數(shù)可降低 對(duì)局中人甲，他希望對(duì)策的局勢(shì)值 aij 越大越好： 若 第 i 行所有元素 第 L 行所有元素，即 aij aLj，j=1,2,n， 則甲理智，必采用 i 純策略而舍去 L 純策略，不影響最優(yōu)混合策略和策略鞍點(diǎn)值。 此時(shí)稱 i 策略為對(duì)

15、L 策略的優(yōu)勢(shì)策略。 對(duì)局中人乙，他希望對(duì)策的局勢(shì)值 aij 越小越好： 若 第 j 列所有元素 第 K 列所有元素，即 aij aiK，i=1,2,m， 則乙理智，必采用 j 純策略而舍去 K 純策略，不影響最優(yōu)混合策略和策略鞍點(diǎn)值。 此時(shí)稱 j 策略為對(duì) K 策略的優(yōu)勢(shì)策略。,例1-7 設(shè)有矩陣對(duì)策,注：無(wú)鞍點(diǎn)對(duì)策時(shí)，要求決策的不是每次局中人應(yīng)選那個(gè)純策略，而是決定用多大的概率選擇 每一種純策略，以期達(dá)到能平均反映各方純策略實(shí)力的穩(wěn)妥結(jié)果。,19,三、最優(yōu)混合策略的求解方法 1 圖解法：適用于縮減后的支付矩陣為2n或m2的無(wú)鞍點(diǎn)對(duì)策問(wèn)題。,例1-8 設(shè)有下列矩陣對(duì)策，求甲、乙的最優(yōu)混合策略

16、。,解：設(shè)甲的混合策略為(x,1-x) ，乙的混合策略為(y,1-y)。得失期望值為：, 甲的期望值方程為： V = x + 6(1-x) = 6 5x V = 7x + 2(1-x) = 2 + 5x , 乙的期望值方程為： V = y + 7(1-y) = 7 6y V = 6y + 2(1-y) = 2 + 4y ,甲的最優(yōu)混合策略為(0.4,0.6,0),對(duì)策值為V=4;,乙的最優(yōu)混合策略為(0.5,0.5,0),對(duì)策值為V=4;,20,2 解析法：適用于縮減后的支付矩陣為nn方陣的無(wú)鞍點(diǎn)對(duì)策問(wèn)題。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,xn) ，乙的混合策略為(y1,y2,yn)。得失期望值

17、為：, 甲的期望值方程為：, 乙的期望值方程為：,解得甲的最優(yōu)混合策略為X*=(x1*,xn*);,解得乙的最優(yōu)混合策略為Y*=(y1*,yn*),對(duì)策值V=V*;,21,例1-9 求兩小孩玩游戲?qū)Σ叩淖顑?yōu)混合策略。, 甲小孩的期望值方程為：, 乙小孩的期望值方程為：,解得甲的最優(yōu)混合策略為 X* = (1/3,1/3,1/3), V* = 0,解得乙的最優(yōu)混合策略為 Y*=(1/3,1/3,1/3), V* = 0;,無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。得失期望值為：,甲、乙兩小孩均以1/3的同等概率取石頭、剪刀、布純策略，在不考慮

18、其它因素的前提下， 多局競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是最終和局，誰(shuí)也不占優(yōu)勢(shì)，反映雙方純策略實(shí)力相等。,22,例1-10 求齊王與田忌賽馬對(duì)策的最優(yōu)混合策略。, 齊王的期望值方程為：, 田忌的期望值方程為：,解得齊王的最優(yōu)混合策略為 X* = (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6), V* = 1,無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減。,設(shè)齊王的混合策略為(x1,x2,x3,x4,x5,x6) ，田忌的混合策略為(y1,y2,y3,y4,y5,y6)。,雙方都示以莫測(cè)，但很理智，總結(jié)局齊王得1千金，表明齊王實(shí)力略勝一籌。,解得田忌的最優(yōu)混合策略為 Y* = (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6), V* =

19、 1,23,3 拉格朗日乘子法：適用于縮減后的支付矩陣為nn方陣的無(wú)鞍點(diǎn)對(duì)策問(wèn)題。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,xn) ，乙的混合策略為(y1,y2,yn)。得失期望值為：,求出最優(yōu)混合策略和對(duì)策值，并且有：,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L 為：,解下列方程組：,24,例1-11 求下列對(duì)策的最優(yōu)混合策略。, 解下列方程組：, 解下列方程組：,解得乙的最優(yōu)混合策略為 Y* = (14/45,11/45,20/45), V* = 29/45,無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。拉氏函數(shù)為：,解得甲的最優(yōu)混合策略為 X* = (20/45,11/

