1、第4章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,4.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念,4.2 李雅諾夫穩(wěn)定性理論,4.4 構(gòu)造李雅諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法,4.3 控制系統(tǒng)的李雅諾夫穩(wěn)定性分析,第4章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析, 重點：,1.外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性,2.李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,3.線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性判據(jù),4.構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法,4.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念,一. 外部穩(wěn)定性,為保證以輸入輸出為關(guān)系來表征的線性因果系統(tǒng)的描述的唯一性，假定系統(tǒng)的初始條件為零。,定義1(外部穩(wěn)定性) 如果存在一個固定的有限常數(shù) 及一個標(biāo)量 ，使得系統(tǒng)的輸入u(t)滿足,時，所產(chǎn)生的輸出y(t)滿足,稱該因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定

2、的，也就是有界輸入-有界輸出穩(wěn)定性，簡稱為BIBO穩(wěn)定性。,對于連續(xù)時間線性系統(tǒng)，BIBO穩(wěn)定性可由輸入-輸出描述中的脈沖響應(yīng)矩陣或傳遞函數(shù)矩陣進行判別。,定理1(線性時變系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定) 對于零初始條件的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，設(shè)其脈沖響應(yīng)矩陣為 。該系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù) ，使得一切 ， 的所有元 ( ； )均滿足,定理2(線性定常系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定) 對于零初始條件的連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，設(shè)其脈沖響應(yīng)矩陣為 ，傳遞函數(shù)矩陣函數(shù)為 。該系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù) ，使得 時， 的所有元 ( ； )均滿足,或者G(S)為真有理分式函數(shù)

3、矩陣，且其所有元傳遞函數(shù)gij(S)的所有極點均具有負實部。,二. 內(nèi)部穩(wěn)定性,考慮連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其輸入 u(t)=0 的狀態(tài)方程即自治狀態(tài)方程為,式中的A(t)為nn時變矩陣，且滿足解存在唯一性條件。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)零輸入響應(yīng) 是由任意非零初始狀態(tài) 引起的狀態(tài)響應(yīng)。,定義2(內(nèi)部穩(wěn)定性) 對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，如果由時刻t0 任意非零初始狀態(tài) 引起的狀態(tài)零輸入響應(yīng) 對所有 是有界的，并滿足,則稱該系統(tǒng)在時刻t0 為內(nèi)部穩(wěn)定。,對于一般情況，系統(tǒng)(線性或非線性)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指自治系統(tǒng)狀態(tài)運動的穩(wěn)定性，等同于李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。對于連續(xù)時間線性系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定性可以由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

4、或系數(shù)矩陣直接判別。,對n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)，其在t0 時刻的任意非零初始狀態(tài)為 ，則其狀態(tài)零輸入響應(yīng) 為,容易看到， 有界當(dāng)且僅當(dāng) 有界， 當(dāng)且僅當(dāng) 。,定理3(線性時變系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定) 對于n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)，其在t0 時刻是內(nèi)部穩(wěn)定(或漸進穩(wěn)定)的充分必要條件是，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 對所有 是有界的，并滿足漸進屬性,定理4 (線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定) 對于n維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng),系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定(或漸進穩(wěn)定)的充分必要條件是，矩陣指數(shù)函數(shù) 滿足,定理5(線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定) 對于n維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)，系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定(或漸進穩(wěn)定)的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的所

5、有特征值 ( )均具有負實部，即,對于周期時變系統(tǒng)一類特殊連續(xù)線性時變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣 可通過李雅普諾夫變換化為時不變矩陣 ，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件歸結(jié)為要求矩陣 所有特征值均具有負實部。,三. 內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系,系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系是通過系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)表現(xiàn)出來，對這種關(guān)系的研究，在理論分析和工程應(yīng)用上都具有重要價值和基本意義。,定理6(內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定關(guān)系) 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),式中， ，u為p維輸入，y為q維輸出。若系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定(或漸進穩(wěn)定)，則系統(tǒng)必為外部穩(wěn)定。,定理7(內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定關(guān)系) 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)如果是外部穩(wěn)定的，系統(tǒng)未必是內(nèi)

