1、0,（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）,第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),3.1 剛體的運(yùn)動(dòng),3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,退 出, 3.4 角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律,3.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系,1,剛體（rigid body）：特殊的質(zhì)點(diǎn)系，形狀和 體積不變化， 理想化的模型。,平動(dòng)（translation）時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同，故剛體可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,3.1 剛體的運(yùn)動(dòng),2,剛體的一般運(yùn)動(dòng)，都可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，所以平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)可以描述所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。,如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，稱轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）

2、； 這一直線稱轉(zhuǎn)軸。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,3,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,4,角加速度矢量,速度加快時(shí)，角加速度和角速度同向，否則反向。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,3.1.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation about affixed axis）,角位移,角速度矢量 方向由右手螺旋定則確定,線量和角量的關(guān)系：,5,例題 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻 地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。 （1）求角加速度 和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過 的轉(zhuǎn)數(shù)N； （2）求制動(dòng)開始后t=25s 時(shí)飛 輪的角速度 ； （3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速 度和

3、加速度。,解 （1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，,6,量值為0=21500/60=50 rad/s，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S 時(shí)刻 =0 ，代入方程=0+t 得,角速度,從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為,7,角速度,（2）t=25s 時(shí)飛輪的角速度為,8,（3）t=25s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P 的速度。,的方向與0相同 ；,的方向垂直于 和 構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為,角速度,由,9,邊緣上該點(diǎn)的加速度 其中 的方向 與 的方向相反， 的方向指向軸心， 的大小 為,的方向幾乎和 相同。,角速度,10,一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣

4、量,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,11,為剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,12,二、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：,大小為：,剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量：剛體各質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量的矢量和。,13,Rotational inertia,三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,J為標(biāo)量,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,與剛體的質(zhì)量有關(guān),與質(zhì)量的分布有關(guān)，即與剛體的形狀、大小、各部分的密度有關(guān)；,與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),SI：,14,常用的幾個(gè)J：,均勻圓環(huán)：,均勻圓盤：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,15,均勻桿：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,對(duì)C軸：,對(duì)A軸：,16,=0,=m,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,計(jì)算J的幾條規(guī)律：,17,上頁(yè)

5、,下頁(yè),退出,返回,18,F,P,d,r,r,單位：牛頓米， N m,方向：從r 沿小于 角右旋到F，大拇指指向。,3.2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律及應(yīng)用舉例,一、對(duì)定軸的力矩,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,對(duì)定點(diǎn)的力矩：,對(duì)定軸的力矩：,不起作用，只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的,19,r,F,M,M 的方向垂直于 r 與 F 構(gòu)成的平面。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,d為力臂,同一點(diǎn)合力的力矩等于各分力力矩之和：,20,例2：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為 l 質(zhì)量為 m ，在摩擦系數(shù)為 的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩 M阻。,21,解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大

6、，,細(xì)桿的質(zhì)量密度,質(zhì)元質(zhì)量,質(zhì)元受阻力矩,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,22,細(xì)桿受的阻力矩,由細(xì)桿質(zhì)量,有,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,23,1.第一定律：一個(gè)可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩等于零時(shí)，它將保持原有的角速度不變。,二、 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,從實(shí)驗(yàn)可知，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。,2.第二定律,24,與牛II比較：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。,1. 是矢量式,2. 具有瞬時(shí)性。,25,1.確定研究對(duì)象。,2.受力分析（只考慮對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有影響的力矩）。,3.列方程求解(平動(dòng)物體

7、列牛頓定律方程，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程和角量與線量關(guān)系)。,三. 解題方法及應(yīng)用舉例,第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)情況和 J，確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系- ，從而求出 M或 F。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,26,例3：長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為 m 的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度為 0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時(shí)間 t 后桿靜止，求摩擦力矩 M阻。,解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,27,細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,則摩擦阻力矩為：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,28,第二類問題：已知 J 和力矩M ：求出運(yùn)動(dòng)情況 a 和 及 F。,例4：質(zhì)量為 m1和m2兩個(gè)物體，跨在定滑輪上

8、， m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量為 M，若輪軸摩擦可以忽略，輪子和繩子之間無相對(duì)滑動(dòng)，求：m1 下落的加速度，和繩子的張力 T1、T2。,T1,T2,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,29,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,T1,T2,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,30,聯(lián)立方程（1）-（4）求解得,討論：當(dāng) M=0時(shí),上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,31,第三類問題：已知運(yùn)動(dòng)情況 和力矩M ，求未知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。,例5：測(cè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 用一根輕繩纏繞在半徑為 R、質(zhì)量為 M 的輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體，從靜止下落 h 用了時(shí)間 t ,求輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J。,上頁(yè),下頁(yè),退

9、出,返回,32,以m為研究對(duì)象,以M為研究對(duì)象,物體從靜止下落時(shí)滿足,補(bǔ)充方程：,聯(lián)立方程（1）-（4）求解得：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,33,3.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系,一. 力矩的功,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,將F分解為切向力和法向力。,剛體轉(zhuǎn)過 d, 作用點(diǎn)的位移為 ds, 法向力Fn 不作功，只有切向力作功，,由功的定義,34,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,對(duì)于恒力矩作功,恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。,由功率的定義：,二、力矩的功率,則,35,剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過一定角度，力矩對(duì)剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？,由力矩的功定義：,三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)