20、45,14/45), V* = 29/45,25,例1-12 求下列對(duì)策的最優(yōu)混合策略。, 解下列方程組：,解得乙的最優(yōu)混合策略為 y1* = 26/35, y2* = 19/35, y3* = -2/7 0,違背概率定義 1=V* = 5/14,無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。拉氏函數(shù)為：,解析法與拉氏法不是對(duì)所有的有解支付矩陣均能得到正確答案，沒(méi)有顧及變量非負(fù)的要求。,26,4 線性規(guī)劃法：適用于縮減后的支付矩陣為 mn 矩陣的無(wú)鞍點(diǎn)對(duì)策問(wèn)題。,設(shè)甲的混合策略為(x1,x2,xm),乙的混合策略為(y1,y2,yn)。得失期望

21、值為：,這里不妨設(shè) V0，（否則可令 aij = aij + K，使得 V = V+K 0）,27, 由定理1的：,此時(shí)對(duì)甲，要求 V 取大，即 Vmax，1/v min，于是得下列 LP 數(shù)學(xué)模型：, 由定理1的：,此時(shí)對(duì)乙，要求 V 取小，即 VMin，1/v Max，于是得下列 LP 數(shù)學(xué)模型：,以上兩個(gè)數(shù)學(xué)模型互為對(duì)偶數(shù)模,解出其中一個(gè)數(shù)模的最優(yōu)解,其影子價(jià)格就是另一個(gè)數(shù)模的最優(yōu)解。,28,例1-13 求下列對(duì)策的最優(yōu)混合策略。,無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減，用 LP 方法求解。,仍無(wú)鞍點(diǎn)且不能縮減，有:,29,最優(yōu)解為：,影子價(jià)格為：,甲的最優(yōu)混合策略為:,乙的最優(yōu)混合策略為:,對(duì)策值為:,甲損

22、失 29/45，乙贏得 29/45。,30,習(xí) 題 一 1、有A,B兩個(gè)企業(yè)都想通過(guò)改革經(jīng)營(yíng)管理獲得更多市場(chǎng)銷售份額，A企業(yè)考慮的策略措施有：降低 產(chǎn)品價(jià)格；提高產(chǎn)品質(zhì)量，延長(zhǎng)保修年限；推出新產(chǎn)品。 B企業(yè)考慮的策略措施有：增加 廣告費(fèi)用；增修維修網(wǎng)點(diǎn)、擴(kuò)大維護(hù)服務(wù)；改進(jìn)產(chǎn)品維修性能。由于各自采取的策略措施 不同。通過(guò)預(yù)測(cè)，兩企業(yè)對(duì)市場(chǎng)占有份額增加數(shù)如下表：,問(wèn)：兩企業(yè)各應(yīng)采用何種最優(yōu)策略? 競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果對(duì)誰(shuí)有利？,2、某廠三種不同設(shè)備1,2,3加工三種不同產(chǎn)品1,2,3。已知這三種設(shè)備分別加工三種產(chǎn)品時(shí)， 單位時(shí)間內(nèi)創(chuàng)造的利潤(rùn)價(jià)值如下表，負(fù)數(shù)是設(shè)備消耗大于它創(chuàng)造的值。求一組合理的加工方案？,31

23、,3.甲、乙雙方談判簽定一項(xiàng)合同，甲方的最后“要價(jià)”是 25 萬(wàn)元，而乙方的“出價(jià)”是 20 萬(wàn)元， 談判限于僵局。為打破僵局，雙方約定，再各報(bào)一個(gè)價(jià)，以下述價(jià)格成交：誰(shuí)讓步多，取誰(shuí) 出的價(jià)；如果雙方讓步相同，則取雙方報(bào)價(jià)的中間值。問(wèn)：甲、乙雙方應(yīng)該如何報(bào)價(jià)？最后 的成交價(jià)是多少？,甲的最優(yōu)混合策略是要價(jià) 23 萬(wàn)元，乙的最優(yōu)混合策略是出價(jià) 22 萬(wàn)元，雙方讓步相同， 最后的成交價(jià)是 22.5 萬(wàn)元。,32,第 二 章 模糊集合,2.0 引論 一、模糊集合產(chǎn)生的原因 1、現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念。如“青年人”、“高個(gè)子”等。 2、研究模糊性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。如“做化學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“

24、炒萊”等。 3、信息科學(xué)和人工智能的發(fā)展促進(jìn)了模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。如“電視圖像的調(diào)節(jié)”等。 人腦思維活動(dòng)的特點(diǎn)之一：就是能對(duì)模糊事物進(jìn)行識(shí)別和判斷。 如：要找一個(gè)人，只知道他是“高個(gè)子，大胡子”，無(wú)須知道他的身高究竟具體是多少米， 以及臉上有多少根胡子、平均有多粗。 二、模糊性與隨機(jī)性的區(qū)別 1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。 2、隨機(jī)性：事物的概念本身是明確的，只是發(fā)生的條件不充分，使條件與事物的發(fā)生無(wú)因果 關(guān)系，從而事物的發(fā)生與否表現(xiàn)出不確定性，但有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 三、起源 1965年，(美)著名控制論教授扎德( L.A.Zadeh )發(fā)表論文“模糊數(shù)學(xué)( fuz