6、部穩(wěn)定的。,1. 自治系統(tǒng)、平衡系統(tǒng)和受擾系統(tǒng),系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性實質(zhì)上歸結(jié)為系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。直觀上，系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就是，偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素，或者使之限制在平衡狀態(tài)的有限領(lǐng)域內(nèi)，或者使之同時最終返回到平衡狀態(tài)。,定義1(自治系統(tǒng)) 沒有外加輸入作用即不受外部影響的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)的一般描述為,式中， ， 為顯含時間變量t 的n 維向量函數(shù)。,(1),四. 李雅諾夫穩(wěn)定性定義,對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，自治系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為,對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，自治系統(tǒng)狀態(tài)方程又可表示為,定義2(平衡狀態(tài)) 對于自治系統(tǒng)(1)，如果存在某個狀態(tài) ，滿足

7、,則稱 為該系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。,自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 一般情況下不唯一。對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài) 為方程 的解。如果矩陣A為非奇異，則 是其唯一解；但是若A為奇異矩陣，則 還有其他非零解。,在大多數(shù)情況下， 即狀態(tài)空間的原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中呈現(xiàn)為彼此分隔的孤立點，則稱其為孤立平衡狀態(tài)。孤立平衡狀態(tài)的重要特性是，通過移動坐標(biāo)系而將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的原點，因此在今后的討論中，常假定平衡狀態(tài) 就是原點。,定義3(受擾運動) 將自治系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0 擾動引起的一類狀態(tài)運動稱為受擾運動。,實際上，受擾運動就是系統(tǒng)的狀態(tài)零輸入響應(yīng)，起因與穩(wěn)定分析中將非零初始

8、狀態(tài) x0 看成相對于零平衡狀態(tài)xe=0的一個狀態(tài)擾動。為了更明顯的表示受擾運動中的時間關(guān)系和因果關(guān)系，可將受擾運動表示為,式中， 表示向量函數(shù)，括號內(nèi)分號前反映對時間t 的函數(shù)關(guān)系，分號后用以強調(diào)導(dǎo)致運動的初始狀態(tài)x0 及其作用時刻t0 。顯然，對 t=t0 ，受擾運動的向量函數(shù)滿足,在幾何上，受擾運動 呈現(xiàn)為狀態(tài)空間從初始點 出發(fā)的一條軌線，對應(yīng)不同初始狀態(tài)受擾運動 構(gòu)成一個軌線族。,2. 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定,定義4(李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定) 如果對給定的任一個實數(shù) ，都對應(yīng)存在另一個依賴于 和 的實數(shù) ，使得由滿足,的任一初始狀態(tài)x0 出發(fā)的受擾運動 都滿足,則稱平衡狀態(tài) 是李雅普諾

9、夫意義下的穩(wěn)定。如果 ，則稱原點是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定的。,這個定義的幾何意義是：對給定的實數(shù) ，存在實數(shù) (其大小依賴于 和t0 )。在狀態(tài)空間中以原點 為球心，分別構(gòu)造半徑為 和半徑為 兩個超球體，用 、 表示它們的球域；則由球域 中任意一點出發(fā)的運動軌線 對所有,，都不脫離域 的邊界,。對于二維系統(tǒng)，上述幾何意義可用上圖來表示。,在定義4中，如果與選取的初始時刻t0 無關(guān)，而只依賴于，則稱平衡狀態(tài)xe 是李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定。對于時變系統(tǒng)，一致穩(wěn)定比之穩(wěn)定通常更有實際意義。而對于定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài)xe 為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，則xe 一定為李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定。,李雅普諾夫意義

