1、立體幾何專題,(1)多面體的截面,多面體的截面在課本 P59例3、P63B1處體現(xiàn)。,一、定義及相關(guān)要素 用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫做截點 二、作多面體截面 1方法(交線法)該作圖關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結(jié)成截線，從而求得截面 2作截線與截點的主要根據(jù)有： (1)確定平面的條件 (2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi) (4)如果一條直線平行于

2、一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行,三、作圖題型,1截面經(jīng)過的三個已知點分別在多面體的棱上，且其中有兩點在同一個面的棱上,作圖題1如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別在AB、BC、DD1上，求作過E、F、G三點的截面,作法：(1)在底面AC內(nèi)，過E、F作直線EF分別與DA、DC的延長線交于L、M (2)在側(cè)面A1D內(nèi)，連結(jié)LG交AA1于K (3)在側(cè)面D1C內(nèi)，連結(jié)GM交CC1于H (4)連結(jié)KE、FH則五邊形EFHFK即為所求的截面,作圖題2P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的

3、棱BB1、CC1和DD1上，試畫出過P、Q、R三點的截面,作法：(1)連接QP、QR并延長，分別交CB、CD的延長線于E、F. (2)連接EF交AB于，交AD于S (3)連接RS、TP。則多邊形PQRST即為所求截面。,作圖題3已知P、Q、R分別是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的點，且QR與AD不平行，求作過這三點的截面。,作法：(1)連接QP并延長交DA延長線于點I。 (2)在平面ABCD內(nèi)連接PI交AB于點M。 (3)連接QP、RM。則四邊形PQRM即為所求。,作圖題4如圖，五棱錐PABCDE中，三條側(cè)棱上各有一已知點F、G、H，求作過F、G、H的截面,作法：(1

4、)將側(cè)面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱錐PBST (2)在側(cè)面PBS內(nèi)，連結(jié)并延長GF，交PS于K (3)在側(cè)面PBT內(nèi)，連結(jié)并延長GH交PT于L (4)在側(cè)面PST內(nèi)，連結(jié)KL分別交PD、PE于M、N (5)連結(jié)FN、MH則五邊形FGHMN即為所求的截面,2截面經(jīng)過的三個已知點至少有一點在多面體的面上，其余點在棱上,作圖題5如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F在兩條棱上，G在底面A1C1內(nèi)，求過E、F、G的截面,作法：(1)過E、F作輔助面。在面BC1內(nèi)，過F作FF1BB1，交B1C1于點F1，則面AFF1A1為所作的輔助面 (2)在面AFF1A1內(nèi)，延長F1A1交FE的延長線

5、于P (3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接PG交A1B1于M并延長交B1C1于M。 (4)連結(jié)ME并延長與BA延長線交于Q，連接QF交AD于H (5)連結(jié)EH，F(xiàn)N則五邊形EHFNM為所求的截面,作圖題6已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1內(nèi)，Q在面A1ADD1內(nèi)，R在棱BB1上，畫出過P、Q、R三點的截面。,作法：(1)過P作PPCD于點P，過Q作Q QAD于Q。 (2)在底面ABCD內(nèi)連接AP、BQ，并交于H。 (3)由平行線QQ、RB作平面QQBR，連接QR。 (4)在平面QQBR內(nèi)過H作KH面ABCD交QR于K。 (5)由平行線PP、AA1作平面PPAA1，則K必落在面PPAA1內(nèi)。

6、(6)在面PPAA1內(nèi)，連接PK，并延長交AA1于M。 (7)在面A1ADD1內(nèi)，連接MQ，并延長交DD1于S。 (8)在面D1DCC1內(nèi)，連接SP，并延長交CC1于T。 (9)連接RT、RM。則多邊形SMRT即為所求。,3截面經(jīng)過的三個已知點中，有兩個點在同一棱上，第三點在多面體內(nèi),作圖題7試畫出過正三棱柱ABCA1B1C1的底邊BC及兩底中心連線OO1中點的截面。,作法：(1)過A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，則D、D1分別為BC、B1C1的中點。 (2)在平面A1AM內(nèi)，作直線DM交上底面A1B1C1于點G。 (3)在平面A1B1C1內(nèi)，過G作EFB1C1

