1、23 動能定理和機(jī)械能守恒定律,一、功和功率,1. 功,(1)恒力做功,力對物體所做的功等于力的數(shù)值乘以物體沿力方向移動的距離，即有：,在數(shù)學(xué)的矢量運(yùn)算中可表示為：,例：已知： ， 求此力所做的功？,解：,也可用：,（2）變力做功（力隨運(yùn)動變化，曲線路徑）,用積分表示：,此式的意義是合力的功等于各分力功之和。,功的幾何意義：,功在數(shù)值上等于示功圖 曲線下的面積。,（3）小結(jié),1.功是過程量，與始末位置和中間所走的路程有關(guān),2.功是標(biāo)量，且有正有負(fù)，主要取決于 ； 不做功， 做正功， 做負(fù)功,3.若有幾個力同時作用在質(zhì)點上，則合力所做的功為：,功率的單位：W或Js-1,功的其它單位：1eV=1.

2、610-19J,4、功的單位：J,2. 功率描述做功的效率或做功的快慢,（1）單位時間內(nèi)做功的多少，或單位時間內(nèi)所做的功叫功率，用 P 表示。,（3）瞬時功率：,例:一隕石從距地面高為h處由靜止開始落 向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過程中， 萬有引力的功是多少？,解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反,解：（一維運(yùn)動可以用標(biāo)量）,二、保守力和勢能,1、保守力：某些力對質(zhì)點做功的大小只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。這種力稱為保守力。 2、勢能：在具有保守力相互作用的系統(tǒng)內(nèi)，只由質(zhì)點間的相對位置決定的能量稱為勢能。,在保守力場（在任意點受保守力的作用），質(zhì)點從A-B，所做的功與路徑無關(guān)，而只

3、與這兩點的位置有關(guān)?？梢胍粋€只與位置有關(guān)的函數(shù)，B點的函數(shù)值減去A點的函數(shù)值，定義為從B -A保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。,*幾種保守力和相應(yīng)的勢能,a.重力的功和重力勢能,m在重力作用下由a運(yùn)動到b，取地面為坐標(biāo)原點，y軸向上為正，a、b的坐標(biāo)分別為ya、yb。,可見，重力是保守力。,為勢能增量,重力的功等于重力勢能增量的負(fù)值。,重力勢能以地面為零勢能點，,b. 萬有引力的功,若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零點，則 a 點的勢能為：,C.彈力的功和彈性勢能,彈性力的功等于彈性勢能增量的負(fù)值。,彈性勢能以彈簧原長為零勢能點。,注意：零勢能點可以任意取，前述是一般取法。,（4）小結(jié)：,i.除

4、了重力、彈簧的彈性力、萬有引力以外，靜電力也具有上述的特點。,ii.凡是沿任意閉合回路做功為零的力，或者說做功與具體路徑無關(guān)的力，都稱為保守力。,iii.對于保守力，我們可以引進(jìn)勢能的概念，因為它是空間位置的函數(shù)。,2. 勢能,（1）引入勢能，以勢能的減少來表達(dá)保守力所做的功,這樣做的優(yōu)點在于使功的計算極為簡單。,重力的功：,彈簧的彈性力的功：,萬有引力的功：,重力勢能：,彈性勢能：,萬有引力勢能：,（2）勢能是空間位置的函數(shù)，它代表著一種潛在的做功本領(lǐng)，從現(xiàn)代物理學(xué)的觀點來看，勢能是比力更為基本的概念，可以認(rèn)為它表示了質(zhì)點間的相互作用，或更一般意義上的粒子間的相互作用。顯然，勢能的概念并不屬

