1、課程概述,矩陣論課程是專門為工科研究生開設(shè)的數(shù)學(xué)課程。 矩陣論的內(nèi)容是根據(jù)國(guó)家教育部課程指導(dǎo)委員會(huì)關(guān)于工科研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求編寫而成。 矩陣論介紹的理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。 矩陣論是工科研究生必備的核心基礎(chǔ)知識(shí)，是工科研究生的必修課。,I. 先修課程,矩陣論主要以大學(xué)線性代數(shù)為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的線性代數(shù)教材書為參考書。 矩陣論還以大學(xué)高等數(shù)學(xué)為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的高等數(shù)學(xué)教材書為參考書。 本課程假定讀者已經(jīng)學(xué)習(xí)過上述兩門大學(xué)課程或已經(jīng)掌握相關(guān)的知識(shí)。,II. 主要內(nèi)容,課程主要包括以下六項(xiàng)內(nèi)容： (1) 線性空間與線性變換； (2) 內(nèi)積空間； (3)

2、 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形； (4) 矩陣分解； (5) 范數(shù)理論及其應(yīng)用； (6) 矩陣分析及其應(yīng)用。,第1章：線性空間與線性變換,內(nèi)容： 線性空間的一般概念 重點(diǎn)：空間結(jié)構(gòu)和其中的數(shù)量關(guān)系 線性變換 重點(diǎn)：其中的矩陣處理方法 特點(diǎn)： 研究代數(shù)結(jié)構(gòu)具有線性運(yùn)算的集合。 看重的不是研究對(duì)象本身，而是對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。 研究的關(guān)注點(diǎn)：對(duì)象之間數(shù)量關(guān)系的矩陣處理。 學(xué)習(xí)特點(diǎn)：具有抽象性和一般性。,一. 集合與映射 集合 集合：作為整體看的一堆東西. 集合的元素：組成集合的事物. 設(shè)S表示集合，a表示S的元素，記為aS 讀為a屬于S；用記號(hào) aS 表示a 不屬于S. 集合的表示：(1 ) 列舉法,5,1.1

3、線性空間(Linear Spaces),例如 空集合：不包含任何元素的集合，記為 子集合：設(shè) 表示兩個(gè)集合，如果集合 都是集合 的元素，即由 ， 那么就稱 的子集合，記為,相等：即,(2) 特征性質(zhì)法,6,集合的交： 集合的并： 集合的和： 例如,數(shù)域 數(shù)域：是一個(gè)含0和1,且對(duì)加，減，乘，除（0 不為除數(shù)）封閉的數(shù)集.,7,例如：有理數(shù)域Q，實(shí)數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C. 映射 映射：設(shè)S 與S 是兩個(gè)集合，一個(gè)法則（規(guī)則） ，它使S中的每個(gè)元素a 都有 S中一 個(gè)確定的元素 a 與之對(duì)應(yīng)，記為 稱為集合S到 S 的映射，a 稱為a 在映射 下的象，而a 稱為 a 在映射下的一個(gè)原象.,8,變換：S到

4、S自身的映射. 例如： 將方陣映射為數(shù) 將數(shù)映射為矩陣 可看成變換。 其中 相等：設(shè) 都是集合S到 的映射，如果對(duì)于 都有 ，則稱 相等，記為 .,9,乘法：設(shè) 依次是集合S到 ， 的 映射，乘積 定義如下 是S到 的一個(gè)映射. 注： ， （ 是 的 映射）,二、線性空間的概念 線性空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合） Example R 3=x=（x1，x2，x3）T：xi R =空間中所有向量 定義向量的加法，數(shù)與向量的乘積。 運(yùn)算封閉 八條運(yùn)算律成立,線性空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合） Definition:(線性空間或向量空間) 要點(diǎn)： 集合V 與數(shù)域F 向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算

5、 （運(yùn)算之后的結(jié)果跑不出去） 八條運(yùn)算律 （能夠保證向量的混合運(yùn)算幾乎與數(shù)的運(yùn)算一樣完美）,常見的線性空間,Fn=X=（x1，x2，xn）T：x F 運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量 Fmn = A=aijmn：a ijF； 運(yùn)算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣 Rmn ；Cmn 。 Ftn =f(x)=a0 + a1x+ a2x2+.+an-1xn-1 ：aiR,運(yùn)算：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘 Ca，b=f（x）：f（x）在a，b上連續(xù) 運(yùn)算：函數(shù)的加法和數(shù)乘 Example： V=R+，F(xiàn)=R， a b=ab， a=a ,F=R或C,不是線性空間的集合,V=X=（x1，x2，1）T：xi R 運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘

6、向量 要證明一個(gè)集合不是線性空間，定義中有很多漏洞可以攻擊。,線性空間的一般性的觀點(diǎn)：,線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的負(fù)元素是惟一的。 （3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）,數(shù)0,向量0,三、向量組的探討（Review),向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)： 向量可由1，2，s線性表示;（其工作可由多人合力完成） 向量組1，2，s線性無關(guān) 任何一個(gè)向量不能由其余向量線性表示 要使k11+k22+kss =0, 只有系數(shù)都為0 向量組1，2，s線性相關(guān) 其中一個(gè)向量可以由其余向量線性表示 要使k11

