1、第一章,常用邏輯用語,本章內容,1.1 命題及其關系,1.2 充分條件與必要條件,1.3 簡單的邏輯聯(lián)結詞,1.4 全稱量詞與存在量詞,第一章 小結,1.1 命題及其關系,1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關系,1.1.1 命題,1.1.1 命題,返回目錄,1. 什么是命題? 它的結構形式是怎樣的?,2. 什么是真命題? 什么是假命題? 如何判斷命題的真假?,問題1. 從語言的角度講, 下列句子各屬什么類型? 能判斷它們的真假嗎? (1) 若直線 a/b, 則直線 a 和直線 b 無公共點. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行嗎? (4) x10是一個

2、比較大的數. (5) 1010這個數太大了! (6) 求 3 除以 2 的余數.,(1)(2)(4)是陳述句,(3)是疑問句,(5)是感嘆句,(6)是祈使句.,能判斷真假的是陳述句中的(1)(2).,問題1. 從語言的角度講, 下列句子各屬什么類型? 能判斷它們的真假嗎? (1) 若直線 a/b, 則直線 a 和直線 b 無公共點. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行嗎? (4) x10是一個比較大的數. (5) 1010這個數太大了! (6) 求 3 除以 2 的余數.,一般地, 我們把用語言、符號或式子表達的, 可以判斷真假的陳述句叫做命題. 其中判斷為真的語句叫

3、做真命題, 判斷為假的語句叫做假命題.,真命題.,假命題.,不能判斷真假, 不是命題.,例1. 判斷下列語句中哪些是命題? 是真命題還是假命題? (1) 空集是任何集合的子集; (2) 若整數 a 是素數, 則 a 是奇數; (3) 指數函數是增函數嗎? (4) 若空間中兩條直線不相交, 則這兩條直線平行; (5) (6) x15.,解:,(3)不是陳述句;,(6)是陳述句但不能判斷真假;,(1)(2)(4)(5)是能判斷真假的陳述句, 所以(1)(2)(4)(5)是,命題,其中(1)(5)是真命題, (2)(4)是假命題.,命題通常由 “條件” 和 “結論” 兩部份組成, 寫成,“若 p,

4、則 q”,的形式, p 是命題的條件, q 是命題的結論.,例2. 指出下列命題中的條件 p 和結論 q: (1) 若整數 a 能被 2 整除, 則 a 是偶數; (2) 若四邊形是菱形, 則它的對角線互相垂直且平分.,解:,(1),條件 p: 整數 a 能被 2 整除,結論 q: a 是偶數.,(2),條件 p: 四邊形是菱形,結論 q: 它的對角線互相垂直且平分.,有些命題沒有明顯的 “若 p, 則 q” 的形式,如下例:,例3. 將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 形式, 并判斷真假: (1) 垂直于同一條直線的兩條直線平行; (2) 負數的立方是負數; (3) 對頂角相等.,解:,(

5、1),若兩條直線垂直于同一條直線, 則這兩條,直線平行.,這是個假命題.,垂直同一條直線的兩直線也可能,平行, 也可能相交, 也可能異面.,例3. 將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 形式, 并判斷真假: (1) 垂直于同一條直線的兩條直線平行; (2) 負數的立方是負數; (3) 對頂角相等.,解:,(2),若一個數是負數, 則這個數的立方也是,這是個真命題.,負數.,一個負數的奇次方仍是負數.,例3. 將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 形式, 并判斷真假: (1) 垂直于同一條直線的兩條直線平行; (2) 負數的立方是負數; (3) 對頂角相等.,解:,(3),如果兩個角是對頂角,

6、那么這兩個角,這是個真命題.,相等.,平面幾何中有對頂角相等的定理.,練習(補充),1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(1),若一個函數是奇函數, 則這個函數的圖象,過原點.,這是個假命題.,奇函數的圖象過原點, 必須保證,定義域包

7、含 0.,如 是奇函數, 但圖象不過原點.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(2),若一個角的正弦函數值為正, 則這個角的終,邊在第一象限.,這是個假命題.,正弦函數值為正的角, 其終邊可能,在第二象限, 也可能與 y 軸的非負半

8、軸重合.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(3),若兩條直線不相交, 則這兩條直線不可能都,是平行線.,這是個真命題.,不相交的兩條直線不會都是平行線,它們有可能平行, 有可能異面.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q”

9、的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(4),若函數 f(x) 滿足 f(a)f(b)0, 則函數 f(x) 在,區(qū)間 (a, b) 內無零點.,這是個假命題.,f(x) 在區(qū)間 a, b 內不是單調函數時,即使 f(a)f(b)0, 在區(qū)間 (a, b) 內, f(x) 也可能有