5、于單個質(zhì)點的物體，而是屬于由相互作用著的質(zhì)點或物體所組成的體系。,（3）計算勢能的參考點（零勢能點的選取）,重力勢能 （以地球表面）,彈性勢能 （以平衡位置）,引力勢能 （以無限遠(yuǎn)處）,勢能屬于整個系統(tǒng),（4）非保守力做功是與具體路徑有關(guān)的，從而沒有相應(yīng)的勢能概念。摩擦力是非保守力，它做的功總是負(fù)的。這意味著，系統(tǒng)的總機(jī)械能減少，并轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)的熱能或內(nèi)能。通常人們把這個過程叫耗散過程，而把導(dǎo)致耗散的力成為耗散力。但要注意，摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力,（5）如果一個系統(tǒng)中的每個非保守內(nèi)力都不做功，我們把這個系統(tǒng)稱為保守系。因為系統(tǒng)中的內(nèi)力可分為保守力和非保守力，顯然保

6、守力做功等于系統(tǒng)內(nèi)勢能的減少，從而使系統(tǒng)的動能增加，然而非保守內(nèi)力做功卻導(dǎo)致了系統(tǒng)的機(jī)械能與其它形式能量（如熱能、化學(xué)能等）之間的轉(zhuǎn)化。,3. 勢能曲線,（1）一維勢能曲線是討論單個質(zhì)點在保守力場中運(yùn)動的有力工具。,我們知道，勢能是位置參量的函數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)系和零勢點確定以后，勢能是 x 的函數(shù)，由此畫出的勢能隨坐標(biāo)變化的曲線叫勢能曲線。,勢能和保守力的關(guān)系：,勢能是保守力對路徑的線積分，,保守力沿某一給定的l方向的分量等于與此保守力相應(yīng)的勢能函數(shù)沿l方向的空間變化率。,若勢能為EP（x,y,z),（2）一維勢能曲線能告訴我們什么？,i.保守力做功等于勢能的減少,在一維情況下：,此式表明，保守力

7、f指向勢能下降的方向，其大小正比于勢能曲線的斜率（在勢“谷”或“峰”處，保守力為零）。,ii.勢能曲線上每一個局部的最底點（即勢“谷”或勢阱的底部） 和 處，都是穩(wěn)定的平衡點。每當(dāng)質(zhì)點偏離了穩(wěn)定的平衡點時，都會受到指向平衡點的力，即質(zhì)點可以圍繞這些平衡點做小振動，反之，勢能曲線上每個局部的最高點（即勢能“峰”的頂部， 處）都是不穩(wěn)定的平衡點，一旦質(zhì)點偏離了不穩(wěn)定的平衡點，質(zhì)點就會遠(yuǎn)離而去，因而，勢能曲線還形象地表示出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,穩(wěn)定的平衡點,不穩(wěn)定的平衡點,（3）舉例：,彈簧振子的勢能曲線：,iii.不管 x 大于零還是小于零， 總是大于零。,i.彈性力總是指向平衡位置 o處，彈性力的大

8、小正比于勢能曲線的斜率。,ii.o點為穩(wěn)定平衡點。,如圖示，一質(zhì)量為 的質(zhì)點在合外力 的作用下，自點 沿曲線軌跡移到 點，它在點 和點 的速率分別為 和 ，設(shè)作用在位移 上的合外力 和 之間的夾角為 ，于是，合外力 對質(zhì)點所做的元功為：,我們來看力對空間積累會產(chǎn)生什么效果？,三、質(zhì)點動能定理,由牛頓第二定理及切向加速度的定義，有：,注意： 表示切向加速度，因為此處只考慮速度大小的變化; 表示總加速度，這里考慮了速度大小和方向都隨時間的變化,質(zhì)點自 點移到 點這一過程中，合外力所做的總功為：,即動能的增量等于力與位移矢量的標(biāo)積沿運(yùn)動軌跡的線積分。,動能定理：運(yùn)動質(zhì)點動能的增量等于其它物體對質(zhì)點所

