1、曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,曲線運(yùn)動(dòng)與力,曲線運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件,合外力方向與速度方向不在一直線,F,v,Fn,Ft,切向力改變速度大小,法向力改變速度方向,求解曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方法,做好兩項(xiàng)分析,物體運(yùn)動(dòng)情況分析,物體受力情況分析,正交分解法,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，滑塊A質(zhì)量為M，因繩子的牽引而沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)，繩子的另一端纏在半徑為r的鼓輪O上，鼓輪以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)不計(jì)導(dǎo)軌摩擦，求繩子的拉力FT與距離x之間的關(guān)系,專題10-例1,B,O,分析滑塊A受力：,重力Mg、導(dǎo)軌支持力FN，繩子拉力FT,分析滑塊A運(yùn)動(dòng)：,A沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)可視做沿繩向繩與輪切點(diǎn)B的平動(dòng)及

2、以切點(diǎn)B為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成,由牛頓第二定律:,A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿水平,由幾何關(guān)系,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，套管A質(zhì)量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動(dòng)繩子另一端繞過離桿距離為L(zhǎng)的滑輪B而纏在鼓輪上當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其邊緣上各點(diǎn)的速度大小為v0求繩子拉力和距離x之間的關(guān)系,小試身手題2,分析滑塊A受力：,重力Mg、繩子拉力FT、導(dǎo)軌支持力FN,分析滑塊A運(yùn)動(dòng)：,滑塊沿導(dǎo)軌向上的運(yùn)動(dòng)速度vA可視作沿繩向滑輪B的法向速度v0及以B為中心轉(zhuǎn)動(dòng)的切向速度vt的合成！,由牛頓第二定律:,A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿豎直，在水平方向滿足,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，長(zhǎng)度為l的不可伸長(zhǎng)的線系在豎直軸的頂端，在線的下端懸掛質(zhì)量為

3、m的一重物再在這重物上系同樣長(zhǎng)度的另一根線，線的下端懸掛質(zhì)量也為m的另一個(gè)重物軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)試證明第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度,小試身手題1,設(shè)第一根線上拉力為FT1，第二根線上拉力為FT2,在豎直方向,在水平方向,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，小物塊質(zhì)量為m，在半徑為r的圓柱面上沿螺旋線形的滑槽滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的切向加速度大小為at=gsin，式中為螺旋線的切線與水平面的夾角，求：由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩大小,小試身手題4,r,A,B,C,D,小物塊切向加速度的水平分量為 ：,產(chǎn)生這個(gè)加速度的切向水平力大小：,此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且方向

4、水平之力，其對(duì)軸產(chǎn)生的力矩即為使柱面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩：,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,B,O,A,由幾何關(guān)系知,分析圓木受力,重力mg、支架A、B支持力FNA、 FNB,分析圓木運(yùn)動(dòng)：,圓木質(zhì)心O繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),圓木與B接觸,故接觸點(diǎn)具有相同的法向速度,O對(duì)A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度,圓木的運(yùn)動(dòng)方程,否則圓木已與固定支架脫離,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的大圓在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球和桌面之間有摩擦，求：手對(duì)細(xì)繩做功的功率P；小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù),小試身手題10,r,L

5、,小球圓運(yùn)動(dòng)的半徑設(shè)為R,R,分析小球受力,繩拉力T；桌面摩擦力 f,小球圓周運(yùn)動(dòng)，在法向有,手拉端速度,小球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在切向有,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,有兩個(gè)相同的單擺，把一個(gè)拴在另一個(gè)的下面，使它們各在一個(gè)水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩條擺線(長(zhǎng))與豎直線所成的夾角都很小已知在運(yùn)動(dòng)過程中兩條擺線一直保持在同一平面內(nèi)，求此平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，以及兩質(zhì)點(diǎn)軌道半徑之比,小試身手題11,兩線兩球在豎直面內(nèi)的態(tài)勢(shì)可以有左、右圖示兩種可能,F2,F2,R,分析各球受力及運(yùn)動(dòng)軌跡,在、小角度的條件下,等號(hào)兩邊相除得,由幾何關(guān)系得,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度,在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是指

