1、選修45不等式選講,-2-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,1.絕對(duì)值三角不等式 (1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立; (2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,-3-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2.絕對(duì)值不等式的解法 (1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法 |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c

2、0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想; 利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想; 通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,-4-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2ab,-5-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. (3)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成

3、立.,-6-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.不等式證明的方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.,2,-7-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)對(duì)|a-b|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立.() (2)|a+b|+|a-b|2a|.() (3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和. () (4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”. () (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.(),答案,-8-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,A.

4、2a3B.1a2 C.1a3D.1a4,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.已知x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,則x+y的取值范圍為.,答案,解析,-12-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.對(duì)于絕對(duì)值三角不等式,易忽視等號(hào)成立的條件.對(duì)|a+b|a|-|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a-b0時(shí),等號(hào)成立;對(duì)|a|-|b|a-b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|,且ab0時(shí)左邊等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)右邊等號(hào)成立.

5、2.解形如|x-a|+|x-b|c(c0)的不等式一般利用零點(diǎn)分段法求解. 3.求函數(shù)y=|x-a|+|x-b|的最值問(wèn)題,一般利用絕對(duì)值三角不等式,但要找出等號(hào)成立的條件,只有等號(hào)成立,才存在最值.,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例1已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍. 思考含絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有哪些?,當(dāng)x2時(shí),由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集為x|x1.,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|

6、x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x |x|+1+|x|-2-x2+|x|,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得含絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有: (1)基本性質(zhì)法:對(duì)aR+,|x|axa. (2)平方法:兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào). (3)零點(diǎn)分區(qū)間法:含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解. (4)幾何法:利用絕對(duì)值的幾何意義,畫出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解. (5)數(shù)形結(jié)合法:在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象求解,-16-,考點(diǎn)

7、1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在圖中畫出y=f(x)的圖象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(1)證明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范圍. 思考如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值?,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得求y=|x-a|+|x-b|或y=

8、|x+a|-|x-b|型的最值,利用絕對(duì)值三角不等式最方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函數(shù)只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函數(shù)既有最大值又有最小值.,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-m|x-2|. (1)若m=1,求函數(shù)f(x)的值域; (2)若m=-1,求不等式f(x)3x的解集.,解:(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-2|. |x+1|-|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, -3|x+1|-|x-2|3,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3,3. (2)當(dāng)m=-1時(shí),不等式f(x)3x,即|x+1|+|x-2|

9、3x. 當(dāng)x3x,解得x3x,解得x2時(shí),得x+1+x-23x,解得x3x的解集為(-,1).,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例3已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍. 思考求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題的常用基本方法是什么?,解:(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 當(dāng)x-1時(shí),式化為x2-3x-40,無(wú)解; 當(dāng)-1x1時(shí),式化為x2-x-20,從而-1x1;,-24-,考點(diǎn)

10、1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(2)當(dāng)x-1,1時(shí),g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等價(jià)于當(dāng)x-1,1時(shí)f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必為f(-1)與f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范圍為-1,1.,解題心得求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題,常用的基本方法是根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后數(shù)形結(jié)合解決.,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2018山東濟(jì)南一模)已知函數(shù)f(x)=|2x-2|-|x+2|. (1)求不等式f(x)6的解集; (2)當(dāng)xR時(shí),f(x

11、)-x+a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解:(1)當(dāng)x-2時(shí),f(x)=-x+4. 由f(x)6,得-x+46,解得x-2,故x-2; 當(dāng)-2x1時(shí),f(x)=-3x. 由f(x)6,得-3x6,解得x-2,故x; 當(dāng)x1時(shí),f(x)=x-4. 由f(x)6,得x-46,解得x10,故x10. 綜上可知,f(x)6的解集為(-,-210,+).,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(解法一)如圖所示,作出函數(shù)f(x)的圖象. 由圖象知,當(dāng)x=1時(shí),-1+a-3,解得a-2, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-2. (解法二)當(dāng)x-2時(shí),-x+4-x+a恒成立,則a4; 當(dāng)-2x1時(shí),-

12、3x-x+a恒成立,則a-2; 當(dāng)x1時(shí),x-4-x+a恒成立,則a-2. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-2.,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(1)求M; (2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|a+b|1+ab|. 思考證明不等式常用的方法有哪些?,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(2)由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),-1a1,-1b1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得證明不等式常用的方法: (1)比較法證明不等式,比較法又包含

13、作差比較法和作商比較法. (2)用分析法證明不等式,使用分析法證明的關(guān)鍵是尋找推理的每一步的充分條件. (3)用綜合法證明不等式,在用綜合法證明不等式時(shí),常用到不等式的性質(zhì)和基本不等式等.,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知a0,b0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,解:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24. (2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,所以(a+b)38,因此a+b2.,-31-,考點(diǎn)1,

14、考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例5已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (1)求a+b+c的值; 思考如何利用柯西不等式證明不等式或求最值?,解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立. 又a0,b0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4.,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得1.用柯西不等式證明時(shí),一般需要對(duì)不等式變形,使

15、之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu),然后根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用柯西不等式進(jìn)行證明.,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值;,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-36-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,1.含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的求解方法 (1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)a恒成立f(x)maxa,f(x)a恒成立f(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問(wèn)題. (2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問(wèn)題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,通過(guò)圖象的位置關(guān)系可直觀解決問(wèn)題. 2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.,-37-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,1.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類討論不全面的問(wèn)題.若用零點(diǎn)分段法求解,要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏. 2.在利用算術(shù)-幾何平均不等式或柯西不等式求最值