9、做的功。,(1)此定理揭示了過程量“功”和狀態(tài)量“動能”的關(guān)系功是能量變化的量度。不知道力的函數(shù)，可用動能的增量解題。,(2)動能定理只適用于慣性系。,例:一鏈條總長為L，質(zhì)量為m。放在桌面上并使其下垂，下垂的長度為a，設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為，令鏈條從靜止開始運(yùn)動，則：（1）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？（2）鏈條離開桌面時的速率是多少？,解：(1)建坐標(biāo)系如圖,注意：摩擦力作負(fù)功！,(2)對鏈條應(yīng)用動能定理：,前已得出：,四、功能原理,1.系統(tǒng)受力,2.質(zhì)點系動能定理：,對 ：,對 ：,2.質(zhì)點系動能定理：,對 ：,即：,質(zhì)點系動能定理,？作用力與反作用力大小相等、方

10、向相反，所以兩者所做功的代數(shù)和為0,*一對作用力和反作用力的功,m1、m2組成一個封閉系統(tǒng) 在t時間內(nèi),注意：此處雖然內(nèi)力是成對出現(xiàn)，但各自的位移不同，所以內(nèi)力做功并不為零；在質(zhì)點系動量定理處，內(nèi)力成對出現(xiàn)，而且經(jīng)歷的時間是一樣的，所以內(nèi)力的沖量為零,兩質(zhì)點間的一對作用力和反作用力所做功等于其中一個質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點相對于另一質(zhì)點所移動的路徑所做的功。,例 在一長度為 的小車上，一人從車尾走到車頭， 此時車前進(jìn)了距離 L ,若設(shè)人與車之間的作用力為恒力， 試討論這一對力作功與參考系的關(guān)系。,解：取地面為O系，小車 為 系。,設(shè)小車對人的作用力為 人對車的力為,（1）力 作的功：,在O系中：,

11、在 系中：,可見，作功與參考系的選擇有關(guān)。,（2）力 作的功：,在O系中：,在 系中：,（3）一對力作的功：,在O系中：,在 系中：,可見一對力作功與參照系的選擇無關(guān)。,即車相對 系位移為零,3.功能原理：,動能定理可寫成：,此即功能原理。,(1)只有外力做功和非保守內(nèi)力做功才會引起質(zhì)點系機(jī)械能的變化。,(2)質(zhì)點系動能定理外力做功、內(nèi)力做功改變質(zhì)點系的動能；,功能原理外力做功、非保守內(nèi)力做功改變質(zhì)點系的機(jī)械能。,(3)用功能原理不需要考慮保守力，也不必計算保守內(nèi)力的功。,強(qiáng)調(diào)：,說明：1、功和能是兩個不同的概念： 能是：運(yùn)動狀態(tài)(運(yùn)動狀態(tài)一定，動能就一定） 動能 是狀態(tài)量，任一運(yùn)動狀態(tài)對應(yīng)一

12、定 的動能。 功是：能量變化的一種量度。 2、動量和動能都描寫運(yùn)動狀態(tài) a.動量：矢量；動能：標(biāo)量 b.動能可以轉(zhuǎn)移，運(yùn)動形式也可以轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)移 機(jī)械機(jī)械： 可用動量和動能量度 機(jī)械非機(jī)械：只能用動能,即 機(jī)械能守恒,注意：此處是外力做功和非保守力做功分別為零，并不是其和為零，這是因為我們討論的是每一點上的機(jī)械能守恒，而不是一個特殊點的情況。,注意：能量表示狀態(tài) 功代表過程,時間累積效應(yīng),空間累積效應(yīng),牛二律，瞬時效應(yīng),動量定理,角動量定理,動能定理,范圍：慣性系、宏觀低速運(yùn)動（只有動量守恒、角動量守恒、能量守恒對宏觀、微觀都適用）。,10 各定理、定律的表達(dá)式，適用條件，適用范圍。,20 由牛