7、交A1B1于E，交A1C1于F。 (4)連接BE，CF。則多邊形BCFE為所求。,作圖題8在側(cè)棱和高的夾角為的正四棱錐中，求作一個過底面頂點且與這點所對側(cè)棱垂直的截面(45)。,作法：(1)在平面SAC中，作AESC于點E。 (2)在底面ABCD內(nèi)過A作aBD。 (3)延長CB、CD分別交a于點M、N。 (4)連接EM、EN，分別交SB、SD于點G、H。 (5)連接AG、AH。則多邊形AGEH即為所求。,4截面經(jīng)過的三個已知點兩兩不在同一面內(nèi)的棱上,作圖題9P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，試畫出過P、Q、R三點的截面,作法：(1)先過R、P兩點作輔助平面。過點R

8、作R1RBB1交A1B1于R1，則面CRR1C1為所作的輔助平面。 (2)在面CRR1C1內(nèi)延長R1C1，交RP的延長線于M。 (3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點S，延長MQ交B1A1的延長線于點T。 (4)連接TR，交AA1于點N，延長TR交B1B于點K，再連接KP交BC于點L。 (5)連接RL、PS、QN。 則多邊形QNRLPS為所求。,注：若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。 若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點。 若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個平面的交線與截面的交點。 若兩平行平面中一個平面

9、與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。 若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題；若已知點在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點，再轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題來解決。,立體幾何專題,(2) 空間圖形的作圖,空間圖形的作圖在課本P51A1、 P62A4、 P78A1&2處體現(xiàn)。,一、空間幾何作圖的規(guī)則： 1通過不共線的三點作一平面 2求兩個可作相交平面的交線 3在一個可作平面內(nèi)，支持用直尺和圓規(guī)按照平面幾何解決一切作圖題 4任意取一點，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一直線，通過

10、或不通過一已知點，在或不在已知平面內(nèi)；任意取一平面，通過或不通過一已知點，通過或不通過一已知直線 5求已知球心及半徑的球面 二、解作圖問題的步驟： 1分析：假設(shè)求作的圖形已經(jīng)作出了研究已知條件和未知條件間有何可以溝通的關(guān)系或中間條件，從而發(fā)現(xiàn)如何從已知條件通過中間條件的媒介達(dá)到未知條件 2作法：從分析的結(jié)果，寫(說)出每一個作圖過程 3證明：證明所作圖形確實滿足所設(shè)條件 4討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當(dāng)解答存在時解的個數(shù)有多少,三、簡單作圖題,作圖題1求作一平面使其滿足下列條件之一： 1通過一已知直線及其外一已知點； 2通過兩已知相交直線； 3通過兩已知平行直線 作圖題2求

11、已知直線和已知平面的交點 作圖題3求三已知平面的交點 作圖題4通過已知直線外一已知點，求作一直線使與該直線平行.,作圖題5(P624)給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線而平行于另一線,命題：過兩異面直線中一個有且只有一平面與另一直線平行。,證明：證明存在性。 設(shè)直線a、b異面。在a上任選取一點A，過A作bb。相交直線a和b確定一平面，則b。 證明唯一性。 設(shè)點A和直線b確定平面，則b，Ab。假設(shè)過a還存在平面b，則必有與相交。設(shè)b，則bb，Ab。bb與Ab且Ab相矛盾。故是唯一的。 作圖題5解答唯一存在。,作法：在直線a 上任取一點A，過直線b與線外一點A作平面M，在平面M內(nèi)作直線cb，

12、過相交直線a與c作平面N則平面N即為所求,作圖題6給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面互相平行,命題(P632)：a、b是異面直線，a，a，b，b存在唯一一對、使。,證明：a、b異面，a，b，由作圖題5的命題知，這樣的面有且只有一個。要確定它，只需在a上任取一點A作直線bb，則a和b就確定了。 同理，滿足條件的也有且只有一個。要確定它，只需在b上任取一點B作直線aa，則b和a就確定了。 綜上知、存在且唯一。 又aa，bb，a、b，b、a，。 作圖題6解答唯一存在。,作圖題7過給定平面外一點求作一平面，使平行于該平面,命題：過平面外一點，有且只有一個平面與該平面平行。,證明：設(shè)A是面外

