1、第2章 圓錐曲線與方程21 圓錐曲線一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議橢圓、拋物線的定義掌握學(xué)生通過(guò)用平面截圓錐面，從具體情境中抽象出圓錐曲線模型，掌握橢圓和拋物線的定義，了解雙曲線的定義雙曲線了解二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)認(rèn)識(shí)用平面截圓錐面得到的各種曲線；(2)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義；(3)會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用圓錐曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡2預(yù)習(xí)提綱(1)查找有關(guān)軌跡的概念，回答下列問(wèn)題：平面內(nèi)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是_；平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是_；空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是_(2)閱讀教材選修41的71頁(yè)到78頁(yè)，教材選修21的25頁(yè)

2、到27頁(yè)寫(xiě)下列空格：一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面，改變平面的位置，可得到如下圖形_，_，_，_，_；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離_等于常數(shù)(_)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的_；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離_等于常數(shù)(_)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距；平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(_)的距離_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的_(3)閱讀課本例1，動(dòng)手實(shí)踐借助細(xì)繩畫(huà)橢圓，結(jié)合課本27頁(yè)習(xí)題21第3題，動(dòng)手實(shí)踐借助拉鏈畫(huà)雙曲線，并說(shuō)明理由，以此加深對(duì)橢圓、雙曲線定義的認(rèn)識(shí)3

3、典型例題例1 動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)A(2，0)、B(2，0)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為10(1)試證：動(dòng)點(diǎn)P在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)；(2)寫(xiě)出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分析：找動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件，利用圓錐曲線的定義解：(1)由題意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=64由橢圓的定義得：動(dòng)點(diǎn)P在以A(2，0)、B(2，0)為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)(2)由(1)得：這個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(2，0)、B(2，0)點(diǎn)評(píng)：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義中，條件都有特定的限制，如在具體問(wèn)題中不加以判斷，會(huì)造成錯(cuò)解如本題中PA+PB=64是十分必要的在橢圓的定義中，PF1+PF2等于常數(shù)，常數(shù)大于F1

4、F2的判斷是必不可少的若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是線段F1F2；若常數(shù)小于F1F2，則不表示任何圖形在雙曲線的定義中，注意兩個(gè)限制：一是常數(shù)小于F1F2，二是差的絕對(duì)值，兩者缺一不可若PF1PF2是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線以F2為焦點(diǎn)的一支；若PF2PF1是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線以F1為焦點(diǎn)的一支；若|PF1PF2|是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若PF1PF2是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是以F2為端點(diǎn)與F1F2同向的射線；若PF2PF1是常數(shù)且等于F1F2，則點(diǎn)的軌跡是以F1為端點(diǎn)與F1F2反向的射線在拋物線的定義中，當(dāng)點(diǎn)F在直線l上

5、時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)F與直線l垂直的直線例2 已知圓和圓，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，試問(wèn)動(dòng)圓圓心M在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)?分析：兩圓外切，則圓心距等于半徑之和解： 設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，則由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切得：消去R得：MC2MC1=2，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離之差是常數(shù)2由雙曲線的定義得：動(dòng)圓圓心M在雙曲線的一支(左邊的一支)上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)評(píng)：本題由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離之差是常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，因此其軌跡只能是雙曲線的一支這一點(diǎn)在應(yīng)用過(guò)程中要特別注意4自我檢測(cè)(1)已知點(diǎn)A(1，0)、B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：PA+PB=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_

6、(2)已知點(diǎn)A(2，0)、B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足：|MAMB|=2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 _ ，其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 (3)已知定點(diǎn)A(1，0)和定直線l：x= 3，若點(diǎn)N到定點(diǎn)A與到定直線l的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡是 ，其焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 (4)已知點(diǎn)A(2，0)、B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足：|MAMB|=4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 _(5)在ABC中，B(0，3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差數(shù)列，試證：點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)三、課后鞏固練習(xí)A組1用合適的選項(xiàng)填寫(xiě)下列軌跡 ( 要求只填寫(xiě)序號(hào) )直線；圓；橢圓；雙曲線；雙曲線的一支；拋物線；線段(1)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(4，0)、F2

7、(4，0)的距離和是8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為_(kāi)；(2)已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得PQ=PF2，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是_；(3)動(dòng)點(diǎn)P到直線x+4=0的距離減去它到M(2，0)的距離之差等于2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_；(4)經(jīng)過(guò)定圓外一定點(diǎn)，并且與定圓外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是_2已知O(0，0)、A(，0)為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：PO+PA=2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡3在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b，a，c成等差數(shù)列，bc已知頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B(1，0)，C(1，0)試證：點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的左半橢圓上運(yùn)動(dòng)4在ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)

8、，且滿足：，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)A在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)?B組5圓O1與圓O2的半徑分別為1和2，O1O2=4，動(dòng)圓與圓O1內(nèi)切而與圓O2外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是_6已知定點(diǎn)A(3，3)和定直線l：x=3，若點(diǎn)N到定點(diǎn)A與到定直線l的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡是 7已知圓的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，M是圓O上的任意一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，試證明：點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)C組8已知A(0，7)、B(0，7)、C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，證明：點(diǎn)F在以A(0，7)、B(0，7)為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上運(yùn)動(dòng)9已知兩個(gè)同心圓，其半徑分別為R，r(Rr)，