25、zy )”。 給定量研究客觀世界中的模糊性開(kāi)辟了新途徑。,33,2.1 模糊集合的定義 一、普通集合論知識(shí)：確定概念普通集合特征函數(shù) 1、集合的概念：符合某個(gè)確定概念的對(duì)象的全體。常用字母 A、B、C 等表示。 因此，確定概念可用集合來(lái)表示，集合是確定概念的外延。 2、論域：某議題范圍內(nèi)被討論的全部對(duì)象。常用字母 U、V、X、Y 等表示。 論域中的每個(gè)對(duì)象叫元素。常用字母 a、b、c、d 等表示。 如：中南大學(xué)的學(xué)生就可以成為一個(gè)論域。 有限論域：元素個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè)的論域。 無(wú)限論域：元素個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)的論域。 3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個(gè)集合。 用 A

26、、B、 等表示。 如論域 U =中南大學(xué)的學(xué)生，則 A = 中南大學(xué)的男學(xué)生就是論域 U 中的一個(gè)集合。 二、模糊子集的定義：模糊概念模糊集合隸屬函數(shù) 給定論域 U ，稱A是論域 U 上的模糊子集( 記為 )： 如果對(duì)xU，都有一個(gè)確定的數(shù) A(x)0,1與之對(duì)應(yīng)。 此時(shí)，映射 A(x)： U 0,1 x A(x) A(x)稱為 A 的隸屬函數(shù)； 數(shù)A(x)稱為論域U中的元素 x 對(duì)模糊子集 A 的隸屬度，表示 x 屬于 A 的程度。 特例：當(dāng)A(x)=0、1時(shí)，模糊子集 蛻化為普通集合 A ； 的隸屬函數(shù) A(x) 蛻化為 A 特征函數(shù) CA(x)，即,34,例2-1 組成一個(gè)100人的評(píng)比

27、小組，對(duì)五種商品X1,X2,X3,X4,X5進(jìn)行評(píng)比。結(jié)果是： 認(rèn)為商品X1“質(zhì)量好”的有81人，占81%=0.81；認(rèn)為商品X2“質(zhì)量好”的有53人，占53%=0.53； 認(rèn)為商品X3“質(zhì)量好”的有100人，占100%=1；認(rèn)為商品X4“質(zhì)量好”的有0人，占0%=0； 認(rèn)為商品X5“質(zhì)量好”的有24人，占24%=0.24。 對(duì)論域 U = X1,X2,X3,X4,X5(有限論域)中的每一個(gè)元素均規(guī)定了一個(gè)隸屬度： X10.81，X2 0.53，X3 0.1，X4 0 ，X5 0.24 它們確定了 U 中的一個(gè)模糊子集 A，表示商品“質(zhì)量好”這一模糊概念。,例2-2 考查某商店商品銷售利潤(rùn)的經(jīng)

28、濟(jì)效益 論域 U = 0 ，k (無(wú)限論域)表示該商品銷售利潤(rùn)額的范圍， 則表示商品銷售利潤(rùn)的“經(jīng)濟(jì)效益好”這一模糊概念的模糊子集，用以下隸屬函數(shù)表示：,其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤(rùn)效益最好時(shí)刻的利潤(rùn)率。,35,例2-3 取年齡為論域 U=0,100，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”， 表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：,若你的年齡 x = 30 歲，則,36,2.2 模糊子集的運(yùn)算： 仍記為 A (除非特別申明) 1.關(guān)系運(yùn)算：對(duì)論域 U 模糊空集 ：對(duì)xU，均有 (x)=0 模糊全集 E ：對(duì)xU，均有 E(x)=1 模糊冪集 (U) ：U 中的全體模糊子集(含

29、普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。 A = B ：對(duì)xU，均有 A(x) = B(x) A B ：對(duì)xU，均有 A(x) B(x) 2.并、交、余運(yùn)算：對(duì)論域 U 并(AB)：設(shè) A ,B (U),對(duì)xU，則 AB 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 AB(x) = MaxA(x),B(x)= A(x)B(x） 交(AB)：設(shè) A ,B (U),對(duì)xU，則 AB 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 AB(x) = MinA(x),B(x)= A(x)B(x） 余(Ac)：設(shè) A (U),對(duì)xU，則 Ac 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 Ac(x) = 1 - A(x) 例2-4 商品論域

