1、1,第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1 引言,前提：在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型。,數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式。,靜態(tài)數(shù)學(xué)模型在靜態(tài)條件下（即變量各階導(dǎo)數(shù)為零）， 描述變量之間關(guān)系的多元一次代數(shù)方程；,動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。,2,建模的方法,分析法分析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行 分析，根據(jù)他們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī) 律分別列寫(xiě)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。,實(shí)驗(yàn)法人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辨識(shí)。,已發(fā)展成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科分支,本章重點(diǎn)依據(jù)?；鶢柣舴蚨?、電磁感應(yīng)

2、定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、熱力學(xué)定律等,頻域： 頻率特性等； 復(fù)頻域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖； 時(shí)域： 微分方程、差分方程和狀態(tài)方程。,數(shù)學(xué)模型的常見(jiàn)類型,本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)等方程模型和 結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖等系統(tǒng)圖形模型的建立及應(yīng)用。,相似性雖然系統(tǒng)千差萬(wàn)別，物理運(yùn)行規(guī)律不同，但若去除參數(shù)的物理背景后，其數(shù)學(xué)模型及相同輸入信號(hào)下的響應(yīng)卻具有高度的一致性。,3,控制系統(tǒng)的相似性是自動(dòng)控制理論能夠研究自動(dòng)控制共同規(guī)律的前提。,2.2 典型環(huán)節(jié)的微分方程,例2-1 試列寫(xiě)圖2-1所示RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程.,解： 圖2-1為電學(xué)系統(tǒng)。設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫定律可寫(xiě)出回路方程為,4,消去中間變

3、量i(t) ，便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為,例2-2 圖2-2表示一個(gè)含有彈簧、運(yùn)動(dòng)部件、阻尼器的機(jī)械位移裝置。其中，k是彈簧系數(shù)，m是運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量， 是阻尼器阻尼系數(shù)；外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量，位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，運(yùn)動(dòng)部件在外力作用下克服彈簧拉力ky(t)和阻尼器阻力 將產(chǎn)生加速度力,5,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為,可以看出，忽略系數(shù)的物理意義，以上兩個(gè)不同的物理系統(tǒng)具有相同的運(yùn)動(dòng)方程，即具有相同的數(shù)學(xué)模型。,例2-3 試列寫(xiě)圖2-3所示電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，圖中電樞電壓 為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 為輸出量 分別是電樞電路的電阻和電感； 是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總

4、負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通設(shè)為常值。,6,不參與建模,7,電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通變化率及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓 相反，即,直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成,電樞回路電壓平衡方程,反電勢(shì)系數(shù),電磁轉(zhuǎn)矩方程,電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；,電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩，是主動(dòng)轉(zhuǎn)矩。,（2-3）,（2-4）,產(chǎn)生死區(qū)的原因,8,由式（2-3）式（2-5）中消去中間變量 ， 及 ，便可得到以 為輸出量， 為輸入量的直流電動(dòng)機(jī)微分方程：,電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程,（2-5）,（2-6）,負(fù)載阻力轉(zhuǎn)矩,9,（2-6）,在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感 較小，通常忽略不計(jì)，因而式（2-6）可簡(jiǎn)化為,如果電樞電

5、阻 和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 都很小可忽略不 計(jì)時(shí)，式（2-7）還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為 （2-8） 這時(shí)，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 成正比，于是，,電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。,10,例2-4 圖2-4為直流他激發(fā)電機(jī)示意圖。其中 是激磁繞組的電阻和電感； 為激磁電壓和激磁電流， 是發(fā)電機(jī)電樞電勢(shì)， 為氣隙磁通（Wb）， 為激磁繞組匝數(shù)； 是發(fā)電機(jī)角速度（rad/s）。假設(shè) 恒定不變，磁滯渦流、漏磁效應(yīng)可忽略不計(jì)，發(fā)電機(jī)各變量在其工作點(diǎn)附近漂移很小。試列寫(xiě)以 為輸入， 為輸出的微分方程。,11,解： 根據(jù)基爾霍夫定律，,匝繞組的磁通量。,（2-9）,（2-10）,E,勵(lì)磁回路方程,輸出電動(dòng)勢(shì)方程,12,電