9、AB為小圓的一條定直徑，求證：以大圓切線為準(zhǔn)線，且過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)F在以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上10若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為定值m(m0)，試討論點(diǎn)P的軌跡知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)橢圓的定義2，3，7，9，10注意橢圓定義的前提條件雙曲線的定義4，5，8注意雙曲線定義的前提條件；注意軌跡是雙曲線的哪一支拋物線的定義6注意拋物線定義的前提條件綜合問(wèn)題1注意尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系四、 學(xué)習(xí)心得五、拓展視野我們身邊的圓錐曲線 圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實(shí)是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，這些曲線的方程是二次方程，所以圓錐曲線又叫做二次曲線對(duì)于二次曲線的價(jià)值大概還沒(méi)

10、有人會(huì)估計(jì)得過(guò)高在我們的實(shí)際生活中處處都有圓錐曲線例如，我們的地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)系的其他行星的運(yùn)行軌道都是橢圓這個(gè)事實(shí)是由開(kāi)普勒第一定律確定的，之所以沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)槊恳粋€(gè)行星在每一個(gè)瞬間都有不超過(guò)某一個(gè)值的速度事實(shí)證明，假如這個(gè)速度過(guò)大了，運(yùn)動(dòng)就會(huì)沿著拋物線或雙曲線軌道運(yùn)行相對(duì)于一個(gè)靜止的物體，并按照萬(wàn)有引力定律受它吸引的物體運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道因此，二次曲線實(shí)際上是以我們的宇宙為基礎(chǔ)的又如，如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面在拋物面的軸上，有一個(gè)具有美妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條通過(guò)該點(diǎn)的直線由拋物面上反射出來(lái)之后，在指向上都平行于拋物面的軸而這

11、意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀，并且把燈泡放在焦點(diǎn)上，那么從拋物面上反射回來(lái)的所有光線就形成一束平行光束這顯然是一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)檎沁@樣一束光線在空間中，甚至于在離光源距離相當(dāng)大的情況下，很少擴(kuò)散當(dāng)然，實(shí)際上我們得不到理想的平行光束，因?yàn)闊襞莶皇且粋€(gè)點(diǎn)，但對(duì)于實(shí)用的目的來(lái)說(shuō)，只要接近于這樣的光束就夠了 天文望遠(yuǎn)鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的它的作用剛好和探照燈的作用相反：探照燈的反射鏡把光線反射到空間，天文望遠(yuǎn)鏡的反射面則把來(lái)自宇宙的光線聚焦到自己的焦點(diǎn)上只要用放大鏡組瞄準(zhǔn)這個(gè)焦點(diǎn)就行了，這樣，我們就會(huì)得到聚焦到其光線的那個(gè)星球的信息，這比肉眼觀察所能提供的信息要多得多那條不穿

12、過(guò)雙曲線的對(duì)稱軸叫做雙曲線的虛軸如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn)，那么，形成的曲面(這樣的曲面稱為單葉雙曲面)也有許多實(shí)際用處單葉雙曲面是直紋曲面上面有兩組母直線族，各組內(nèi)母線彼此不相交，而與另一組母線永遠(yuǎn)相交正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應(yīng)用例如，用直立木桿造水塔，如果把這些桿垂直地放置，那就只能得到一個(gè)很不牢固的建筑物，他會(huì)因?yàn)榉浅Ｐ〉呢?fù)荷而損壞如果立桿時(shí)，使他們構(gòu)成一個(gè)單葉雙曲面(就是兩組母線族)，并使他們的交點(diǎn)處連接在一起，就會(huì)得到一個(gè)非常輕巧而又非常堅(jiān)固的建筑物許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個(gè)原理 在嘗試解決古代名題的過(guò)程中，所發(fā)現(xiàn)的各種美妙曲線遠(yuǎn)不限于螺線，蚌線和圓錐曲線可是，不管找到

13、了多少美妙的曲線，他們還是解決不了古代名題要知道，正像我們還記得的那樣，要求不只是解出這些名題，而是除了直尺和圓規(guī)外，不準(zhǔn)利用其他任何工具而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個(gè)問(wèn)題呢?這個(gè)問(wèn)題該如何回答呢?如果這個(gè)答案存在的話，對(duì)這個(gè)問(wèn)題給與肯定的回答，原則上顯得比給與否定的回答更容易，只不過(guò)需要嘗試才能找到這個(gè)答案經(jīng)過(guò)或多或少接連不斷的尋找，這種題解通?？梢哉业皆陬}解不存在的情況下，事情則難辦的多這時(shí)，只停留在普通的幾何直觀上，幾乎不可能得到所需要的答案在這種情況下，可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行精確的代數(shù)分析，以便歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程的不可能性證明解答這個(gè)問(wèn)題的不可能性這樣，就要求助于代數(shù)！21 圓錐曲線自我檢測(cè)(1)以A,B為焦點(diǎn)的橢圓 (2) 以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線，A(-2,0)、B(2,0) (3)拋物線，A(1