1、第2章 矩陣代數(shù)習(xí)題參考答案,（2） 能表示成 和 的線性組合么？,2. 設(shè),解：假設(shè) 能表示成 和 的線性組合，即：,代入 的值可得：,解方程組可得：,可見，一個向量可否表示為一組向量的線性組合， 可轉(zhuǎn)化為線性方程組求解的問題。,假設(shè) 可表示為其余 n-1 個向量的線性組合，即,3. 設(shè) n 階方陣 A 的某個行(列)向量是其余 n-1 個行(列)向量的線性組合，證明 |A| = 0 。,證明：將方陣A表示為 其中 均為A的列,則,4. 計算下列矩陣乘積。,（4）,5. 設(shè) ，求,解：,6. 求 。,（1）,解：,根據(jù)以上規(guī)律，假設(shè),計算 ：,所以假設(shè)成立。,（2）,解：,所以假設(shè)成立。,計

2、算 ：,根據(jù)以上規(guī)律，假設(shè),（3）,解：,根據(jù)以上規(guī)律，假設(shè),計算 ：,其中：,所以假設(shè)成立。,7. 已知 ，證明,證明：,8. 證明兩個n階上三角陣的乘積仍為n階上三角陣。,證明：設(shè)兩個上三角陣為A、B：,設(shè)它們的乘積為C，根據(jù)矩陣乘法的定義，C中的元為：,根據(jù)上三角陣的定義， 的前 個元為0， 的后 個元為0 ， 當 時， C=AB 是個上三角陣。,9. 若 AB=BA，AC=CA，證明：A,B,C為同階矩陣，且 A(B+C)=(B+C)A，A(BC)=BCA 。,證明：設(shè),即 A,B 為同階矩陣。,同理可證，A,C 也為同階矩陣。,10. 已知 n 階矩陣 A、B 滿足 AB=BA，證明

3、：,證明：用數(shù)學(xué)歸納法，,當 m=1 時，上式滿足；當 m=2 時，上式滿足；,上式滿足。因此該命題成立。,11. 已知 ，其中 兩兩互不相等 且 AB=BA ，證明B是對角陣,證明：,已知 兩兩互不相等，要使得 AB=BA，則必有： ，即 B 是對角陣。,12. 設(shè) ， ，若以 記A的列向量， 記B的行向量，證明 AB的第 i 個行向量= AB的第 j 個列向量=,證明：根據(jù)矩陣乘法的定義，AB的第 i 行、j 列的元為,則AB的第 i 行為：,AB的第 j 列為：,13. 利用 求行列式。,解：,14. 利用 |AB| = |A|*|B| 求行列式。,（1）,（2）,注：,（3）,解：根據(jù)

4、,將該行列式中的每一個元均化為 的 n-1次多項式。,15. 求 。,（1）,（2）,（3）,16. 解下列矩陣方程，求 。,（1）,（2）,（3）,（5）,17. 若A，B是同階可逆矩陣，且AB=BA，證明,證明：,18. 若 n 階矩陣 A 滿足條件 則,證明：,19. 用克萊姆法則解下列方程組。,（5）,20. 求一個二次多項式 ，使得,解：令,代入,21. 用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M,（1）,（2）,23. 為三種初等矩陣，,（1）求它們的轉(zhuǎn)置矩陣,（2）下式分別對 A 實施了什么變換,24. 證明滿秩對稱矩陣的逆矩陣也是對稱矩陣。,證明：設(shè) A 是一個滿秩對稱矩陣，則有,則,即 也是對

5、稱矩陣。,25. 若 A 是 n 階對稱矩陣，B 是 n 階反對稱矩陣，試證：,（1） 都是對稱矩陣；,證明：,25. 若 A 是 n 階對稱矩陣，B 是 n 階反對稱矩陣，試證：,（1） 都是對稱矩陣；,證明：,（2）AB是反對稱矩陣的充要條件是AB=BA,證明：（必要性）,即：AB是反對稱矩陣的必要條件是 AB=BA 。,（2）AB是反對稱矩陣的充要條件是AB=BA,證明：（充分性）,即：AB是反對稱矩陣的充分條件是 AB=BA 。,26. 設(shè) A 為 n 階對稱矩陣，且對任意的 n1 矩陣 X 有 XAX=0 ，則必有 A=0 。,證明：,根據(jù)題意，對任意 n1 矩陣 X 有 XAX=0 。 則令 中，只有 不為0，其余均為0 則 以此類推： 再令 中，只有 不為0，其余均為0 則 則矩陣 A=0,27. 設(shè) A 為 n 階實矩陣，且|A|=1，則A為正交矩陣的充要條件是它的每一個元等于自己的代數(shù)余子式。,證明：（必要性）,（充分性）,28. 設(shè) B 為 n 階可逆矩陣，又 令 證明：當 時，,證明：,29. 設(shè) ，其中A