30、U = X1,X2,X3,X4,X5，表示 “商品質(zhì)量好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， “商品質(zhì)量差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。 則：表示“商品質(zhì)量或好或差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為： AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.81,0.53,1,0.36,0.57； 表示“商品質(zhì)量又好又差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為： AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.05,0.21,0,0,0.24； 表示“商品質(zhì)

31、量不好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為： Ac = 1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24=0.19,0.47,0,1,0.76；,37,例2-5 年齡論域 U=0,100，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”,對(duì)應(yīng)的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為,則：表示“又老又年輕”這個(gè)模糊概念的模糊子集為OY：隸屬函數(shù)為,38,3.運(yùn)算性質(zhì)： 對(duì)偶律：( AB )c = Ac Bc ；( AB )c = Ac Bc 冪等律： AA = A ；AA = A 交換律： AB = BA ；AB = BA 結(jié)合律：( AB )C = A( BC ) ；( AB )C = A( BC ) 分配律：( AB

32、)C =( AC )( BC ) ；( AB )C=( AC )( BC ) 吸收律：( AB )A = A ；( AB )A = A 兩極律： A = A ；A = ；AE = E ；AE = A 還原律：( Ac )c = A 不滿足互補(bǔ)律：AAc E ， AAc 偽補(bǔ)律： AAc(x) = A(x)Ac(x) ； AAc(x) = A(x)Ac(x) 例2-6 設(shè)有模糊子集為：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 則：AAc = 0.81,0.53,1,1,0.76 E ，并且其隸屬度均大于1/2 AAc = 0.19,0.47,0,0,0.24 ，并且其隸屬度均小于1/2,39

33、,4.幾種常用的模糊算子：須同時(shí)滿足 對(duì)偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律 普通實(shí)數(shù)乘法與最大算子 M(,)： AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x) 普通實(shí)數(shù)乘法與有界和算子 M(,) ： AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x) 其中有界和 ：對(duì)a,b0,1,有 ab = mina+b,1 普通實(shí)數(shù)乘法與概率和算子 M(,) ： AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x) 其中概率和：對(duì)a,b0,1,有 ab = a+b ab 有界積與有界和算子 M(,) ： AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) =

34、A(x)B(x) 其中有界積：對(duì)a,b0,1,有 ab = max0,a+b1 例2-7 設(shè)有模糊子集為：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 ， B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。 采用算子 M(,)，得： 則：AB = 0.810.05，0.530.21，10，00.36，0.240.57 = 0，0，0，0，0 AB = 0.810.05，0.530.21，10，00.36，0.240.57 = 0.86，0.74，1，0.36，0.81,40,2.4 模糊集合與普通集合的關(guān)系：模糊集合是普通集合的推廣 1.模糊子集 A 的 水平截集 A 給定模糊子集 A(U

35、)，對(duì)0,1， 稱普通集合 A =x|xU,且 A(x)為模糊子集 A 的 水平截集。 即：A 由 U 中哪些隸屬度大于或等于 的元素組成，其特征函數(shù)為：,例2-8 五種商品X1,X2,X3,X4,X5，“質(zhì)量好”的模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )， 進(jìn)一步研究：有50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好” ，稱為“合格” ，則“合格”商品的集合為 A0.5 = X1,X2,X3 ， = 0.5 有80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好” ，稱為“優(yōu)良” ，則“優(yōu)良”商品的集合為 A0.8 = X1,X3 ， = 0.8 A0.5與 A0.8 均是A按一定水平 確定的普通子集( 截集 )

36、 。,41,2. 水平截集 A 的性質(zhì) ( AB ) = AB ； ( AB ) = AB ； 設(shè) 1,2 0,1，且 1 2 ，則 A1 A2,3. 模糊子集 A 的核 A1、支撐架 SuppA、邊界 SuppA - A1 A 的核 A1 = x|A(x)1； A 的支撐架 SuppA = x|A(x)0 ； A 的邊界 SuppA - A1 = x|0A(x)1; A0 = x|A(x)0 = U,例2-9 五種商品論域 U = X1,X2,X3,X4,X5， 模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )，則 A 的核 A1 = X3； A 的支撐架 SuppA = X

37、1,X2,X3,X5； A 的邊界 SuppA - A1 = X1,X2,X5; A0 = X1,X2,X3,X4,X5 = U,42,4. 由 A 生成的模糊子集 設(shè) A(X)，其 水平截集為 A ，,分解定理：,或用隸屬函數(shù),結(jié)論：任何模糊數(shù)學(xué)問(wèn)題，均可通過(guò)分解定理用經(jīng)典集合論方法處理； 從概念上講，模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的推廣和發(fā)展；,43, 矩形分布, 尖分布, 正態(tài)分布, 柯西分布, 梯形分布,2.5 實(shí)數(shù)域上的模糊集 論域 X = R = (-,+)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。,44,第三章 模糊關(guān)系 3.1 模糊關(guān)系的定義 從普通集合 A 到普通集合 B 的一個(gè)模糊關(guān)系 R