13、頓第二定律推出：,動量定理,動能定理,機(jī)械能守恒定律,動量守恒定律,功能原理,角動量定理,角動量守恒定律,解決問題的思路按此順序倒過來，首先考慮用守恒定律解決問題。若要求力的細(xì)節(jié)則必須用牛頓第二定律。,30 有些綜合問題，既有重力勢能，又有彈性勢能， 注意各勢能零點的位置，不同勢能零點位置可以同， 也可以不同。（問：一般選哪里為勢能零點？）,40 有些問題涉及臨界現(xiàn)象（如彈簧下面的板剛好提離地面、小球剛好脫離圓形軌道、木塊剛好不下滑等）。,解題時先建立運(yùn)動滿足的方程，再加上臨界條件（往往是某些力為零或 v 、a 為零等）。,50 特別注意用高等數(shù)學(xué)來解的問題。凡有極值問題要用求導(dǎo)的方法。,例.

14、 質(zhì)量為 m 的小球系在線的 一端，線的另一端固定，線長 L ， 先拉動小球，使線水平張直，然后 松手讓小 球落下,求：線擺下 角時，小球的速率 v b 和線的張力T,解法一：用牛頓第二定律,研究對象：小球,用 d S 乘方程（1）的兩邊：,將上述結(jié)果代入（2）,建立自然坐標(biāo)如圖,受力分析：,運(yùn)動方程：,解法二：用動能定理 研究對象：小球,解法三：用機(jī)械能守恒定律,研究對象：小球、線、地球組成的系統(tǒng)。,只有重力作功，Ea = Eb，機(jī)械能守恒。 令 b 處勢能為零,五、碰撞,1. 碰撞現(xiàn)象,（1）定義：當(dāng)兩個質(zhì)點或兩個物體相互接近時，在較短的時間內(nèi)通過相互作用，它們的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化。

15、這一現(xiàn)象叫碰撞現(xiàn)象。,（2）在宏觀現(xiàn)象中，碰撞意味著兩個物體直接接觸。這種碰撞的特點是：相碰的物體在接觸前和分離后沒有相互作用，接觸的時間很短，接觸時的相互作用比較強(qiáng)烈。因此，在接觸的過程中可以忽略外力的作用，可以認(rèn)為兩物體系統(tǒng)的總動量是守恒的。,（3）實際上，現(xiàn)代物理學(xué)所研究的碰撞問題大多是微觀粒子之間的碰撞，這時粒子間的相互作用是非接觸作用。由于雙方有很強(qiáng)的斥力，使它們在接觸前就偏離了原來的運(yùn)動方向而分開，這通常稱為散射。在微觀物理當(dāng)中，粒子間的相互作用十分復(fù)雜，而且往往不能直接觀測。人們主要就是通過各種類型的散射實驗來研究粒子間的相互作用，以及它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。當(dāng)然兩個微觀粒子發(fā)生碰撞時還

16、可能產(chǎn)生新的其它粒子。,2. 碰撞的種類,（1）碰撞分兩類：正碰和斜碰（我們只研究正碰）,正碰兩球在碰撞前后的速度均在球心的聯(lián)線上(對心碰撞)。,設(shè)碰撞前后的相對速度 、 分別為：,恢復(fù)系數(shù) e 定義為其大小比值：,我們根據(jù) e 的大小將碰撞分為三類：,（2）三類碰撞中的動能守恒情況：,(a)完全彈性碰撞：,(b)完全非彈性碰撞：,(c)非完全彈性碰撞：,碰撞時外力近似為零，其壓縮階段與恢復(fù)階段一致，故內(nèi)力做功為零，動能守恒。,碰撞時外力近似為零，只有壓縮階段，沒有恢復(fù)階段，故動能不守恒。,碰撞時外力近似為零，有壓縮階段與恢復(fù)階段，但恢復(fù)不到原程度，故動能不守恒。,對于完全彈性碰撞,此時 ，則,例：如果第二小球原為靜止，則當(dāng)?shù)谝恍∏?/p>