6、向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過山車,當(dāng)FT =0時(shí)，v 臨界=,在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道因而可做完整的圓運(yùn)動(dòng)的條件是 ：,在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱形橋,當(dāng)FN =0時(shí)，v 臨界=,在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道的條件是 ：,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,機(jī)械能守恒,最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差,能到達(dá)最高點(diǎn)的最低點(diǎn)速度,恰能到達(dá)最高點(diǎn)，最低點(diǎn)加速度,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),FN,Ff,v,FN,v,Ff,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，一長(zhǎng)為a的細(xì)線系著一小球懸掛在O點(diǎn)靜止不動(dòng)若使小球獲得一個(gè)水平初速度 ，略去空氣阻力，證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過懸點(diǎn)O,專

7、題10-例2,小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過懸點(diǎn)O，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平成某一角度時(shí)，繩恰不再?gòu)埦o，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運(yùn)動(dòng),繩上張力為零時(shí)小球達(dá)臨界速度,該過程機(jī)械能守恒:,圖示,h,小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)y方向位移為-h時(shí)歷時(shí)t,有,續(xù)解,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為,查閱,說明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過程中，通過了坐標(biāo)為,的懸點(diǎn)O!,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,圖中，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為M，位于水平地面上B是一質(zhì)量為m的小球，通過一不可伸長(zhǎng)的輕繩掛于立柱的頂端現(xiàn)拉動(dòng)小球，使繩伸直并處于水平位置.然后讓小球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺如在小球與立柱發(fā)生碰撞前，木塊A始終未發(fā)生移動(dòng)，

8、則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？,專題10-例3,B,分析小球B下擺時(shí)受力：,L,小球動(dòng)力學(xué)方程,小球機(jī)械能守恒,分析木塊A受力：,木塊靜止須滿足,由基本不等式性質(zhì)：,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量均勻的大球殼，正好靜止在桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對(duì)球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計(jì)算球殼不再接觸到桌子的瞬間，球殼中心的速率,專題10-例4,C,O,球殼靜止時(shí)，與桌邊接觸的一點(diǎn)O為其支點(diǎn)，球殼二力平衡!,輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質(zhì)心C將以支點(diǎn)O為軸，以球半徑R為半徑在豎直面內(nèi)從初速度為零開始做圓周運(yùn)動(dòng)，其間重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加；當(dāng)球殼質(zhì)心做圓運(yùn)動(dòng)所需向心力僅由重力來提供

9、時(shí)，球與桌支持點(diǎn)間無擠壓，即開始脫離桌子,設(shè)球殼“不再接觸桌子的瞬時(shí)”球心速度為v,球殼動(dòng)力學(xué)方程,球殼機(jī)械能守恒,EC,質(zhì)心對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,球殼對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,例5,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,用微元法計(jì)算球殼對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能EC,將球殼面分割成寬,的一條條極細(xì)的環(huán)帶,第i條環(huán)帶的質(zhì)量,第i條環(huán)帶的速率,整個(gè)球殼對(duì)過C而垂直于豎直面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為,返回,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在一個(gè)籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下如索道形狀為 的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度，并求此時(shí)籮筐對(duì)鋼索的壓力.