6、磁感應(yīng)方程為,（2-11）,K1、K2和K分別是一匝和N匝時(shí)繞組的電磁感應(yīng)經(jīng)線性化處理后的折合系數(shù)。,整理式（2-9）（2-11）可得一階微分方程,（2-12）,（2-9）,（2-10）,（2-11）,相似系統(tǒng),例2-3 空載,13,相似系統(tǒng),例2-5,圖2-5齒輪系的運(yùn)動(dòng)方程,例2-5,相似系統(tǒng)模型的通解反映其輸入輸出變化的共同規(guī)律，可以統(tǒng)一分析，至于其特解則取決于初始條件。,14,2.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念,復(fù)頻域下的數(shù)學(xué)模型主要是傳遞函數(shù)。,相似系統(tǒng)的共同規(guī)律由數(shù)學(xué)模型的通解決定，特解與傳遞函數(shù)無(wú)關(guān)，所以可以選擇傳遞函數(shù)代替微分方程以簡(jiǎn)化求解過(guò)程。,設(shè)線性

7、定常系統(tǒng)的微分方程的一般形式為,定義系統(tǒng)在零初始條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,15,或,（2-25）,（2-26）,說(shuō)明：,1. 零初始條件，即,只有在初始條件為零時(shí)，才可以得到,16,否則,初始條件與基本規(guī)律分析無(wú)關(guān)，屬于用拉氏變換進(jìn)行特殊規(guī)律分析。,17,當(dāng) 時(shí)，稱 為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，其時(shí)域下的沖激響應(yīng)為 ，一般以圖形表示，而微分方程和傳遞函數(shù)是參數(shù)模型。,3.作為復(fù)頻域參數(shù)模型，傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳遞能力以及系統(tǒng)本身所固有的特性，與輸入信號(hào)和初始條件無(wú)關(guān)。,傳遞函數(shù)可以是不反映任何物理結(jié)構(gòu)的抽象模型。,相似系統(tǒng)的傳

8、遞函數(shù)形式相同。,18,5.系統(tǒng)實(shí)際存在的損耗、阻尼、摩擦等，使其能量逐漸衰減，這種現(xiàn)象統(tǒng)稱為“慣性”。慣性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母階次必高于分子階次。由式（2-25）、（2-26）可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)才會(huì)出現(xiàn)所謂慣性現(xiàn)象，否則系統(tǒng)將存在能量自激。,（2-25）,（2-26）,6. 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)、分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)，它們決定了傳遞函數(shù)所描述系統(tǒng)的固有特性。,19,2.3.2 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),1. 比例環(huán)節(jié),圖2-6 純比例電路,比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒數(shù)與半徑、轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩之間都是比例關(guān)系，且與比例電路是相似系統(tǒng)。,測(cè)速發(fā)電機(jī)：非統(tǒng)一量綱比例環(huán)節(jié),相似系統(tǒng),20,2. 慣性

9、環(huán)節(jié),令初始條件為零，對(duì)例2-4 式（2-12）,（2-12）,進(jìn)行拉氏變換,則發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié),（2-27）,慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),相似系統(tǒng),21,3. 振蕩環(huán)節(jié),二階微分方程所描述的“慣性”系統(tǒng)或環(huán)節(jié)。,（2-6）,對(duì)例2-3 式（2-6）進(jìn)行拉氏變換可得：,則電動(dòng)機(jī)輸出的拉氏變換表達(dá)式為,直流電機(jī),22,（2-31）,式（2-31）是兩輸入單輸出振蕩環(huán)節(jié)。根據(jù)傳遞函數(shù)定義，只能分別寫(xiě)出輸出對(duì)兩個(gè)輸入的獨(dú)立傳遞函數(shù)，即,或者以矩陣形式表示,線性系統(tǒng)可用疊加定理，所以允許這樣處理。,23,若忽略粘性摩擦系數(shù)fm，令,則,若忽略電樞回路電感La=0，則該環(huán)節(jié)降為兩入單出的慣性環(huán)節(jié)。,更正

10、P.24,二階振蕩環(huán)節(jié)也是“慣性”環(huán)節(jié)。由于二階環(huán)節(jié)對(duì)于突變信號(hào)的響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，所以為了區(qū)分，又稱之為振蕩環(huán)節(jié)，我們將在下一章中對(duì)“振蕩”有所體會(huì)。,24,前節(jié)中例2-1，例2-2都屬于振蕩環(huán)節(jié)。,典型振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),相似系統(tǒng),4. 積分環(huán)節(jié) 最常見(jiàn)的積分環(huán)節(jié)是有源積分電路。,積分電路,25,齒輪-齒條傳動(dòng)裝置示意圖,設(shè)齒輪軸位置固定，齒輪轉(zhuǎn)速(t)為輸入量，齒條平移距離l (t)為輸出量，r為齒輪半徑。忽略間隙等的影響，則有,進(jìn)行拉氏變換，可得,故傳遞函數(shù)為,一階慣性環(huán)節(jié)是非純積分，但具備積分特性,26,5. 微分環(huán)節(jié) 例2-3中，當(dāng)忽略 時(shí)，,純積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),相似系統(tǒng),積分電路