10、下穩(wěn)定只能保證系統(tǒng)受擾運動相對于平衡狀態(tài)的有界性，不能保證系統(tǒng)受擾運動相對于平衡狀態(tài)的漸近性。所以說李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定實質(zhì)上就是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。,定義5(漸近穩(wěn)定) 如果 (1) 平衡狀態(tài)xe=0在時刻t0 是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定；(2) 對于實數(shù) 和任意實數(shù) ，都對應(yīng)存在實數(shù) ，使得滿足 的任一初始狀態(tài) x0 出發(fā)的受擾運動 都滿足,則稱平衡狀態(tài)xe 是漸近穩(wěn)定的。,上述定義的幾何意義是(以二維系統(tǒng)為例)，見圖所示。其中圖 (a)反映了受擾運動相對于平衡狀態(tài)的有界性，圖 (b)反映了受擾運動相對于平衡狀態(tài)隨時間變化的漸進性。,(a),(b),在定義中，若 ，則有 ，所以當(dāng)平衡狀

11、態(tài) 是漸近穩(wěn)定時，必有,在定義5中，如果和T與選取的初始時刻t0 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe 是一致漸近穩(wěn)定的。對于時變系統(tǒng)，一致穩(wěn)定比之穩(wěn)定通常更有實際意義。而對于定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài)xe的漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定等價。,定義6(大范圍漸近穩(wěn)定) 如果以系統(tǒng)狀態(tài)空間中的任一有限非零點為初始狀態(tài)x0 的受擾運動 都是有界的，且,則稱系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。,通常，大范圍漸近穩(wěn)定也稱為全局漸近穩(wěn)定。顯然，平衡狀態(tài) xe=0 為大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是，狀態(tài)空間 中不存在其他孤立平衡狀態(tài)。漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)必為大范圍漸近穩(wěn)定。在工程問題中，通?？偸窍Ｍ到y(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。

12、,3. 不穩(wěn)定,定義7(不穩(wěn)定) 如果不論取多大的有界實數(shù) ，都不可能找到相應(yīng)的實數(shù) ，使得由滿足,的任一初始狀態(tài) 出發(fā)的受擾運動 都滿足,則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,對于二維系統(tǒng)來說，不穩(wěn)定的幾何意義如圖所示。由圖可以看到，如果平衡狀態(tài) xe 是不穩(wěn)定的，則不管取多么大的域 ，也不管取多么小的域 ，總存在非零點 ，使由 出發(fā)的受擾運動軌線越出 的邊界 。,李雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定實際上就是工程意義下的發(fā)散性不穩(wěn)定。,李雅普諾夫穩(wěn)定性是指，在系統(tǒng)的工作過程中，如果在受到長時間起作用的初始擾動時，經(jīng)過“足夠長”的時間以后，系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。,一. 李雅普諾夫第一法和第二法,李雅普諾夫第一法也稱

13、為李雅普諾夫間接法，是一種小范圍穩(wěn)定性分析方法。,其思路是: 將非線性自治系統(tǒng)的運動方程在足夠小領(lǐng)域內(nèi)進行泰勒級數(shù)展開成一次近似線性化系統(tǒng)，再根據(jù)線性化系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上的分布推斷非線性化系統(tǒng)在領(lǐng)域內(nèi)的穩(wěn)定性。,4.2 李雅諾夫穩(wěn)定性定理,若線性化系統(tǒng)特征值均具有負實部，則非線性化系統(tǒng)在領(lǐng)域內(nèi)穩(wěn)定；若線性化系統(tǒng)的特征值具有正實部，則非線性化系統(tǒng)在領(lǐng)域內(nèi)不穩(wěn)定；若線性化系統(tǒng)除了具有負實部特征值外，還具有實部為零的單特征值，則需通過高次項的分析來判斷非線性化系統(tǒng)在領(lǐng)域內(nèi)是否穩(wěn)定。,李雅普諾夫第二法也稱為李雅普諾夫直接法，是一種直接由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)判斷內(nèi)部穩(wěn)定性的分析方法。,直接法面向非線性系統(tǒng)，基于引