7、+k22+kss =0, 必須有非零系數(shù),三、向量組的探討（Review),向量組的極大線性無關(guān)組： 1，2，s為向量組A的一個(gè)部分組 （精英組合） 滿足 向量組1，2，s線性無關(guān) （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由1，2，s線性表示 （公司的任何人的工作可由精英組合完成） 向量組的秩(rank)：最大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù),四、線性空間的基和維數(shù),抽象的線性空間的元素稱之為向量(vector) 所有的線性空間中的向量的線性相關(guān)性定義和Rn一樣： 定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。 有關(guān)性質(zhì)與定理和Rn中的結(jié)果一樣。 因此，要研究線性空間，只需要研究它的最大線性無關(guān)組-即為基(basis)

8、,四、線性空間的基和維數(shù),基(basis)：線性空間的極大無關(guān)組； 維數(shù)(dimension)：基中向量的個(gè)數(shù)； 常見線性空間的基與維數(shù)： Fn，自然基e1，e2，,en，dim Fn =n Rmn ，自然基Eij，dim Rmn =mn。 Ft3 ，自然基1，t，t2，dimFt3 =3 Ca，b， 1，x，x2，x3x n-1 Ca,b， dim Ca，b= 約定： 本書主要研究有限維線性空間。,五、坐標(biāo),坐標(biāo)的來歷：設(shè)1，2， n 是空間V的一組基， V, 可以由基1，2， n唯一線性表示 =x11+x22+xn n 則x1 ，x2， ， xn 是在基i下的坐標(biāo)。,例1：求 R22中向量

9、 在基Eij下的坐標(biāo)。,要點(diǎn)： 坐標(biāo)與基有關(guān) 坐標(biāo)的表達(dá)形式,例2 設(shè)空間Fx4的兩組基為： 1，x，x2，x3和 1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在這兩組基下的坐標(biāo)。,歸納： 有了基，就可以將一個(gè)抽象的線性空間中的元素和一個(gè)實(shí)際的 元素對(duì)應(yīng)起來，從而將抽象具體化進(jìn)行研究。,*例3 設(shè)R22中向量組Ai,1 討論Ai的線性相關(guān)性. 2求向量組的秩和極大線性無關(guān)組. 3把其余的向量表示成極大線性無關(guān)組的 線性組合.,六、基變換和坐標(biāo)變換,討論： 不同的基之間的關(guān)系 同一個(gè)向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系 1 基變換公式 設(shè)空間中有兩

10、組基：,過渡矩陣C的性質(zhì)： C為可逆矩陣 C的第i列是 i 在基i 下的坐標(biāo),則,過渡矩陣,2 坐標(biāo)變換公式,已知 空間中兩組基： 滿足: : ; 討論X和Y的關(guān)系,X=CY,例 已知空間R中兩組基（I）Eij （II）； 求從基（I）到基（II）的過渡矩陣C。 求向量 在基（II）的坐標(biāo)Y。,例1.1.8 P8,線性空間V與Fn的同構(gòu),坐標(biāo)關(guān)系 V Fn V的基1，2，。 n 由此建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 V，X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（） 在關(guān)系下，線性空間V和Fn同構(gòu)。,同構(gòu)的性質(zhì),定理1.3:V 中向量1，2，n線性相關(guān)它們的坐標(biāo)X1 , X2, ,Xn在

11、Fn中線性相關(guān)。 同構(gòu)保持線性關(guān)系不變。 應(yīng)用： 借助于空間Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法研究一般線性空間的線性關(guān)系。,1.2 子空間,概述：線性空間V中，向量集合V可以有集合的運(yùn)算和關(guān)系： Wi V， W1W2， W1W2， 問題： 這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為線性空間 ？,1、 子空間的概念,定義： 設(shè)非空集合WV，W ，如果W中的元素關(guān)于V中的線性運(yùn)算為線性空間，則稱W是V的子空間。 判別方法：Important Theorem W是子空間 W對(duì)V的線性運(yùn)算封閉。 子空間本身就是線性空間。 子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方法,子空間和非子空間的例子： V=x=(x1，x2，0R 3，

12、 V=x=(x1，x2，1R 3，,矩陣AR mn， 齊次線性方程組AX=0的解集合： S=X ： AX=0Rn， 非齊次線性方程的解集合： M=X ： AX=bRn，,重要的子空間：生成子空間 設(shè)向量組1，2， mV，由它們的一切線性組合生成的子空間： Span1，2，m =L(1，2，m) = k11+k22+kmm| ki 生成子空間的重要的性質(zhì)： 1）如果1，2，m線性無關(guān)，則其為生成子空間Span1，2，m 的一組基； 2）如果1，2，r是向量組1，2，m的最大線性無關(guān)組，則 Span1，2，m 1，2，r是Span1，2，m 的一組基,2、子空間的“交空間”與“和空間”,討論：設(shè)W