10、零點.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(5),若一個數列的遞推式為 an+1=kan (k0),則這個數列是等比數列.,這是個假命題.,數列的各項為 0 時, 結論就不成立.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式

11、, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,1. 請將下列命題寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷其真假. (1) 奇函數的圖象一定過原點. (2) 正弦函數值為正的角的終邊在第一象限. (3) 不相交的兩條直線不都是平行直線. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在區(qū)間 (a,

12、b) 內無零點. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的遞推數列是等比數列. (6) 互相垂直的兩非零向量的和向量與差向量的模相等.,解:,(6),若兩非零向量互相垂直, 則這兩個向量的和,與差的模相等.,這是個真命題.,兩向量的和向量與差向量的模, 是以,這兩向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線長.,有一個角是直角的平行四邊形是矩形.,矩形的兩條對角線相等.,分析:,如圖,當向量 a, b 的夾角為,120時, |c|=|a+b|=1.,要使 |c|1,a 與 b 的夾角必須小于120, 直到,a 與 b 同向,同理,即 q0, 120).,a, b 的夾角為60時, |c|=|a-b|

13、=1.,要使 |c|1,a, b 的夾角需大于60, 直到 a, b 反向.,a,【課時小結】,1. 命題,用語言、符號或式子表達的, 可以判斷真假的陳述句叫做命題. 其中判斷為真的語句叫做真命題, 判斷為假的語句叫做假命題.,命題通常由 “條件” 和 “結論” 兩部份組成, 寫成 “若 p, 則 q” 的形式, p 是命題的條件, q 是命題的結論.,【課時小結】,2. 命題的真假判斷,命題的兩個屬性: 結構屬性和內容屬性.,結構屬性的特點是 “若 p, 則 q”,即由條件和結論兩部分組成.,判斷命題的真假就是分析它的內容屬性.,判斷命題真假的實質是考查掌握各方面數學知識的情況.,練習: (

14、課本第 4 頁),第 1、2、3 題.,習題 1.1,a 組,第 1 題.,練習: (課本第 4 頁),1. 舉出一些命題的例子, 并判斷它們的真假.,如:,若 x=1, 則 |x|=1.,若 |x|=1, 則 x=1.,若 b2-4ac0, 則方程 ax2+bx+c=0 有兩不等實根.,若直線 a平面a, 直線 b/a, 則 b/a.,若 d2+e2-4f0, 則方程 x2+y2+dx+ey+f=0 的圖,若 sina0, 則 0ap.,形是一個圓.,若 aab, 則 aa.,真,假,假,假,假,假,真,2. 判斷下列命題的真假: (1) 能被 6 整除的整數一定能被 3 整除; (2) 若

15、一個四邊形的四條邊相等, 則這個四邊形是正方形; (3) 二次函數的圖象是一條拋物線; (4) 兩個內角等于45的三角形是等腰直角是角形.,解:,(1)(3)(4)為真命題, (2)是假命題.,3. 把下列命題改寫成 “若 p, 則 q” 的形式, 并判斷它們的真假: (1) 等腰三角形兩腰的中線相等; (2) 偶函數的圖象關于 y 軸對稱; (3) 垂直于同一個平面的兩個平面平行.,解:,(1),若三角形是等腰三角形, 則它兩腰的中,線相等.,此命題是真命題.,(2),若函數是偶函數, 則它的圖象關于 y 軸對稱.,此命題是真命題.,(3),若兩個平面垂直于同一平面, 則這兩個平面,平行.,

16、此命題是假命題.,習題 1.1,a 組,1. 判斷下列語句是不是命題: (1) 125; (2) 若 a 為正無理數, 則 也是無理數; (3) x1, 2, 3, 4, 5; (4) 正弦函數是周期函數嗎?,解:,(1)(2) 是命題.,(3) 不是命題, 因為不能判斷真假.,(4) 不是命題, 因為不是陳述句.,1.1.2 四種命題,1.1.3 四種命題的相互關系,返回目錄,1. 什么是一個命題的逆命題、否命題、逆否命題?,2. 原命題, 逆命題, 否命題, 逆否命題各相互之間是什么關系?,3. 一個命題的逆命題, 否命題和逆否命題的真假性是否有聯(lián)系?,問題1. 下列四個命題中, 命題 (

17、1) 與命題 (2) (3) (4) 的條件和結論之間分別有什么關系? (1) 若 f(x) 是正弦函數, 則 f(x) 是周期函數; (2) 若 f(x) 是周期函數, 則 f(x) 是正弦函數; (3) 若 f(x) 不是正弦函數, 則 f(x) 不是周期函數; (4) 若 f(x) 不是周期函數, 則 f(x) 不是正弦函數.,將命題 (1) 的條件與結論相交換就是命題 (2).,命題 (2) 叫命題 (1) 的逆命題, 命題 (1) 也叫命題,(2) 的逆命題.,將命題 (1) 的條件和結論都加以否定就是命題 (3).,命題 (3) 叫命題 (1) 的否命題, 命題 (1) 也叫命題,