11、,（2-6）,T為積分時(shí)間常數(shù),電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)轉(zhuǎn)速、測(cè)轉(zhuǎn)角發(fā)電機(jī)使用。,27,當(dāng)被測(cè)量是轉(zhuǎn)角時(shí)，測(cè)速發(fā)電機(jī)即為理想微分環(huán)節(jié)，記為,當(dāng)被測(cè)量是轉(zhuǎn)速時(shí)測(cè)速發(fā)電機(jī)為比例環(huán)節(jié),理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際不易實(shí)現(xiàn),相似系統(tǒng),電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)轉(zhuǎn)速、測(cè)轉(zhuǎn)角發(fā)電機(jī)使用。,28,下圖（a）所示無(wú)源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，其中T=RC,下圖（b）所示是常用的有源微分電路，當(dāng)Rf=Ri 、T= Ri C即為純微分電路。,或,常用的微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),29,表2-1 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),30,2.4 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的圖解數(shù)學(xué)模型，具有直觀、易于簡(jiǎn)化且便于獲得整 個(gè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的特征。,圖1-2

12、仿人控制系統(tǒng)方框圖,2.4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成,結(jié)構(gòu)圖可以從方框圖變換得到。以圖1-2為例，若各環(huán)節(jié)用傳遞函數(shù)描述，則有圖2-10,31,圖2-10 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,誤差檢測(cè)器，又稱比較點(diǎn)。誤差檢測(cè)器上所有輸入信號(hào)一般必須是同量綱的。,若R(s)的參考極性與B(s)相反，表示系統(tǒng)為負(fù)反饋。,32,33,圖2-11誤差檢測(cè)器的示意圖,圖2-12直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖,34,圖2-12直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖,圖2-11誤差檢測(cè)器的示意圖,圖2-13隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,35,方框圖的基本連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。 結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化原則等效變換，即保持變換前后前向通路、回路中傳遞函數(shù)的乘積不變。 串聯(lián)方框的

13、等效簡(jiǎn)化,2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化,圖2-14方框串聯(lián)連接及其簡(jiǎn)化,36,圖2-15 方框并聯(lián)連接及其簡(jiǎn)化,并聯(lián)方框的等效簡(jiǎn)化,3. 反饋連接方框圖的等效變換,37,3. 反饋連接方框圖的等效變換,式中負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋連接，正號(hào)對(duì)應(yīng)負(fù)反饋連接。,B（s）,表2-2結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化（等效變換）規(guī)則,38,并聯(lián)等效,39,40,例2-6 設(shè)輸入補(bǔ)償型復(fù)合控制系統(tǒng)如圖2-17所示，試通過(guò)框圖簡(jiǎn)化求系統(tǒng)總的傳遞函數(shù),圖2-17 輸入補(bǔ)償（前饋）型復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,簡(jiǎn)化或等效變換的目的是將交叉回環(huán)轉(zhuǎn)換為層層嵌套或只是串、并聯(lián)連接的回環(huán)，通過(guò)分別移動(dòng)、合并比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，希望使圖2-17簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單的串

14、、并和反饋聯(lián)接。,解：本例實(shí)際有回環(huán)交叉現(xiàn)象。,41,注意：交換相臨比較點(diǎn)和引出點(diǎn)很難保證等效性，往往使簡(jiǎn)化過(guò)程復(fù)雜化。因此，應(yīng)避免點(diǎn)1和點(diǎn)2互換位置，而應(yīng)采取點(diǎn)3前移至點(diǎn)2處或點(diǎn)2后移至點(diǎn)3處并與之合并的辦法。,觀察圖2-17，應(yīng)設(shè)法合并比較點(diǎn)2和3或引出點(diǎn)1和4。,點(diǎn)3前移,42,點(diǎn)2后移,點(diǎn)3前移,43,例2-7 圖示為兩輸入單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求其傳遞函數(shù)。,解：多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)指的是各輸出單獨(dú)對(duì)應(yīng)各輸入的傳遞函數(shù)。所以本例系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為,傳遞函數(shù)矩陣,44,當(dāng) =0時(shí)，前向通道傳遞函數(shù)為 ，而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不變， 的負(fù)反饋?lái)樠又?處，注意 極性可正可負(fù)，,當(dāng) D(s)=0時(shí)為