14、入具有廣義能量屬性的李雅普諾夫函數(shù)及分析李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定號性，以建立和判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的相應(yīng)結(jié)論。,李雅普諾夫第二法直接由系統(tǒng)的方程出發(fā)，通過構(gòu)造一個類似于“能量”的李雅普諾夫函數(shù)，分析函數(shù)及它的一階導(dǎo)數(shù)的定號性，以獲取系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息。,對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng),式中， 。對于所有 ，均有 ，即狀態(tài)空間的原點 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,下面給出原點為平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，其大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理，常稱為李雅普諾夫主穩(wěn)定性定理。,二. 李雅普諾夫第二法的主要定理,定理1(大范圍一致漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 和 t 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V

15、( x,t )其中V( 0,t )=0，且對狀態(tài)空間 中所有非零點狀態(tài)點 x 滿足以下條件,V( x,t ) 正定且有界，即存在兩個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù) 和 其中 ， ，使對所有 及 有,(2) V( x,t )對時間 t 的導(dǎo)數(shù) 負定且有界，即存在一個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù) 其中 ，使對所有 及 有,(3) 當(dāng) ，有 即 。,則稱系統(tǒng)原點平衡狀態(tài) 為大范圍一致漸近穩(wěn)定。,對于李雅普諾夫主穩(wěn)定性定理，從物理學(xué)的角度，把正定有界標(biāo)量函數(shù) 看成“廣義能量”，把 看成“廣義能量的變化率”，則結(jié)論反映了物理世界中的一個客觀事實，即如果系統(tǒng)的總能量是有限的，并且不斷補給系統(tǒng)以新的能量，而能量的變換率始終為負，

16、即隨著運動的進行，系統(tǒng)能量為有界并最終趨向于零，系統(tǒng)運動對應(yīng)地必為有界并最終返回到原點平衡狀態(tài)。但是 一般畢竟不能等同于能量，且 的含義和形式隨著系統(tǒng)物理屬性的不同而不同。,在系統(tǒng)穩(wěn)定性理論中，常將滿足穩(wěn)定性條件的 稱為李雅普諾夫函數(shù)。因此，判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，就歸結(jié)為對給定系統(tǒng)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù) 。,的選取是一個試選和驗證的過程。對于簡單的系統(tǒng)，常選為狀態(tài) x 二次型函數(shù)，若驗證不滿足定理條件，再試取更為復(fù)雜的四次型函數(shù)，如此等等。對于復(fù)雜的系統(tǒng)，主要憑借經(jīng)驗試取，但總的來說還缺少一般性的方法。,對于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理，指出的條件只是保證自治系統(tǒng)為大范圍一致漸近穩(wěn)定的一個充分條件。充分

17、條件的局限性在于，如果對給定系統(tǒng)找不到一個合適的標(biāo)量函數(shù) 使它滿足定理的條件，那么就不能對系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出相應(yīng)的否定性結(jié)論。,由于李雅普諾夫直接法的充分性屬性，在應(yīng)用李雅普諾夫判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性問題中常采取的步驟是：先判斷系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性，若多次試選而不成功，則進而判斷系統(tǒng)小范圍漸近穩(wěn)定性；以此類推，再判斷李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性，直到判斷不穩(wěn)定性。,李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理，可同時適用于線性和非線性、時變和定常等各類動態(tài)系統(tǒng)。,如果系統(tǒng)是連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng),式中， ，及對所有 ，由 ，即狀態(tài)空間原點 為系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)。,定理2(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定

18、常自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù) V(x) 其中V(0)=0 ，且對狀態(tài)空間 中所有非零點狀態(tài)點 x 滿足以下條件,(1) V(x)為正定；,(2) 為負定；,(3) 當(dāng) ，有 。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,例1 給定一個連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。,為狀態(tài) x 的二次型函數(shù)，可知 為正定，且 。,所以系統(tǒng)原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,經(jīng)計算可得：,可知 為負定， 且 。當(dāng),有,定理3(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x) 其中V(0)=0 ，