13、 1 V，W2 V，且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？ （1） 交空間 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn（F） W1W2是子空間，被稱為“交空間” （2）和空間 和的集合：W1W2=X1X2X1W1，X2W2,W1W2 W1W2,W1W2是子空間，被稱為“和空間”，,W1W2不一定是子空間，W1W2 W1W2,例 設(shè)R3中的子空間W1=Le1，W2=Le2 求和空間W1W2。 比較：集合W1W2和集合W1W2。,如果 W1=Span1，2， m ， W2=Span1，2， k， 則 W1W2=Span1，2，m，1，2， k ,3 、維數(shù)公式,子空間的包含關(guān)系：,d

14、imW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn（F）。 維數(shù)定理： dimW1dimW2=dim（W1W2）dim（W1W2） 證明：,4 、子空間的直和,分析：如果dim（W1W2）0，則 dim（W1W2）dimW1dimW2 所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1W2）=0 W1W2=0 直和的定義： 若 dim（W1W2）=0 ，則和為直和 W=W 1W2=W1W2，,子空間的“和”為“直和”的充要條件 ： Theorem 設(shè)W=W1W2，則下列各條等價(jià)： （1） W=W1W2 （2） X W，X=X 1X2的表 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一

15、的 （4） dim W =dimW1dimW2,例P13 1.2.6,例設(shè)在Rnn中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 證明Rnn=W1W2。,13 線性變換(Linear Transformations),一、 線性變換的概念 線性變換的來歷； Definition： （i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有線性性： T（）=T（）T（） (保持加法的三角形法則) T（k）=kT（ ） (保持比例關(guān)系),2 線性變換的性質(zhì)： （i）T(0)=0 （ii） T()=T() （iii）,3 線性變換的象空間和零空間 設(shè)線性變換T：VV， 象空間 Im(T)=

16、： V，=T() 零空間 Ker(T)=：V，T ( ) =0 ,定義： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）,線性變換保持線性相關(guān)性不變！,例(P018) Rn中的變換 T：設(shè)A Rnn是一個(gè)給定的 矩陣，XRn，T(X)=AX。 (1)T是線性變換； (2)Ker(T)是AX=0的解空間； (3)Im(T)=Spana1,a2,.,an, 其中a1是矩陣A的列向量； (4)dimKer(T)+dimIm(T)=n,4 線性變換的運(yùn)算 設(shè)T1，T2都是空間V中的線性變換，常見的用它們構(gòu)成的新的變換： （i） T1T2 V， （T1T2）（）=T1（）T2（） （ii）

17、T1T2 V， (T1T2)（）=T1（T2（） （iii） kT V， （kT）（）=k（T（） （iv） 若T 1是可逆變換，T1 T1( )= 當(dāng)且僅當(dāng)T()=。,定義,二、 線性變換的矩陣,1 線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式 Purpose:將抽象的線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)起來,T的矩陣,二、 線性變換的矩陣,1 線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式 V上線性變換的特點(diǎn)分析：,定義變換T 確定基中向量的象T（i）。 定義T（i） 確定它在基下i的坐標(biāo)A i 。 定義變換T 確定矩陣A=A1，A2，An,例已知 定義映射 T： (1)證明T是V上的線性變換； (2)求V的一組基，并求T在這組基下的矩陣。

18、,2 線性變換運(yùn)算的矩陣對(duì)應(yīng)： 設(shè)V上的線性變換T1，T2，它們?cè)谕唤M基下的矩陣：T1A1；T2A2 （i） （T1T2） （A1A2） （ii） （T1T2） A1A2 （iii） （kT） kA （iv） T1 A1,3 不同基下的變換矩陣 兩組基1，2，, n ，1，2，, n ， （12 n）=（12 n ）C T（1 2 n ）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B,同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的,B=C1AC,1,2,3,*例 （P025， 例1.4.6） *例 設(shè)單位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的線性變換 P（x）= x - （x，u

19、）u， 求P在自然基e1，e2，e3下的變換矩陣。 求P在標(biāo)準(zhǔn)正交基u，u2，u3下的變換矩陣。,2.1 內(nèi)積與歐氏空間Inner Product ,(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0,則稱W 與U 正交，記作W U ;,(3) 若W U，并且W + U = V,則稱U 為W 的正交補(bǔ)。,注意：若W U，則 W與U 的和必是直和。,55,正交補(bǔ)的存在唯一性,定理: 設(shè)W 是實(shí)內(nèi)積空間V 的子空間，則W 的正交補(bǔ),存在且唯一，記該正交補(bǔ)為 ，并且,56,定理: 設(shè)W 是實(shí)內(nèi)積空間V 的有限維子空間，則,向量的正投影,定義: 設(shè)W 是實(shí)內(nèi)積空間V 的子空間，,則稱向量b 為向量a 在W上的正投影，,稱向量長(zhǎng)度|g |為向量a 到W 的距離。,垂線最短定理,定理: 設(shè)W 是實(shí)內(nèi)積空間V 的子空間，aV , b 為a 在W,上的正投影，則 dW, 有,并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) b = d。,最小二乘法,（1）,可能無解，即任意 都可能使,（2）,不等于零，設(shè)法找實(shí)數(shù)組 使（2）最小,這樣的 為方程組（1）的最小二乘解，,此問題叫最小二