15、單閉環(huán)結(jié)構(gòu)。根據(jù)閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化規(guī)則,45,系統(tǒng)總輸出可由迭加定理確定。,46,例2-8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 (a)所示，試簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖并求G(s)=Y/R。,47,2.5 線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖,信號(hào)流圖法 另一種表示復(fù)雜控制系統(tǒng)變量之間關(guān)系的圖解法。,信號(hào)流圖 以拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)圖表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程。,當(dāng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程時(shí)，首先必須轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。,信號(hào)流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息，這種方法是S.J.梅遜(Mason)首先提出的，較方塊圖簡(jiǎn)潔。,術(shù)語(yǔ)定義：,48,增益,支路,通路,兩前向通路 增益=ab、d,節(jié)點(diǎn)是用來(lái)表示變量或信號(hào)的點(diǎn),支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段,支

16、路上標(biāo)明的乘法因子叫做增益，其反映了兩節(jié)點(diǎn)變量或信號(hào)之間的放大關(guān)系。,沿支路箭頭方向而穿過(guò)各相連支路的途徑，叫通路,從源點(diǎn)到匯點(diǎn)，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通路叫做前向通道，其中各支路增益的乘積，叫前向通道增益,通路的終點(diǎn)即通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，又稱閉通路，回環(huán)中各支路增益的乘積，叫回環(huán)增益,沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)的回環(huán)，叫做不接觸回環(huán)。,49,節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)系統(tǒng)變量，兩節(jié)點(diǎn)間的聯(lián)結(jié)支路相 當(dāng)于信號(hào)乘法器，乘法因子則標(biāo)在支路線上。箭頭表示信號(hào)流向。 信號(hào)流圖的性質(zhì) 1 支路表示了一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。信號(hào)只能沿著支路上的箭頭方向通過(guò)。 2 節(jié)點(diǎn)可以把所有輸入支路的信

17、號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路。,50,3 具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過(guò)增加一個(gè)具有單位增益的支路，可以把它變成輸出節(jié)點(diǎn)來(lái)處理。但是用這種方法不能將混合節(jié)點(diǎn)改變?yōu)樵袋c(diǎn)。,4 同一系統(tǒng)的信號(hào)流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程可以寫(xiě)成不同的形式，所以對(duì)于給定的系統(tǒng)，可以畫(huà)出許多種不同的信號(hào)流圖。,51,2.5.1信號(hào)流圖的繪制,當(dāng)支路增益為“1”時(shí)可以不標(biāo)明,52,信號(hào)流圖表示的是代數(shù)（微分傳函）方程的因果關(guān)系，所以信號(hào)流圖上可以標(biāo)出初始條件；結(jié)構(gòu)圖不能標(biāo)明初始條件 。,將復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖，可簡(jiǎn)化閉環(huán)傳遞函數(shù)的求解。,53,給定信號(hào)=源點(diǎn) 匯點(diǎn)=輸出信號(hào) 環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

18、 =所在支路的增益(正負(fù)表明反（或前）饋的極性),1,2,3,4,轉(zhuǎn)化的基本原則: 比較點(diǎn)、引出點(diǎn) =節(jié)點(diǎn) 信號(hào)線=支路 (保持原流向),54,注意： 由于傳遞函數(shù)初始條件為零，所以，由結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化的信號(hào)流圖不能標(biāo)明初始條件； 對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中相鄰的比較點(diǎn)與引出點(diǎn)，信號(hào)流圖不能以一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)代替。,2.5.2 梅遜增益公式可以很方便地求出信號(hào)流圖的總增益或系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。,55,把第K條前向通道（包括其中所有的節(jié)點(diǎn)和支路）去掉之后，在余下的信號(hào)流圖上求得的,輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的總增益；,；,所有單獨(dú)回環(huán)的增益之和；,所有兩兩互不接觸回環(huán)的增益乘積之和；,所有三個(gè)互不接觸回環(huán)的增益乘積之和；