19、且對狀態(tài)空間 中所有非零點狀態(tài)點 x 滿足以下條件,(1) V(x)為正定；,(2) 為負半定；,(3) 對于任意 ， ；,(4) 當(dāng) ，有 。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,【例2】 給定一個連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)在原點的平衡狀態(tài)是否為大范圍漸近穩(wěn)定。,解：容易得到 及 是系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)。,取李雅普諾夫函數(shù),為狀態(tài) x 的二次型函數(shù)，可知V(x) 為正定，且V(0)=0。,經(jīng)計算可得,可以看到，只有狀態(tài)(a)“x1 任意，x2=0”和狀態(tài)(b)“x1任意，x2=1”使 ，其余狀態(tài)均使 。表明 為負半定。,所以系統(tǒng)原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,檢查 是否滿足

20、 ，即判斷狀態(tài)(a)和狀態(tài)(b)是否為系統(tǒng)受擾運動解。,對于狀態(tài)(a)即 ，有,表明，除了原點( ， )外， 不是系統(tǒng)受擾運動解。,對于狀態(tài)(b)即 ，有,這是一個矛盾的結(jié)果，從而表明 也不是系統(tǒng)受擾運動解。,綜上所述，條件 滿足。而且當(dāng) 時，有,在李雅普諾夫直接法中，當(dāng)難以判斷系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性時，應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)而判斷系統(tǒng)的小范圍漸近穩(wěn)定性。,定理4 (時變系統(tǒng)小范圍漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 和 t 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t ) 其中V(0,t )=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對于所有非零狀態(tài) 和所有 滿足,(1) V(x,

21、t) 為正定且有界；,(2) 為負定且有界。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 在域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定。,定理5 (定常系統(tǒng)小范圍漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x) 其中V(0)=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對于所有非零狀態(tài) 滿足,(1) V(x)為正定； (2) 為負定。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) x=0 在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定。,定理6 (定常系統(tǒng)小范圍漸近穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x) 其中V(0)=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū) ，使對于所有

22、非零狀態(tài) 滿足,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) x=0 在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定。,(1) V(x)為正定； (2) 為負半定。(3)對于任意非零 ， 。,當(dāng)難以判斷系統(tǒng)小范圍漸近穩(wěn)定性時，應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)而判斷李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。,定理7(時變系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若存在一個對x和t 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t)其中V(0,t )=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對于所有非零狀態(tài) 和所有 滿足:,(2) 為負半定且有界。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定。,(1) V(x,t )為正定且有界；,定理8(定常系統(tǒng)李

23、雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x)其中V(0)=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對于所有非零狀態(tài) 滿足,(1) V(x)為正定；,(2) 為負半定。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定。,下面給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則。,定理9(時變系統(tǒng)的不穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)，若存在一個對 x 和 t 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t )其中V(0,t)=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū) ，使對于所有非零狀態(tài) 和所有 滿足,(1) V(x,t )為正定

24、且有界；,(2) 為正定且有界。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) x=0 為不穩(wěn)定。,定理10(定常系統(tǒng)的不穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個對x 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)V(x) 其中V(0)=0 ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對于所有非零狀態(tài) 滿足,(1) V(x)為正定；,(2) 為正定。,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) x0 為不穩(wěn)定。,4.3 控制系統(tǒng)的李雅諾夫穩(wěn)定性分析,一. 線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，自治狀態(tài)方程為,式中， ，A( t )滿足解存在唯一性條件，xe=0 為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。,定理1(基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的穩(wěn)定性定理) 對于

25、連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，設(shè) 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則,(1)系統(tǒng)為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，存在依賴于t0 的一個實數(shù) ，滿足,(2)系統(tǒng)為李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定的充分必要條件是，存在不依賴于t0 的獨立實數(shù) ，滿足上式。,(3)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，存在依賴于t0 的一個實數(shù) ，滿足上式及同時滿足,(4)系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，存在對所有 的獨立實數(shù) 和 ，滿足,定理2 (基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 已知連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定。若nn矩陣A(t)的元均為分段連續(xù)的一致有界實函數(shù)，即 ， 為任意給定的一個實對稱、一致有界、一致正定的nn矩陣，其元

