1、3.3 計算導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)函數(shù)的概念并能求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).知識點一導(dǎo)函數(shù)思考對于函數(shù)f(x)，如何求f(1)、f(x)？f(x)與f(1)有何關(guān)系？答案f(1) .f(x) .f(1)可以認(rèn)為把x1代入導(dǎo)數(shù)f(x)得到的值.梳理如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)，f(x) ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)

2、在這一點的函數(shù)值f(x)f(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)知識點二導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yc(c是常數(shù))y0yx (為實數(shù))yx1yax (a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0，a1)yyln xyysin xycos xycos xysin xytan xyycot xy類型一利用導(dǎo)函數(shù)求某點處的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)f(x)x23x的導(dǎo)函數(shù)f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1).解f(x) (x2x3)2x3，即f(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.反思與感悟f(x0)是f(x)在xx0處的函數(shù)值.計算f(x0)可以直

3、接使用定義，也可以先求f(x)，然后求f(x)在xx0處的函數(shù)值f(x0).跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)yf(x)5的導(dǎo)函數(shù)f(x)，并利用f(x)，求f(2).解yf(xx)f(x)5，f(x) .f(2).類型二導(dǎo)數(shù)公式表的應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)ysin ；(2)yx；(3)ylog3x；(4)y；(5)y5x.解(1)y0.(2)因為所以(3)y(log3x).(4)因為ytan x，所以y(tan x).(5)y(5x)5xln 5.反思與感悟 對于教材中出現(xiàn)的8個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要想在解題過程中應(yīng)用自如，必須做到以下兩點：一是正確理解，如sin是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為零，就不

4、會出現(xiàn)cos這樣的錯誤結(jié)果.二是準(zhǔn)確記憶，靈活變形.如根式、分式可先轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用公式求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y(1)(1)；(2)y2cos21.解(1)y(1)(1)(2)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.類型三導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用命題角度1利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線方程例3已知點P(1，1)，點Q(2，4)是曲線yx2上兩點，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒有，說明理由.解因為y(x2)2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線.設(shè)切點為(x0，y0)，由PQ的斜率為k1，而切線與PQ垂直，所以2x01，即x0.所以切點為(，).所以所求切

5、線方程為y(1)(x)，即4x4y10.引申探究若例3條件不變，求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程.解因為y(x2)2x，設(shè)切點為M(x0，y0)，由PQ的斜率為k1，而切線平行于PQ，所以2x01，即x0.所以切點為M(，).所以所求切線方程為yx，即4x4y10.反思與感悟解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點，要充分利用：(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上；(3)切點又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決.跟蹤訓(xùn)練3過原點作曲線yex的切線，那么切點的坐標(biāo)為 ，切線的斜率為 .答案(1，e)e解析設(shè)切點坐標(biāo)為(ex)ex，過該點的直線的斜率為所求切線方程為切線過原點，解得x01.切點

6、坐標(biāo)為(1，e)，斜率為e.命題角度2利用導(dǎo)數(shù)公式求參數(shù)例4已知直線ykx是曲線yln x的切線，則k的值等于()A.e B.eC. D.答案C解析y(ln x).設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為yy0(xx0)，即yln x01.直線ykx過原點，ln x010，得x0e，k.反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率進(jìn)一步寫出切線方程.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)，g(x)aln x，aR，若曲線yf(x)與曲線yg(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值.解設(shè)兩曲線的交點為(x0，y0)，由題意知，f(x0)g(x0)，即即點(x0，y0)為兩曲

7、線的交點，aln x0，由可得x0e2，將x0e2代入得a.1.下列結(jié)論：(sin x)cos x；(log3x)；(ln x).其中正確的有()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個答案C解析(log3x)，錯誤，故選C.2.質(zhì)點的運動方程是s(其中s的單位為m，t的單位為s)，則質(zhì)點在t3 s時的速度為()A.434 m/s B.334 m/sC.535 m/s D.435 m/s答案D解析s()4t5，s(3)435.則質(zhì)點在t3 s時的速度為435 m/s.3.設(shè)函數(shù)f(x)logax，f(1)1，則a .答案解析f(x)，又f(1)1，a.4.在曲線y上一點P處的切線的斜率為4，則點