19、,從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間第K條前向通道的增益。,56,只要含有一條新的支路，就可以當(dāng)作一條新的前向通道（選擇回環(huán)也是這樣）；,注意：不論回環(huán)還是前向通道，在通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只允許經(jīng)過(guò)一次。,解：系統(tǒng)存在2條前向通道。,57,把第K條前向通道（包括其中所有的節(jié)點(diǎn)和支路）去掉之后，在余下的信號(hào)流圖上求得的剩余的,58,解：圖2-23為兩輸入單輸出系統(tǒng)。,59,60,例2-11 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-25(a)所示，求,。,圖 (a)中，4,5,6節(jié)點(diǎn)交叉嚴(yán)重，難以用結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化等效原則正確簡(jiǎn)化，只能用梅遜公式。先畫(huà)出其信號(hào)流圖如圖 (b)所示。,61,62,k=1，6。,所有前向通道和回環(huán)都經(jīng)過(guò)這兩條支

20、路,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖都是用圖解數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)的簡(jiǎn)便方法 ，它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算。 信號(hào)流圖符號(hào)簡(jiǎn)單，更便于繪制和應(yīng)用，特別適用系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真研究，但是，信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng)。,63,2.6 線性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立,例2-12 圖2-26(a)是兩級(jí)RC濾波電路，若從控制系統(tǒng)的角度看待它，則圖2-26(b)是它的結(jié)構(gòu)圖，則可很容易得出其傳遞函數(shù)。,反饋處處存在,64,例2-13 設(shè)圖2-27所示機(jī)電系統(tǒng)的初始條件為零，u（t）為輸入電壓，x（t）為輸出位置，R和L分別為鐵芯線圈的電阻和電感，m為物體的質(zhì)量，

21、k為彈簧的剛度，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。功率放大器增益為F，鐵芯線圈的反電動(dòng)勢(shì)為e0=k2dx/dt，線圈電流i（t）在質(zhì)量m上產(chǎn)生的電磁力為k2i（t）。試畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖并求總傳遞函數(shù)。,解：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-28所示。系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程如下：,機(jī)械環(huán)節(jié),電磁環(huán)節(jié),65,機(jī)械環(huán)節(jié),電磁環(huán)節(jié),更正：P.40(1)e0,在零初始條件下對(duì)上述方程組進(jìn)行拉氏變換并整理得,66,消去中間變量或者根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可得系統(tǒng)總傳遞函數(shù)為,67,例2-14 試列寫(xiě)圖2-29所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。解：控制系統(tǒng)的被控對(duì)象是電動(dòng)機(jī)（帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是轉(zhuǎn)速 ，給定電壓是 ?？刂葡到y(tǒng)由給定電位器、運(yùn)算放大器I（

22、含比較作用）、運(yùn)算放大器II（含RC校正網(wǎng)絡(luò)）、功率放大器、測(cè)速發(fā)電機(jī)、減速器等部分組成。,68,現(xiàn)分別列出各元部件的微分方程（結(jié)構(gòu)圖略）。,運(yùn)算放大器I 給定電壓 與速度反饋電壓 在此合成，產(chǎn)生偏差電壓并經(jīng)放大，即,69,功率放大器設(shè)系統(tǒng)采用晶閘管整流裝置，包括觸發(fā)電路和晶閘管主回路。忽略晶閘管控制電路的時(shí)間滯后，輸入輸出方程,運(yùn)放I的比例系數(shù),運(yùn)算放大器II 與R1C網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成微分電路， 與 間微分方程,齒輪系 設(shè)齒輪系的速比為 ，則電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 經(jīng)齒輪系減速后變?yōu)?，則,測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸出電壓 與其轉(zhuǎn)速 成正比,測(cè)速發(fā)電機(jī)比例系數(shù),直流電動(dòng)機(jī)忽略電樞電感,運(yùn)算放大器I 為加法電路,70,從上述各方程中消去中間變量 、 、 、 及 ，整理后便得到控制系統(tǒng)的微分方程,式中,注意例2-13、2-14中負(fù)反饋電壓的接線方式。,機(jī)械環(huán)節(jié),電磁環(huán)節(jié),例2-13自然形成,本例依靠接線倒向,71,例2-15 交流直流位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖2-30所示，試列寫(xiě)系統(tǒng)的元部件傳遞函數(shù)，繪出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：設(shè)負(fù)載效應(yīng)滿足且初始條件為零，列寫(xiě)微分方程傳遞函數(shù)方塊圖。,72,自整角機(jī) 交流輸出,交流放大器,直流測(cè)速發(fā)電機(jī)與調(diào)制 器（設(shè)調(diào)制器增益為1）,兩相伺服電動(dòng)機(jī),直流輸出,73,系統(tǒng)總傳遞函數(shù),2.7 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,以上所舉數(shù)學(xué)模型都是針對(duì)線性定常系