13、一點。在內(nèi)任取兩相交直線a、b，過A作aa，bb，兩相交直線a、b確定面。存在性證明了。 假設(shè)過A還存在，則a，b。設(shè)過A和a的平面為，則與必相交。設(shè)a，則aa，aa，這與Aa且Aa矛盾。故是唯一的。唯一性也證明了。 作圖題7解答唯一存在。,作圖題8給定兩直線a、b及一點A，求作一平面使通過A并平行于a和b,解：1若a、b異面，且A不在通過其中過一線而平行于另一線的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。 2若a、b相交，且A不在a、b所確定的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。 3若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，則問題不定，即有無窮多個解答。 4其它情形下，問題無解。,作法：在a和A確定的平面內(nèi)過A作aa，

14、在b和A確定的平面內(nèi)過A作bb。由a和b確定的平面即為所求。,作圖題9求作一直線l使與兩直線a、b相交，并通過此兩直線以外的一已知點M,解：若a、b共面于 1當(dāng)M時，有無窮多個解答 2當(dāng)M且a、b相交時，有唯一解答。 3當(dāng)M且ab時，沒有解答。 若a、b異面 1當(dāng)M在過a而平行于b的平面內(nèi)或在過b而平行于a的平面內(nèi)時，沒有解答。 2當(dāng)M既不在過a而平行于b的平面內(nèi)又不在過b而平行于a的平面內(nèi)時，有唯一解答。,作圖題10給定兩條異面直線a和b，求作一直線l使與a、b相交，并與第三直線c平行,解：若c、a相交且確定平面 1當(dāng)b時，無解。 2當(dāng)與b相交時，有一解。解為過b與的交點A作c的平行線。 若

15、c、a異面。設(shè)過a且平行于c的平面為。 1當(dāng)b時，無解。 2當(dāng)與b相交時，有一解。解為過b與的交點B作c的平行線。 綜上知，當(dāng)a、b、c平行于同一平面時，無解；其它情況下，只有一解。,作圖題11給定一平面及一斜線，求作在平面上通過斜足作一直線，使與斜線成已知銳角,作圖題12通過一定直線求作一平面，使與平面成定角,作圖題13給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。,解：過b任意一點M作aa，作過b和a的平面。 過a作面交于a0，則a0與b必相交(反證法)。 設(shè)a0bB。在內(nèi)過B作BAa0交a于A。 故直線AB即為所求。,立體幾何專題,求空間角的基本方法,1異面直線上兩點間的距離公式 已知夾角

16、為的兩異面直線a、b的公垂線段為AA( Aa，Ab)， E、F分別為a、b上的點，且|AA|d，|AE|m，|AF|n，則 _ ,幾個常用公式,解：設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為，經(jīng)過a和AA的平面為，c，則ca因而b、c所成角等于，且AAc又AAb，AA又AA， 在內(nèi)作EGc于G，則EGAA，EG連接FG，則EGFG,注：還可用向量法,應(yīng)用示例,選A,變式：將題中“正方形沿對角線BD折成直二面角ABDC” 改為“正方形沿對角線BD折成60二面角ABDC”， 其它不變，又如何？,2三余弦公式 已知AO是平面的斜線，為斜足，OB于B，則AB是AO在內(nèi)的射影設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC于C設(shè)AO與

17、AB所成角為1，AB與AC所成角為2，AO與AC所成角為 則 _ ,coscos1cos2,應(yīng)用示例,選C,3射影面積公式 已知二面角l的面內(nèi)的平面圖形的面積為S，在面內(nèi)的 射影圖形的面積為S，二面角l的大小為，則_。,下面以進(jìn)行說明。,一、基本方法,1直接法：先作出平面角，再求其大小,2間接法(公式法)：,異面直線上兩點間的距離公式 已知夾角為的兩異面直線a、b的公垂線段為AA( Aa，Ab)， E、F分別為a、b上的點，且|AA|d，|AE|m，|AF|n，則 _ ,射影面積法 已知二面角l的面內(nèi)的平面圖形的面積為S，在面內(nèi)的 射影圖形的面積為S，二面角l的大小為，則_。,向量法,求二面角