8、P的坐標(biāo)為 .答案(，2)或(，2)解析設(shè)P(x0，y0)，y，則4，得x0.當(dāng)x0時，y02.當(dāng)x0時，y02，點P的坐標(biāo)為(，2)或(，2).5.曲線yex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 .答案e2解析y(ex)ex，ke2曲線在點(2，e2)處的切線方程為ye2e2(x2)，即ye2xe2.當(dāng)x0時，ye2，當(dāng)y0時，x1.S1|e2|e2.1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想與化歸.2.有些函數(shù)可先化簡再求導(dǎo).如求y12sin2的導(dǎo)數(shù).因為y12sin2cos x，所以

9、y(cos x)sin x.3.對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()yln 2，則y；yf(x)，則f(3)；y2x，則y2xln 2；ylog2x，則y.A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析中yln 2為常數(shù)，所以y0.錯.2.下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)的是()A.ysin x B.yexC.yln x D.ycos x答案D3.若f(x)x3，f(x0)3，則x0的值是()A.1 B.1 C.1 D.3答案C解析f(x0)3x3，x01.4.設(shè)曲線yax2在點(2，4a)處的切線與直線4xy4

10、0垂直，則a等于()A. B. C. D.答案C解析由題意知切線的斜率是，y2ax，4a，得a.5.正弦曲線yf(x)sin x上切線的斜率等于的點為()A.(，)B.(，)或(，)C.(2k，)(kZ)D.(2k，)或(2k，)(kZ)答案D解析設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，f(x0)cos x0，x02k或2k，kZ，y0或.6.下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()A.f(x)ex B.f(x)x3C.f(x)ln x D.f(x)sin x答案D解析若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為1.因為A項中，(ex)ex0，B項中，(x3)3x20，C項中

11、，x0，即(ln x)0，所以不會使切線斜率之積為1，故選D.7.已知f0(x)sin x，f1(x)f(x)，f2(x)f(x)，fn1(x)fn(x)，則f2 014等于()A. B. C. D.答案A解析由已知可得f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，可得fi(x)fi4(x)，i0，1，2，3，.所以f2 014f2sin .二、填空題8.已知f(x)，g(x)mx且g(2)，則m .答案4解析f(x)，g(x)m，f(2)，又g(2)，m4.9.函數(shù)yf(x)lg x在點(1，0

12、)處的切線方程為 .答案yxlg elg e解析y(lg x)，則f(1)lg e，切線方程為y(x1)lg e，即yxlg elg e.10.設(shè)曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為 .答案(1，1)解析因為yex，所以曲線yex在點(0，1)處的切線的斜率k1e01.設(shè)P(m，n)，y(x0)的導(dǎo)數(shù)為y (x0)，曲線y (x0)在點P處的切線斜率k2 (m0).因為兩切線垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點P的坐標(biāo)為(1，1).11.已知f(x)cos x，g(x)x，則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集為 .答案x|x2k，kZ解析f(x)sin x，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，則sin x1，解得x2k，kZ，其解集為x|x2k，kZ.三、解答題12.已知曲線y5(x0)，求：(1)曲線上與直線y2x4平行的切線方程；(2)過點P(0，5)，且與曲線相切的切線方程.解(1)設(shè)切點為(x0，y0)，由y5，得曲線在xx0處的切線的斜率k.因為切線與直線y2x4平行，所以2，解得x0，所以y0.故所求切線方程為y2，即16x8y250.(2)因為點P(0，5)不在曲線y5上，所以設(shè)切點坐標(biāo)為M(x1，y1)，則切線斜率為(x10)，又因為切線斜率為，所以，解得x1