10、能定理,其中力矩,則功,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,36,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,37,1.確定研究對(duì)象。,2.受力分析，確定作功的力矩。,3.確定始末兩態(tài)的動(dòng)能，Ek0、Ek。,4.列方程求解。,四、應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理解題方法,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,38,例6：一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。,39,解：以桿為研究對(duì)象，,只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。,重力矩作功：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,40,始末兩態(tài)動(dòng)能：,由動(dòng)能

11、定理：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,41,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,剛體的勢(shì)能：剛體受到保守力作用，仍然可以引入勢(shì)能的概念。,保守力對(duì)剛體做功，可以用力矩的角位移的積分計(jì)算，也可以直接用勢(shì)能變化量計(jì)算。,以重力勢(shì)能為例：,根據(jù)質(zhì)心定義：,因此：,42,當(dāng)系統(tǒng)中既有平動(dòng)的物體又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時(shí)，物體系的機(jī)械能守恒。,43,例7：如圖所示的物體系中，倔強(qiáng)度系數(shù)為 k的彈簧開始時(shí)處在原長(zhǎng)，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，質(zhì)量為 m 的物體從靜止開始下落,求下落 h 時(shí)物體的速度 v。,44,解：在物體 m 下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機(jī)械能守恒。

12、,選擇彈簧原長(zhǎng)為彈性 0 勢(shì)點(diǎn)，物體下落 h 時(shí)為重力 0 勢(shì)點(diǎn)。,求解得,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,45,定義：,為角動(dòng)量，,方向：與角速度方向一致。,3.4 剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律,單位：千克米2/秒（kgm2/s）,46,對(duì)于質(zhì)點(diǎn)也可引入角動(dòng)量的概念。,例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,則,角動(dòng)量定義,注意,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,其中r 為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離,47,角動(dòng)量守恒定律：如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力對(duì)某給定點(diǎn)O的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)O的角動(dòng)量在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變。,48,在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中介紹了沖量的概念-力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)。 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中引入沖量矩的概念-力矩對(duì)時(shí)間的累積效

13、應(yīng)。,沖量：,沖量矩：,單位：牛頓米秒（ N m s）,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,49,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,由沖量矩定義：,其中,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,其中,50,角動(dòng)量定理：剛體受到的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,51,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律：當(dāng)合外力為0時(shí)，動(dòng)量守恒。,對(duì)于剛體所受的合外力矩為0時(shí),又如何呢？,由角動(dòng)量定理：,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,52,角動(dòng)量守恒定律:當(dāng)剛體受到的合外力矩為0 時(shí)，剛體的角動(dòng)量守恒。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,條件：當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時(shí)，,1.角動(dòng)量守恒定律,53,.對(duì)于非剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J發(fā)生變化的物體，,由于J =C，,上頁(yè),下頁(yè)

14、,退出,返回,2.明確幾點(diǎn),.對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為常數(shù)，角速度 也為常數(shù)， =0,即剛體在受合外力矩為0時(shí)，原來靜止則永遠(yuǎn)保持靜止，原來轉(zhuǎn)動(dòng)的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)下去。,54,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,55,例8：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=60kgm2,伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為l1= 1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為 l2= 0.2m。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量 m=5kg的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 1 = 3 s-1,求收臂時(shí)的角速度 2 。（人手臂收縮引起的角動(dòng)量變化不計(jì)）,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,56,解：整個(gè)過程合外力矩為0，角動(dòng)量守恒，,J0=60kgm2，l1= 1m， l2= 0.2

15、m,m=5kg， 1 = 3 s-1,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,57,由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。,在此過程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸毡蹠r(shí)做功。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,1 = 3 s-1,58,解：兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度,合外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。,共同角速度,例9：兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度 。嚙合過程機(jī)械能損失。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,59,其中,共同角速度,嚙合過程機(jī)械能損失,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,60,解：在彗星繞太陽(yáng)軌道運(yùn)轉(zhuǎn)過程中,只受萬有引力作用,萬有引力不產(chǎn)生力矩，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。,例10：彗星繞太陽(yáng)作橢圓

16、軌道運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，問系統(tǒng)的角動(dòng)量是否守恒？近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度誰大？,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,近日點(diǎn),遠(yuǎn)日點(diǎn),61,即,近日點(diǎn) r 小 v 大，遠(yuǎn)日點(diǎn) r 大 v 小，,這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽(yáng)時(shí)只有很短的幾周時(shí)間。彗星接近太陽(yáng)時(shí)勢(shì)能轉(zhuǎn)換成動(dòng)能，而遠(yuǎn)離太陽(yáng)時(shí)，動(dòng)能轉(zhuǎn)換成勢(shì)能。,由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義：,即,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,近日點(diǎn),遠(yuǎn)日點(diǎn),62,例11: 長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m0的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。棒原來處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球沿光滑水平面飛來，正好與棒下端相碰（設(shè)碰撞完全彈性）使桿向上擺到 處，求小球的初速度。,解：第一過程：小球和棒完全彈性碰撞。,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,63,第二過程：從碰撞后得到角速度到棒上升到=60處。取棒、地球?yàn)橄到y(tǒng)。因系統(tǒng)中無外力和非保守內(nèi)力做功。所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即,由上列三式解得,上頁(yè),下頁(yè),退出,返回,64,例12: 一質(zhì)量M，半徑