38、 是指： 以笛卡爾積 AB = (a,b)|aA，bB為論域的一個(gè)模糊子集 R ， 記作 R：A B ，或 R( AB ) 其隸屬函數(shù)為 R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關(guān)系 R 的程度。 R ：AB 0,1 (a,b) A(a,b) 若 A = B ，則稱 R ：AA 0,1 (a1,a2) A(a1,a2) 為 A 上的模糊關(guān)系。 例3-1 設(shè) A = 質(zhì)量好,質(zhì)量一般,質(zhì)量差 ，B = 價(jià)格高,價(jià)格中等,價(jià)格低是兩個(gè)普通集合， 則表示“質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系 R ，就是笛卡爾積 AB 上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,45,例3-3 設(shè) X，Y 為兩個(gè)坐標(biāo)軸，則表示“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y”這

39、個(gè)模糊關(guān)系 R ， 就是笛卡爾積 XY 上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,若取 x = 101，y = 1 ，則 x 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 y 的程度是：,例3-2 設(shè) A = 直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線 ，則表示這五種幾何圖形“相似關(guān)系” R ， 就是笛卡爾積 AA 上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,46,3.2 模糊矩陣 一、概念 當(dāng)論域 A、B 為有限集時(shí)，模糊關(guān)系 R 可用矩陣表示， 記為 R = (rij),0rij1，i=1,2,m; j=1,2,n 例如: “質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：,五種幾何圖形“相似” 這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：,特例：當(dāng)隸屬度為 0 和 1 時(shí)，模糊矩陣

40、變?yōu)槠胀ň仃嚒Ｈ?,47,二、幾種特殊的模糊矩陣： 表示 AB 上的“零關(guān)系”的零矩陣 O ：,(a,b)AB，o(a,b)=0 。 即 A 與 B 中任意元素之間具有關(guān)系 O 的程度為 0 。, 表示 AA 上的“恒等關(guān)系”的恒等矩陣 I ：,(a,b)AA，當(dāng)a=b時(shí),I(a,b)=1；當(dāng)ab時(shí),I(a,b)=0 。 即 A 中任意元素自己與自己具有關(guān)系 I 的程度為 1 ， 與其余元素具有關(guān)系 I 的程度為 0 。, 表示 AB 上的“全稱關(guān)系”的全矩陣 E ：,(a,b)AB，E(a,b)=1 。 即 A 與 B 中任意元素之間具有關(guān)系 E 的程度均為 1 。,48,三、模糊矩陣的運(yùn)算

41、：設(shè)有模糊矩陣 R = (rij)nm ，S = (sij)nm R 與 S 的并：RS = (rijsij) ； R 與 S 的交：RS = (rijsij) ； R 的余：Rc = (1-rij) ； R 與 S 相等：R = S ，i,j，均有 rij = sij ； R 包含于 S ：R S ，i,j，均有 rij sij 。,例如：,49,四、模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)： 冪等律：RR = R ，RR = R ； 交換律：RS = SR ，RS = SR ； 結(jié)合律：( RS )T = R( ST ) ，( RS )T = R( ST ) ； 分配律：( RS )T = ( RT )( ST

42、 ) ，( RS )T = ( RT )( ST ) ； 吸收律：( RS )S = S ，( RS )S = S ； 兩極律：OR = R ，OR = O，ER = E ，ER = R ； 還原律：( Rc )c = R R S RS = S ，RS = R ； R S Rc Sc ； R1 S1 , R2 S2 ( R1R2 ) ( S1S2 ) ,( R1R2 ) ( S1S2 ) O R E,五、模糊矩陣 R 的 截矩陣 R ：是一個(gè)普通矩陣 設(shè) R = ( rij ) ，對(duì)0,1 ，稱 R = ( rij( ) 為 R 的 截矩陣。,六、R 的運(yùn)算性質(zhì)： 對(duì)0,1 ，有 R S R

43、S ； ( RS ) = RS ，( RS ) = RS 。,50,例3-4 設(shè)有模糊矩陣：,則：,例3-5 商品“質(zhì)價(jià)相符”模糊關(guān)系的模糊矩陣為：,若參加者都認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為100%=1；無(wú)人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”, 則記為0%=0；有70%的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為70%=0.7。 而質(zhì)檢和物價(jià)部門確定商品“質(zhì)價(jià)關(guān)系”時(shí)，把全部的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符” 定為“完全相符”; 80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“相符”;50%以上的人 認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“基本相符” 。,取 = 1，0.8，0.5 得 截矩陣：,51,3.3 模糊關(guān)系的合成 1、模糊關(guān)系合成的概念 ： 設(shè)有論域 X、Y、Z，

