1、第四章,人壽保險躉繳純保費(fèi)的厘定,第三節(jié),死亡即刻賠付 躉繳純保費(fèi)的厘定,死亡即刻賠付,死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。,利息強(qiáng)度,回顧: 利息力與利率的關(guān)系,回顧: 死亡效力,定義： 的瞬時死亡率，簡記 死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系,回顧: 死亡效力與剩余壽命,死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系 死亡效力表示剩余壽

2、命的密度函數(shù),即剩余壽命的分布函數(shù)tqx,基本符號, 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值,1、n年定期壽險,定義 保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,方差公式 記 （相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費(fèi)） 所以方差等價為,例4.3.1,設(shè) 計算,例4.3.1答案,2、終身壽險,定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假

3、定： 歲的人，保額1元終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,方差公式 記 所以方差等價為,例4.3.2,設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元 保險金在死亡即刻賠付 簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為 計算,例4.3.2答案,例4.3.2答案,3、延期終身壽險,定義 保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系,死亡即付定期壽險躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,方差公式 記 所以方差等價于,例4.3.3,假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險，保額1

4、元。 保險金在死亡即刻賠付。 已知 求：,例4.3.3答案,4、n 年定期生存保險,定義 被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 躉繳純保費(fèi)厘定 現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：,5、n年定期兩全保險,定義 被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 厘定 記：n年定期壽險現(xiàn)

5、值隨機(jī)變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知 則,現(xiàn)值隨機(jī)變量方差,因為 所以,2,2,2,2,例4.3.4（例4.3.1續(xù)）,設(shè) 計算,例4.3.4答案,2,6、延期m年n年定期兩全保險,定義 被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費(fèi)的厘定,符號： 厘定,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知 則,2,7、遞增終身壽險,定義：遞增終身壽險

6、是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù) 特別： 一年遞增一次 一年遞增m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）,保險利益： 如被保險人在第一保單年度內(nèi)死亡，則在死亡時立即給付保險金1元， 如被保險人在第二保單年度內(nèi)死亡，則在死亡時立即給付保險金2元， 。,一年遞增一次,一年遞增一次,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定,將每一個保單年度分為均等的m個時間段， 如被保險人在第一保單年度的第一個1/m年內(nèi)死亡，則在死亡時立即給付保險金1/m元， 如被保險人在第一保單年度的第二個1/m年內(nèi)死亡，則在死亡時立即給付保險金2/m元， 。 如被保險人在第二保單年度的第一個1/m年內(nèi)死亡，則在死亡

7、時立即給付保險金1+1/m元， 如被保險人在第二保單年度的第二個1/m年內(nèi)死亡，則在死亡時立即給付保險金1+2/m元， 。,一年遞增m次,一年遞增m次,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定,一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定,如被保險人在時刻T時死亡，則在死亡時立即給付保險金T元,8、遞減定期壽險,定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù) 特別： 一年遞減一次 一年遞減m次 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）,一年遞減一次,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定,一年遞減m次,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定,一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）,現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定

8、,死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分?jǐn)?shù)時期均勻分布假定）,以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命： 則有,死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD),在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的 倍。 條件1： 條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即,例4.3.6,（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄2示例生命表計算 （1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。 （2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費(fèi)。 （3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算

9、的躉繳純保費(fèi)。 （4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費(fèi)。,例4.3.6答案,例4.3.7,對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質(zhì)利率6%計算躉繳純保費(fèi)。,例4.3.7答案,第四節(jié),遞歸方程式,離散型終身壽險的躉繳保費(fèi)的遞推公式,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式一： (x)以躉繳純保費(fèi)Ax元購買離散型單位金額終身壽險,所得到保險利益是,如被保險人在第一個保單年度內(nèi)死亡,則在該保單年度末時給付保險金1元. 如在第一年末仍生存,則保險人在此時以金額Ax+1元為被保險人購買一張1元的終

10、身壽險保單,作為對該保險人在x+1歲時的”生存給付”.,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式一： 理解:(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。,若在公式一中用(1-qx)代替px, 并兩邊乘以(1+i)lx, 則可得如下公式二.,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式二： 解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險人提供額外的 。,若公式二兩邊除以lx, 則可得如下公式三:,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式三： 解釋： 年齡為x的被保險人在活到x+1歲時的凈躉繳保費(fèi)與當(dāng)初歲時的凈躉繳保費(fèi)之差等于保費(fèi)的一年利息減去提供一年的保險成本。,若公式二兩邊乘以vx+1/lx, 然后兩邊求和, 則可得如下公式四:,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式四： 解釋 (y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險成本的現(xiàn)時值之和