26、為t的連續(xù)函數(shù)，且對 ，存在兩個實數(shù) 及 ，有,則積分：,對所有t均收斂，且 是滿足定理1的一個李雅普諾夫函數(shù)。,定理3 (基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任意給定的正定對稱矩陣,存在有界正定對稱矩陣P(t)。,二. 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，自治狀態(tài)方程為,式中， ，狀態(tài)空間原點 為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。,定理4 (基于特征值的穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài) xe=0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要條件是，矩陣A的特征值均具有負實部或為零，且零實部特征值只能為A的最小多項式的單根。,定理5(基于特征值的穩(wěn)

27、定性定理) 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充要條件是，矩陣A的特征值均具有負實部。,定理6(基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充要條件是，對任給一個nn正定對稱矩陣Q，李雅普諾夫方程,有唯一nn正定對稱解陣P。,【例1】 給定一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，利用李雅普諾夫方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：為簡化過程，取 。進而，由李亞普諾夫方程,解得：,由P為正定陣，則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,定理7(基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)和任給實數(shù) ，令矩陣A的特征值 為( )，則系統(tǒng)所有特征值均為于S平面的直線

28、左半開平面上，即,的充分必要條件是，對任給一個nn正定對稱矩陣Q，推廣李雅普諾夫方程,有唯一正定解陣P。,三. 離散非線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理,離散時間非線性定常自治系統(tǒng),式中， ， ，即狀態(tài)空間的原點 為系統(tǒng)平衡狀態(tài)。,定理8(離散時間非線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理) 對于離散時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一個相對于離散狀態(tài)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k)，使得任意 滿足,(1) V(x(k)為正定；,(2) 設(shè) ， 為負定；,(3) 當(dāng) ， 。,則原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,定理9(離散時間非線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理) 對于離散時間非線性定常自治系統(tǒng)，若存在一

29、個相對于離散狀態(tài)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k)，使得任意 滿足,(1) V(x(k)為正定；,(2) 設(shè) ， 為負半定；,(3) 對由任意非零初始狀態(tài) 確定的自由運動的所有解 的軌線， 不恒為零；,(4) 當(dāng) ， 。,則原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,定理 10(離散時間非線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理) 對于離散時間非線性定常自治系統(tǒng)，設(shè) 即狀態(tài)空間原點 為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若 為收斂即對 有,則原點平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。,四. 離散時間線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理,離散時間非線性定常自治系統(tǒng),式中， ， 的解狀態(tài) 為平衡狀態(tài)。若矩陣G為奇異，則除原點平衡狀態(tài) 外，還有非零平衡狀態(tài)；若矩

30、陣G為非奇異，則只有唯一平衡狀態(tài) 。,定理11(基于特征值的穩(wěn)定性定理) 對于離散時間線性定常自治系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，G的全部特征值 ( )的幅值均小于1。,定理12(基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 對于離散時間線性定常自治系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定，即G的全部特征值 ( )的幅值均小于1，當(dāng)且僅當(dāng)對任一給定的 nn 正定對稱矩陣Q，離散型李雅普諾夫方程,有唯一nn正定對稱解陣P。,定理13(基于李雅普諾夫的穩(wěn)定性定理) 對于離散時間線性定常自治系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài) 以實數(shù) 為冪指數(shù)穩(wěn)定，即G的全部特征值滿足,當(dāng)且僅當(dāng)對任一給定的 nn 正定對稱矩陣Q，擴展離散型李雅普諾夫方程,有唯一 nn 正定對稱解陣P。,4.4 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法,李雅普諾夫直接法的主要內(nèi)容是構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)。構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的先前途徑是基于經(jīng)驗的多次試取。本節(jié)介紹的變量梯度法和克拉索夫斯基方法是屬于構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法。,一. 變量梯度法,變量梯度法構(gòu)造原則是，先按定