10、,專題10-例5,在以豎直向上方向?yàn)閥軸正方向建立的坐標(biāo)系中，鋼索呈頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、開口向上的拋物線,a,2a,由質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒,質(zhì)點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程,其中拋物線頂點(diǎn)的曲率半徑由,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細(xì)桿，其兩端各系一小球，球a置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動(dòng)，設(shè)兩球質(zhì)量相同求a球恰要離開地面時(shí)跨越細(xì)桿的兩繩之間的夾角,小試身手題5,b,a,l,L,設(shè)a球恰要離地時(shí)兩繩夾角為，此時(shí)a球與地面無擠壓,繩上張力恰與a球重力相等,b球機(jī)械能守恒,b球動(dòng)力學(xué)方程,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿上端有一個(gè)質(zhì)量為m的小重物，桿用鉸鏈固接在A點(diǎn)，并

11、處于豎直位置，同時(shí)與質(zhì)量為M的物體互相接觸由于微小擾動(dòng)使系統(tǒng)發(fā)生運(yùn)動(dòng)試問質(zhì)量之比 M/m為多少情況下，桿在脫離物體時(shí)刻與水平面成角/6，這時(shí)物體的速度u為多少？,小試身手題6,m,l,A,小重物與物體恰要脫離時(shí)兩者接觸而無擠壓, 故物體的加速度為零!,小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同,過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒,小重物動(dòng)力學(xué)方程,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球固定在長(zhǎng)度為l的輕桿兩端，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處突然發(fā)生微小的擾動(dòng)使桿無初速倒下，求當(dāng)桿與豎直方向成角時(shí)，A球?qū)Φ淖饔昧?小試身手題7,B,A,模型回放,當(dāng)A球?qū)ηo作用力時(shí)，桿與豎直所成臨界角為,

12、當(dāng)桿與墻夾角 時(shí),A球?qū)o作用力,當(dāng)桿與墻夾角 時(shí),mg,FN,過程中B球機(jī)械能守恒,此時(shí)B球動(dòng)力學(xué)方程,A球?qū)Φ淖饔昧?題14,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點(diǎn)離開球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h.,設(shè)球半徑為R,Q,mg,由機(jī)械能守恒:,Q點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為:,由幾何關(guān)系:,若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短這是一個(gè)有趣又有用的模型,返回,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,質(zhì)量為M、半徑為R的光滑勻質(zhì)半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑，求m離開M

13、以前的軌跡方程和m繞球心O的角速度,小試身手題14,先確定m沿球面下滑的軌跡：,xM,M,在圖示坐標(biāo)系中，沿x 方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒,則m的坐標(biāo),x,y,消去參數(shù)即得m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程,設(shè)對(duì)應(yīng)于角,m繞球心O的角速度為,M速度為VM,則m的速度,由x 方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒,續(xù)解,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒,查閱,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的慣性力,慣性離心力,相對(duì)做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系靜止的物體,小球受繩拉力而勻速轉(zhuǎn)動(dòng),小球受繩拉力而靜止?,在相對(duì)于慣性參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心力!,牛頓運(yùn)動(dòng)定律仍可適用,科里奧利力,相對(duì)做勻角

14、速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系運(yùn)動(dòng)的物體,A,r,科里奧利力是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實(shí)力，方向相反物體在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上沿任何方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，都將受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向垂直的科里奧利力 :,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，在以角速度繞中心軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的太空實(shí)驗(yàn)室里，一長(zhǎng)為l的細(xì)線，一端固定在中心軸O，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球相對(duì)實(shí)驗(yàn)室以速度v勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向與相反，求細(xì)線上的拉力FT 的大小,專題10-例6,O,l,取太空實(shí)驗(yàn)室為參考系,小球受線繩拉力FT和慣性離心力Fi和科里奧利力Fk,小球?qū)μ諏?shí)驗(yàn)室的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v,由牛頓第二定律,其中,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所

15、示，一對(duì)繞固定水平軸O和O同步轉(zhuǎn)動(dòng)的凸輪，使傳送裝置的水平平板發(fā)生運(yùn)動(dòng)問凸輪以多大角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，放在平板上的零件開始移動(dòng)？當(dāng)凸輪按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，零件將往什么方向移動(dòng)？零件與平板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為凸輪半徑為r,小試身手題9,O,以具有加速度的板為參考系，零件處于平衡!,分析零件受力：,重力mg 板約束力（摩擦力與支持力合力）及慣性力mr2,當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，板約束力方向與豎直成摩擦角=tan-1，三力應(yīng)構(gòu)成閉合三角形如示！,mr2r,tan-1,零件開始滑動(dòng)的臨界值,續(xù)解,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,a,b,c,d,讀題,tan-1,mr2r,若凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)、角速度大于,tan-1,矢量端點(diǎn)