18、(3) 的否命題.,問題1. 下列四個命題中, 命題 (1) 與命題 (2) (3) (4) 的條件和結論之間分別有什么關系? (1) 若 f(x) 是正弦函數, 則 f(x) 是周期函數; (2) 若 f(x) 是周期函數, 則 f(x) 是正弦函數; (3) 若 f(x) 不是正弦函數, 則 f(x) 不是周期函數; (4) 若 f(x) 不是周期函數, 則 f(x) 不是正弦函數.,將命題 (1) 的條件和結論都加以否定后又交換就是,命題 (4).,命題 (4) 叫命題 (1) 的逆否命題, 命題 (1) 也叫命題,(4) 的逆否命題.,一般地, 對于兩個命題, 如果一個命題的條件和結論

19、分別是另一個命題的結論和條件, 那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題. 其中一個命題叫做原命題, 另一個叫做原命題的逆命題.,請同學們比照逆命題的定義, 寫出否命題、逆否命題的定義.,原命題: “若 p, 則 q”,逆命題: “若 q, 則 p”.,對于兩個命題, 如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題結論的否定和條件的否定, 那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題. 其中一個命題叫做原命題, 另一個叫做原命題的逆否命題.,原命題: “若 p, 則 q”,逆否命題: “若 q, 則 p”.,對于兩個命題, 如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件和結論的否定, 那么我們把這樣的兩個命

20、題叫做互否命題. 其中一個命題叫做原命題, 另一個叫做原命題的否命題.,原命題: “若 p, 則 q”,否命題: “若 p, 則 q”.,“ p” 讀作非 p, “ q” 讀作非 q.,例(補充). 寫出命題 “若 a6, 則 a5.” 的逆命題、否命題和逆否命題, 并判斷其真假.,解:,逆命題:,若 a5, 則 a6.,此逆命題是假命題.,否命題:,若 a6, 則 a5.,此否命題也是假命題.,逆否命題:,若 a5, 則 a6.,此逆否命題是真命題.,練習: (課本第6頁),就一題.,練習: (課本第6頁),寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題, 并判斷它們的真假: (1) 若一個整數的末

21、位數字是 0, 則這個整數能被5 整除; (2) 若一個三角形的兩條邊相等, 則這個三角形的兩個角相等; (3) 奇函數的圖象關于原點對稱.,解:,(1),逆命題:,若一個整數能被 5 整除, 則這個,整數的末位數字是 0.,此命題是假命題.,否命題:,若一個整數的末位數字不是 0, 則這個整數,不能被 5 整除.,這個命題也是假命題.,逆否命題:,若一個整數不能被 5 整除, 則這個整數的,末位數字不是 0.,此命題是真命題.,練習: (課本第6頁),寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題, 并判斷它們的真假: (1) 若一個整數的末位數字是 0, 則這個整數能被5 整除; (2) 若一個三

22、角形的兩條邊相等, 則這個三角形的兩個角相等; (3) 奇函數的圖象關于原點對稱.,解:,(2),逆命題:,若一個三角形的兩個角相等, 則,這個三角形的兩條邊相等.,此命題是真命題.,否命題:,若一個三角形的兩條邊不相等, 則這個三,角形的兩個角不相等.,這個命題也是真命題.,逆否命題:,若一個三角形的兩個角不相等, 則這個,三角形的兩條邊不相等.,此命題也是真命題.,練習: (課本第6頁),寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題, 并判斷它們的真假: (1) 若一個整數的末位數字是 0, 則這個整數能被5 整除; (2) 若一個三角形的兩條邊相等, 則這個三角形的兩個角相等; (3) 奇函數

23、的圖象關于原點對稱.,解:,(3),逆命題:,圖象關于原點對稱的函數是奇,函數.,此命題是真命題.,否命題:,不是奇函數的圖象不關于原點對稱.,這個否命題也是真命題.,逆否命題:,圖象不關于原點對稱的函數不是奇函,數.,這個逆否命題也是真命題.,問題2. 下面四個命題中, 任意兩個命題是什么關系? 你能由此總結出四種命題中任意兩個命題的關系嗎? (1) 若 f(x) 是正弦函數, 則 f(x) 是周期函數; (2) 若 f(x) 是周期函數, 則 f(x) 是正弦函數; (3) 若 f(x) 不是正弦函數, 則 f(x) 不是周期函數; (4) 若 f(x) 不是周期函數, 則 f(x) 不是