44、Q( XY )、R( YZ ) ， 則 Q 對(duì) R 的合成 QR( XZ )，即 QR 是一個(gè)由 X 到 Z 的模糊關(guān)系， 其隸屬函數(shù)定義為：,特例：若 X=Y=Z，則對(duì) X 上的一個(gè)模糊關(guān)系 R ，記 RR = R2 2、對(duì)有限論域，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的運(yùn)算表示： 設(shè)論域 X = x1,x2,xn、Y = y1,y2,ym 、Z = z1,z2,zl ， Q=(qij)nm( XY )、R=(rjk)ml( YZ ) ， 則 Q 對(duì) R 的合成 S=QR =(sik)nl( XZ )，并且,52,例3-7 設(shè)有模糊矩陣：,則：,53,3、模糊矩陣合成的運(yùn)算性質(zhì)： ( QR ) = Q

45、R ；,例4-8 設(shè)有模糊矩陣：取 = 0.6,則：, ( QR ) S = Q( RS ) ； Rm+n = RmRn ； Q R QS RS ； Q R SQ SR ； Q R Qn Rn OR = RO = O ；IR = RI = R ；,54, ( QR ) S = ( QS )( RS ) ， S( QR ) = ( SQ )( SR ) ； ( QR ) S ( QS )( RS ) ， S( QR ) ( SQ ) ( SR ) ；,例3-9 設(shè)有模糊矩陣：,則: ( QR ) S,( QS )( RS ),( QR ) S ( QS )( RS ), QR RQ ；,例3-1

46、0 設(shè)有模糊矩陣：,則:,QR RQ,55,3.4 幾種常見(jiàn)的模糊關(guān)系 1、模糊倒置關(guān)系： 設(shè) R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為 R(x,y)， 則 RT( YX )，是 Y 到 X 上的模糊關(guān)系，稱為 R 的倒置關(guān)系，其隸屬函數(shù)定義為：,特例，對(duì)有限論域 X、Y ，模糊關(guān)系 R 可表示為模糊矩陣 R = ( rij )mn， 則 RT 的模糊矩陣為 RT = ( rji )nm,例3-11 商品“質(zhì)價(jià)相符” 模糊矩陣為：,則商品“價(jià)質(zhì)相符” 模糊矩陣為：,2、模糊對(duì)稱關(guān)系： 設(shè) R( XX )，即 R 是 X 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為 R(x1,x2)，

47、若對(duì)x1,x2X ，均滿足,則稱 R 是模糊對(duì)稱關(guān)系。 特例，對(duì)有限論域 X ，模糊關(guān)系 R 可表示為模糊矩陣 R = ( rij )mn， 若滿足 RT = R ，則 R 為模糊對(duì)稱矩陣。,例3-12 模糊矩陣,則由 RT = R，知 R 為模糊對(duì)稱矩陣。,56,3、模糊自反關(guān)系： 設(shè) R( XX )，即 R 是 X 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為 R(x1,x2)， 若對(duì)xX ，均滿足,則稱 R 是模糊自反關(guān)系。 特例，對(duì)有限論域 X ，模糊關(guān)系 R 可表示為模糊矩陣 R = ( rij )mn， 若 R 主對(duì)角線上的元素均為1，則模糊矩陣 R 為模糊自反矩陣。,例3-13 模糊矩陣,則 R

48、為模糊自反矩陣。,4、模糊相似關(guān)系： 設(shè) R( XX )，即 R 是 X 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為 R(x1,x2)， 若 R 既是對(duì)稱關(guān)系又是自反關(guān)系，則稱 R 是 X 上的模糊相似關(guān)系，其隸屬函數(shù)滿足： 對(duì)x1,x2,xX ，均有,特例，對(duì)有限論域 X ，模糊關(guān)系 R 可表示為模糊矩陣 R = ( rij )mn， 若 R 對(duì)稱且主對(duì)角線上的元素均為1，則 R 為模糊相似矩陣。,57,例3-14 論域 U = 直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線上的模糊矩陣,因?yàn)?R 既是模糊對(duì)稱矩陣又是模糊自反矩陣， 所以 R 為 U 上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。,轉(zhuǎn)置模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)： ( RT )T

