1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過對橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力(三)學(xué)科滲透點(diǎn)通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對各種知識的綜合運(yùn)用能力二、教材分析1重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較)2難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明)3疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因(解決辦法：分三種情況說明動點(diǎn)的軌跡)三、

2、活動設(shè)計提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？對上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個同解變形問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”對同學(xué)提出的軌跡命題如：“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡

3、”“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”教師要加以肯定，以鼓勵同學(xué)們的探索精神比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動點(diǎn)軌跡是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個定點(diǎn)叫做

4、橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程如何建立橢圓的方程？根

5、據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)囊詢啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)設(shè)|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)(2)點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：P=M|MF1|+|MF2|=2a(3)代數(shù)方程(4)化簡方程化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范

6、的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要(ab0)關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)這里c2=a2-b22兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，a2b2，可以根

7、據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上(三)例題與練習(xí)例題 平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系2a=10，2c=8a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9b=3因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是請大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)2 下列各組兩個橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是 由學(xué)生口答，答案為D(四)小結(jié)1定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡3圖形如圖2-15、2-164焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)五、布置作業(yè)1如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)