24、正弦函數.,(1) (2) 互逆.,(1) (3) 互否.,(1) (4) 互為逆否.,(2) (3) 互為逆否.,(2) (4) 互否.,(3) (4) 互逆.,問題2. 下面四個命題中, 任意兩個命題是什么關系? 你能由此總結出四種命題中任意兩個命題的關系嗎? (1) 若 f(x) 是正弦函數, 則 f(x) 是周期函數; (2) 若 f(x) 是周期函數, 則 f(x) 是正弦函數; (3) 若 f(x) 不是正弦函數, 則 f(x) 不是周期函數; (4) 若 f(x) 不是周期函數, 則 f(x) 不是正弦函數.,又問: 這四種命題的真假性有什么相互關系?,一個命題為真, 它的逆命題

25、、否命題不一定真, 而它的逆否命題一定真.,一個命題為假, 它的逆命題、否命題不一定假, 而它的逆否命題一定假.,原命題 若p, 則q,逆,互,逆命題,互,互,互,逆,否,否,逆否,逆否,否命題,逆否命題,若q, 則p,若p, 則q,互為,互為,若q, 則p,互為逆否的兩個命題的真假性相同.,問題3. 以 “若 x2-3x+2=0, 則 x=2 ” 為原命題, 寫出它的逆命題、否命題與逆否命題. 其中互為逆否的有哪些? 它們的真假性如何?,逆命題:,若 x=2, 則 x2-3x+2=0.,否命題:,若 x2-3x+20, 則 x2.,逆否命題:,若 x2, 則 x2-3x+20.,其中原命題與

26、逆否命題互為逆否; 逆命題與否命,題互為逆否.,原命題與逆否命題是假命題; 逆命題與否命題,是真命題.,在證明某個命題有困難時, 可以通過證明它的逆否命題為真來間接證明原命題為真.,例4. 證明: 若 x2+y2=0, 則 x=y=0.,分析:,直接由 x2+y2=0 推證 x=y=0 不易推理表述,我們可以反過來想:,那么 x2+y2=0 就,這恰是所證命題的逆否命題.,如果原命題的逆否命題為真, 則原命題也真.,如果 x, y 中只要有一個不為 0,不會成立.,例4. 證明: 若 x2+y2=0, 則 x=y=0.,證明:,假若 x, y 中至少有一個不為 0, 不妨設,x0,于是得 x2

27、+y20.,即證得 “ x, y 不全為 0 時, x2+y20” .,即 “若 x2+y2=0, 則 x=y=0.” 得證.,則有 x20,而 y 為任意實數都有 y20,此命題的逆否命題是真命題,練習: (課本第8頁),只有一題.,練習: (課本第8頁),證明: 若 a2-b2+2a-4b-30, 則 a-b1.,證明:,若 a-b=1,得 a2-b2+2a-4b-3=a2-(a-1)2+2a-4(a-1)-3,則 b=a-1,=a2-a2+2a-1+2a-4a+4-3,=0,即證得 “若 a-b=1, 則 a2-b2+2a-4b-3=0” 為真., “若 a2-b2+2a-4b-30,

28、則 a-b1.”是真命題.,【課時小結】,1. 四種命題,原命題: “若 p, 則 q”,逆命題: “若 q, 則 p”.,逆否命題: “若 q, 則 p”.,否命題: “若 p, 則 q”.,【課時小結】,2. 四種命題的關系,原命題 若p, 則q,互逆,互逆,互否,互否,互為逆否,互為逆否,(1) 互為逆否的兩個命題的真假性相同.,(2) 互逆或互否的兩個命題的真假性沒有關系.,習題 1.1,a 組,第 2、3、4 題.,b 組,只一題.,習題 1.1,a 組,2. 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷它們的真假: (1) 若 a, b 都是偶數, 則 a+b 是偶數; (2)

29、若 m0, 則方程 x2+x-m=0 有實數根.,解:,(1),逆命題:,若 a+b 是偶數, 則 a, b 都是偶數.,否命題:,若 a, b 不都是偶數, 則 a+b 不是偶數.,此逆命題是假命題.,此否命題也是假命題.,逆否命題:,若 a+b 不是偶數, 則 a, b 不都是偶數.,此逆否命題是真命題.,習題 1.1,a 組,2. 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷它們的真假: (1) 若 a, b 都是偶數, 則 a+b 是偶數; (2) 若 m0, 則方程 x2+x-m=0 有實數根.,解:,(2),逆命題:,若方程 x2-x-m=0 有實數根, 則,否命題:,此逆命題是假命題.,此否命題也是假命題.,逆否命題:,此逆否命題是真命題.,m0.,若 m0, 則方程 x2-x-m=0 無實數根.,若方程