49、 = R ； ( RQ )T = RTQT ， ( RQ )T = RTQT ； R Q RT QT ； ( RT ) = ( R )T ； ( QR )T = QT RT ，( Rn )T = ( RT )n ； 對(duì)模糊矩陣 R ：RRT 必是對(duì)稱矩陣, 且 RRT 被所有包含 R 的對(duì)稱矩陣所包含。,58,5、模糊傳遞關(guān)系： 普通傳遞關(guān)系 R ： 對(duì)x,y,zX，若 (x,y)R ,(y,z)R (x,z)R 如幾何中的平行關(guān)系 就普通傳遞關(guān)系：若 a b , b c a c 模糊傳遞關(guān)系 R ： 設(shè) R( XX )，即 R 是 X 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為 R(x1,x2)， 若 RR

50、 R ( 或 R2 R ) ，則稱 R 是 X 上的模糊傳遞關(guān)系 ，其隸屬函數(shù)滿足： 對(duì)x1,x2,x3X ，均有,特例，對(duì)有限論域 X ，模糊關(guān)系 R 可表示為模糊矩陣 R = ( rij )nn，其隸屬度為 rij ， 若 RR R ( 或 R2 R ) ，則稱 R 是 X 上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：,例3-15 影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要因素構(gòu)成論域 U = 銷售額(X1),購(gòu)銷費(fèi)用(X2),零售利潤(rùn)(X3), 它們彼此影響的模糊關(guān)系矩陣為：,即 RR R ，所以 R 為模糊傳遞矩陣。,59, 模糊關(guān)系 R 的 截關(guān)系 R ： 設(shè) R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊關(guān)系，

51、其隸屬函數(shù)為 R(x,y)， 對(duì)0,1 ，R 的 截關(guān)系 R 是 X 到 Y 上的普通關(guān)系，其特征函數(shù)為,特例，當(dāng) X = Y 時(shí) ， 稱 R 是 X 上的 截關(guān)系。, 模糊傳遞關(guān)系與普通傳遞關(guān)系的聯(lián)系 ： 定理：設(shè) R( XX )，即 R 是 X 到 X 上的模糊關(guān)系，則： R 是模糊傳遞關(guān)系 對(duì)0,1 ，R 的 截關(guān)系 R 均是普通傳遞關(guān)系。,60,6、模糊等價(jià)關(guān)系： 普通等價(jià)關(guān)系 R ： 若普通關(guān)系 R 同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱 R 是普通等價(jià)關(guān)系。 模糊等價(jià)關(guān)系 R ： 若模糊關(guān)系 R 同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱 R 是模糊等價(jià)關(guān)系。 特例，對(duì)有限論域，模糊等價(jià)關(guān)

52、系 R 可表示為模糊等價(jià)矩陣 R = ( rij )nn，,例3-16 上例中的模糊關(guān)系矩陣：,為模糊自反、對(duì)稱、傳遞矩陣。,故 R 為模糊等價(jià)矩陣。,定理模糊矩陣 R 是模糊等價(jià)矩陣 對(duì)0,1,R 的 截矩陣 R 均是普通等價(jià)矩陣。,61,第 四 章 模糊綜合評(píng)判,4.1 模糊綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用 一、綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型 設(shè)有二個(gè)論域：X = X1,X2,Xn 表示綜合評(píng)判多種因素的集合， Y = Y1,Y2,Yn 表示評(píng)語(yǔ)集合， R ( XY )，是 X 到 Y 上的模糊關(guān)系矩陣； A 是 X 上的模糊子集，即各評(píng)判因素的權(quán)重， 則模糊變換 AR = B 稱為綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型。 其中：B

53、 是 Y 上的模糊子集，即評(píng)判結(jié)果。 二、綜合評(píng)判步驟 1、確定 R：對(duì)因素集 X 中各個(gè)因素，用各種可行方法分別作出對(duì)評(píng)語(yǔ)集 Y 中各個(gè)評(píng)語(yǔ)的 單因素評(píng)判，進(jìn)而得到一個(gè)實(shí)際上表示 X 和 Y 間模糊關(guān)系的模糊矩陣 R 。 2、確定 A：對(duì)因素集 X 中各個(gè)因素，確定其在被評(píng)判事物中的重要程度(權(quán)重)， 且權(quán)重之和為1。 3、確定 B：作模糊變換 B = AR ，則 B 正好表示被評(píng)判事物在評(píng)語(yǔ)集 Y 上的綜合評(píng)判結(jié)果。,62,例4-1 市場(chǎng)調(diào)查與銷售預(yù)測(cè)時(shí)，欲知某商品受歡迎的程度。現(xiàn)確定顧客從質(zhì)量、價(jià)格、花色、 式樣、包裝五個(gè)方面評(píng)判該商品受歡迎的程度。 取評(píng)判因素集為 X = 質(zhì)量、價(jià)格、