16、從a到b時(shí)，重力,約束力與慣性力不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向右!,以大虛線圓矢徑表示大于,的慣性力，所受慣性力方向變化如示:,零件向右滑,矢量端點(diǎn)從c到d時(shí)，重力,約束力與慣性力也不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向左 !,零件向左滑,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,輪船以等速率v沿赤道向東航行，試計(jì)算由此使船上物體重量產(chǎn)生的相對(duì)誤差，地球自轉(zhuǎn)角速度為,小試身手題15,設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，赤道上重力加速度為g,對(duì)地球參考系，船靜止在赤道上時(shí)貨物重即支持面支持力,科里奧利力,當(dāng)船以速率v沿赤道向東航行時(shí)，貨物受：,地心引力F引,地面支持力F支,慣性離心力 F i=mR2,對(duì)地球參考

17、系，船以v沿赤道圓做勻速圓運(yùn)動(dòng)，有,相對(duì)誤差為,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,半徑為R0.5 m的空心球繞本身的豎直直徑旋轉(zhuǎn)，如圖所示，角速度為5 rad/s在空心球內(nèi)高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉(zhuǎn)，g取10 m/s2 實(shí)現(xiàn)這一情況所需的最小摩擦系數(shù)為多少？ 求8 rad/s時(shí)實(shí)現(xiàn)這一情況的條件,小試身手題16,以球?yàn)閰⒖枷担∧緣K靜止,F,分析小木塊受力情況,重力mg,導(dǎo)軌約束力F,慣性離心力Fi,其中,代入數(shù)據(jù)解得,若角速度增大，F(xiàn)i增大,當(dāng)Fi=Fi時(shí),摩擦力為零,FN,此時(shí)角速度,F,將=8rad/s代入,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，橡皮圈掛在釘子上，這時(shí)它的長(zhǎng)度為2h然后使橡皮圈在水平

18、面上旋轉(zhuǎn)起來，到轉(zhuǎn)動(dòng)角速度達(dá)到時(shí)，它的長(zhǎng)度也為2h求橡皮圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,小試身手題3,R,橡皮圈豎直懸掛時(shí)，橡皮圈的張力從上到下線性變化!,最上端的張力,最下端的張力,平均張力,水平面上,橡皮圈水平旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圈上取一微元B,B,兩種情況下橡皮圈形變量相同,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，一個(gè)半徑為r10 cm的小環(huán)，從高度h20 cm處掉到桌上，此小圓環(huán)在空氣中繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，軸在豎直方向，角速度021 rad/s圓環(huán)與桌面的碰撞為非彈性的，且碰撞時(shí)間很短小環(huán)與桌面間摩擦系數(shù)為0.3，求小環(huán)停止時(shí)所轉(zhuǎn)的圈數(shù),小試身手題11,0,小環(huán)剛著地時(shí)豎直速度為,繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為,落在桌面后，由于桌面彈力及摩擦力作用,先在極短時(shí)間t內(nèi)使豎直速度變?yōu)榱?同時(shí)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度減為,而后變?yōu)閙g的摩擦力,使轉(zhuǎn)動(dòng)速度亦減為零!,在碰撞短瞬由動(dòng)量定理,設(shè)此后小環(huán)轉(zhuǎn)n圈停止，由動(dòng)能定理,曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解,如圖所示，半徑為R的水平圓臺(tái)，可繞通過圓心O的豎直光滑細(xì)軸CC轉(zhuǎn)動(dòng)，圓臺(tái)上沿相互垂直的兩個(gè)半徑方向刻有槽，質(zhì)量為