18、的基本方法,示例如圖，在三棱錐ABCD中，AB面BCD，BDCD。 (1)求證：面ABD面ACD； (2)若ABBC2BD，求二面角BACD的正切值。,(1)證明：AB面BCD，ABCD。 又BDCD，ABBDD，CD面ABD。 又CD面ACD，面ABD面ACD。,二面角的平面角作法二： 作DEBC于E，DFAC于F，連接EF AB面BCD，面ABC面BCD， DE面ABCDEAC AC面EFACEF 則DFE是二面角BACD的平面角。,說明：若在討論二面角大小時，存在與二面角的一個面垂直而與二面角的另一個面相交的平面，常先該平面內(nèi)作出兩垂面交線的垂線，然后構(gòu)造出二面角的平面角。,射影作法二：

19、 作DEBC于E，連接AE AB面BCD，面ABC面BCD， DE面ABC ADC在面ABC內(nèi)的射影為AEC,二、作(找)二面角的平面角的基本方法,1定義法 2三垂線法 3垂面法 4轉(zhuǎn)化法,1定義法,示例1 在60的二面角a的兩個面內(nèi)，分別有A和B兩點已知A和B到棱的距離分別為2和4，且線段AB10，試求： (1)直線AB與棱a所構(gòu)成的角的正弦值； (2)直線AB與平面所構(gòu)成的角的正弦值,解析：在平面內(nèi)作ADa； 在平面內(nèi)作BEa，CD EB， 連結(jié)BC、AC則BC DE，CDa， ABC是AB與a所成角，則由二面角的平面角的定義，可知ADC為二面角a的平面角，即ADC60,示例2如圖，四棱錐

20、ABCED中，DB和EC與面ABC垂直，ABC為正三角形 (1)若BCECBD時，求面ADE與面ABC的夾角； (2)若BCEC2BD時，求面ADE 與面ABC的夾角,分析：如圖，面ADE與面ABC的交線蛻化成一點，但面ADE與面ABC與面DC相交如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：(1)交線為一點；(2)一條交線；(3)三條交線互相平行在圖1中，兩條交線BC與DE互相平行，所以肯定有過A且平行于DE的一條交線如圖2，DE與BC不平行且相交根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個面的交線為一點,解：CE面ABC，BD面ABC，CEBD。 (1)CEBD，BC DE。過A作AMDE，

21、平面ADE與平面ABC的交線即為AM過A作ANDE于N，過A作AFBC于F ANAM，AFAM， 則NAF為面ADE與面ABC的夾角的平面角,(2)EC2BD，延長ED、CB相交于G點，連結(jié)AG AG即為平面ADE與平面ABC的交線，點B為GC的中點。 在AGC中，ABACBCBG，ACAG。 又CE面ABC，CEAC，CEAG， 即證CAE為平面ADE與平面ABC的夾角的平面角,在RtANF中，ACCE，CAE45。,示例3如圖，空間四邊形ABCD中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5試求ABDC二面角的余弦值,說明：利用正和等腰中的三線合一找垂直關(guān)系。,示例4.如圖，已知空間四邊形AB

22、CD，ABBC6， ADCD4，BD8，AC5試求ABDC的余弦值,說明：利用全等找垂直關(guān)系。,2三垂線法作(找)出二面角的平面角,示例1如圖，在平面內(nèi)有一條直線AC與平面成30，AC與棱BD成45，求平面與平面的二面角的大小,解：過A作AFBD于F，AE平面于E， 連結(jié)CE、EF，則ACE是AC與所成角，AEBD，BD面AEF，BDEF， 則AFE為二面角的平面角,說明： (1)如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結(jié)兩個垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角 (2)在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注

23、意“作”、“連”、“證”,示例2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱AD的中點，求平面B1C1CB和平面BC1M所構(gòu)成的銳二面角的正切,解析：平面AC與二面角MBC1C的 一個面B1C垂直，與另一個平面 MBC1相交， 過M點作MPBC于P，面AC面B1C， MP面B1C，MPBC1， 過P作PNBC1于N，連結(jié)MN， BC1面MNP，MNBC1， 則MNP為二面角MBC1C 的平面角,說明：當(dāng)一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角,3垂面法作(找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角。,