54、花色、式樣、包裝 ， 取評(píng)語(yǔ)集為 Y = 很受歡迎、較受歡迎、不大受歡迎、不受歡迎 ， 試就這五個(gè)因素對(duì)該商品受歡迎程度作出綜合評(píng)判。,解： 確定 R：對(duì)該商品進(jìn)行單因素評(píng)判 用隨機(jī)抽樣的方法，組成一個(gè)100人的有各方代表人物參加的評(píng)判小組，讓他們各自獨(dú)立 對(duì)該商品“質(zhì)量”作出獨(dú)立評(píng)判，結(jié)果是：有60人表示該商品“很受歡迎” ， 有30人表示該商品“較受歡迎” ， 有10人表示該商品“不大受歡迎” ， 無(wú)人表示該商品“不受歡迎” 。 于是得：A質(zhì)=( 0.6，0.3，0.1，0 ) 同理有：A價(jià)=( 0.2，0.4，0.3，0.1 ) A花=( 0.5，0.3，0.2，0 ) A式=( 0.4

55、，0.3，0.2，0.1 ) A包=( 0.1，0.2，0.4，0.3 ),這樣就可得模糊矩陣：,63, 確定 A：確定五項(xiàng)單因素在總評(píng)判中的權(quán)重 經(jīng)分析研究確認(rèn)，對(duì)這100名代表人物，該商品受歡迎程度的五項(xiàng)因素中： “質(zhì)量”占30%，“價(jià)格”占25%，“花色”占20%，“式樣”占20%，“包裝”占5%， 于是得因素權(quán)重： A = ( 0.3，0.25，0.2，0.2，0.05 ) (帶主觀因素，隨時(shí)間、場(chǎng)合和對(duì)象不同而變化) 確定 B：進(jìn)行綜合評(píng)判，采用算子 M(,)，可將結(jié)果歸一化,結(jié)論：對(duì)該商品，顧客表示“很受歡迎”的比重為 41.5%； 顧客表示“較受歡迎”的比重為 32%； 顧客表示

56、“不大受歡迎”的比重為 20.5%； 顧客表示“不受歡迎”的比重為 6%；,64,例4-2 企管人員管理能力素質(zhì)綜合評(píng)判，從行政組織能力、企管水準(zhǔn)、科技知識(shí)、知人善任意識(shí) 四個(gè)方面評(píng)判企管人員管理能力素質(zhì)。 取評(píng)判因素集為 X = 行政組織能力、企管水準(zhǔn)、科技知識(shí)、知人善任意識(shí) ， 取評(píng)語(yǔ)集為 Y = 很好、較好、一般、較差、很差 ， 試就這四個(gè)因素對(duì)該企管人員管理能力素質(zhì)作出綜合評(píng)判。,解： 確定 R：對(duì)該企管人員管理能力素質(zhì)進(jìn)行單因素評(píng)判，得： A行 =( 0.6，0.2，0.1，0.1，0 ) A企 =( 0.4，0.3，0.2，0.1，0 ) A科 =( 0.2，0.2，0.3，0.1

57、，0.1 ) A知 =( 0.5，0.4，0.1，0，0 ),這樣就可得模糊矩陣：, 確定 A：確定四項(xiàng)單因素在總評(píng)判中的權(quán)重 A = ( 0.3，0.3，0.3，0.1 ) 確定 B：進(jìn)行綜合評(píng)判，采用算子 M(,)，并將結(jié)果歸一化,綜合這四個(gè)因素，認(rèn)為對(duì)該企管人員管理能力“很好”的比重為 41%，“較好”的比重 為 25%，“一般”的比重為 19%，“較差”的比重為 3%。,65,例4-3 對(duì)教師教學(xué)能力綜合評(píng)判，從清楚易懂、教材熟練、生動(dòng)有趣、板書整齊四個(gè)方面評(píng)判 教師教學(xué)能力。 取評(píng)判因素集為 X = 清楚易懂、教材熟練、生動(dòng)有趣、板書整齊 ， 取評(píng)語(yǔ)集為 Y = 很好、較好、一般、不好 ， 試就這四個(gè)因素對(duì)該教師教學(xué)能力作出綜合評(píng)判。,解： 確定 R：對(duì)某教師進(jìn)行單因素評(píng)判 就“清楚易懂”因素，作出獨(dú)立評(píng)判，結(jié)果是：全班學(xué)生中有40%人表示“很好” ， 有50%人表示“較好”，有10%人表示“一般”，無(wú)人表示 “不好” 。 于是得：A清=( 0.4，0.5，0.1，0 ) 同理有：A教=( 0.6，0.3，0.1，0 ) A生=( 0.1，0.2，0.6，0.1 ) A板=( 0.1，0.2，0.5，0.2 ),這樣就可得模糊關(guān)系矩陣：, 確定 A：確定四項(xiàng)單因素在總評(píng)判中的權(quán)重