1、常微分方程 與 運動穩(wěn)定性,天津大學(xué)研究生課程,常微分方程與運動穩(wěn)定性 既是一門重要的基礎(chǔ)理論課程，又有廣泛的工程應(yīng)用背景，在機械，電力能源，電訊，化工，航空航天，生物，經(jīng)濟和社會等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越大的作用。掌握本課程的基本解法和基本定理，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程(非線性振動、分岔混沌理論、控制)所必需的，同時也為今后的科學(xué)研究工作打下良好的基礎(chǔ)。,緒 論,主要研究內(nèi)容包括：,常微分方程研究常微分方程(組)基礎(chǔ)理論及其具體解法； 運動穩(wěn)定性研究李雅普諾夫穩(wěn)定性理論及其在若干系統(tǒng)中的應(yīng)用； 定性理論研究平面動力系統(tǒng)的初等奇點分布，相軌線形態(tài)和作圖法，以及極限環(huán)的性質(zhì)。,第一篇常微分方程,引 言,常微分方程

2、已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進一步發(fā)展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。,牛頓最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題中的常微分運動方程，從而在理論上證實了地球繞太陽的運動軌道是一個橢圓，澄清了當(dāng)時關(guān)于地球?qū)嫐в谔柕囊环N悲觀論點。另外，萊布尼茲也經(jīng)常與牛頓在通信中互相提出求解微分方程的挑戰(zhàn)。,其后，許多著名數(shù)學(xué)家也都遵循這一歷史傳統(tǒng)，把數(shù)學(xué)研究結(jié)合于當(dāng)時許多重大的實際力學(xué)問題，在這些問題中通常離不開常微分方程的求解法。海王星的發(fā)現(xiàn)是通過對常微分方程的近似計算得到的；十九世紀(jì)在天體力學(xué)上的主要成就應(yīng)功于拉格朗日對線性常微分方程的工作。,自本世紀(jì)二十年代以來，常微分方程的應(yīng)用范圍更是不

3、斷擴大并深入到機械，電訊，化工，生物，航空航天，經(jīng)濟和其它社會學(xué)科的各個領(lǐng)域，各種成功的實例是不勝枚舉的。,本篇主要介紹常微分方程的一些基本定理、常用解法和計算機應(yīng)用。 第一章 基本概念 中介紹微分方程及其解的定義和幾何解釋，以及重要的理論基礎(chǔ)：解的存在性、唯一性定理、和解對初值(及參數(shù))的連續(xù)性、可微性定理； 第二章 初等積分法 以恰當(dāng)方程和積分因子為主線貫穿各種求解法；近似解法； 第三章 線性微分方程組 本篇的重點，它是第二篇以及以后一些專業(yè)課程的基礎(chǔ)，重點放在具體解法上。,參考教材,丁同仁，常微分方程教程，高教出版社，1991 葉彥謙，常微分方程講義，人教出版社，1982 陸啟韶，常微分

4、方程與定性理論，1990 天大編，常微分方程與定性理論 周義倉，常微分方程及其應(yīng)用，科學(xué)出版社，2003,第一章 基本概念,第一節(jié) 微分方程及其解的定義,第二節(jié) 存在和唯一性定理,第三節(jié)微分方程及其解的幾何解釋,第一節(jié) 微分方程及其解的定義,定義 1 由單個自變量x，這個自變量的未知函數(shù) y=y(x)，及其直到n階導(dǎo)數(shù)組成的函數(shù)方程,(1.1),叫作 n 階常微分方程。,如果函數(shù)F對未知函數(shù) y和它的各階導(dǎo)數(shù)y, , y(n) 的全體均是一次的，則是線性常微分方程，否則為非線性常微分方程。 (1.2)和(1.5)是線性的；(1.3)和(1.4)是非線性的。,。,分別都是微分方程(1.2)在區(qū)間

5、(-,0)或(0, +)上的一個解 (C是任意的常數(shù)).,對一切xJ都成立，則 y=j (x) 是微分方程(1.1)在定義區(qū)間J上的一個解。,定義2 設(shè)函數(shù) y=j (x) 在區(qū)間J上連續(xù)，且有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,.,可以驗證,不是(1.2)的解,(1.1),(1.2),分別都是在區(qū)間(-, +)上的一個解.,也是在區(qū)間(-, +)上的一個解(C1和C1是任意常數(shù))。,對于微分方程(1.5)：,定義3 設(shè)n階微分方程(1.1)的解 y=j (x,C1, C2, Cn)包含n個獨立的任意常數(shù)C1, C2, Cn,則稱為通解； y=j (x) （不包含任意常數(shù)）稱為特解。,n 個任意常數(shù)C1,

6、 C2, Cn是獨立的含義： j , j, ，j (n-1)關(guān)于C1, C2, Cn的Jacobi行列式,是方程(1.5)的通解；,是(1.5)的特解。,例如：自由落體運動方程,初值問題,mg,上式兩側(cè)對t積分兩次，得到,C1, C2 任意常數(shù)。,若給定初值條件：,可確定：,結(jié)論：自由落體運動在給定初值條件下，惟一地確定一個解,(1.6),一般情況下 n 階微分方程的初值形式如下，,第二節(jié) 存在和唯一性定理,Lipschiz 條件：,畢卡定理：,一般情況下 n 階微分方程的初值形式如下，,(1.6),畢卡定理,考慮一階微分方程,(1.7),其中f(x, y)是平面區(qū)域G內(nèi)給定的連續(xù)函數(shù)( fG

7、C )。其解為：,第三節(jié) 微分方程及其解的幾何解釋,所以微分方程及其解的幾何解釋為：給定微分方程就是給定平面區(qū)域G上的一個方向場。,解：,方向場如圖（1.1）。直線 y=kx 就是微分方程的積分曲線，其中 k 是任意常數(shù)。,這種用隱函數(shù)方式給出的通解，叫作方程的通積分。,定義：若由隱函數(shù)(x, y) =0 確定的函數(shù)：= (x) 是(1.1) 的解， 則 (x, y) =0 為(1.1)的通積分。,- C是任意常數(shù)。,(1.9),第二章 初等積分法,第一節(jié) 全微分方程（恰當(dāng)方程）,第二節(jié) 變量分離的方程,第三節(jié) 一階線性方程,第四節(jié) 積分因子法,第一節(jié) 全微分方程（恰當(dāng)方程）,(2.1),(2

8、.2),則(2.1)為全微分方程。,就是方程(2.1)的一個通積分。,例 求解微分方程,解：,(2.6),則對x積分第一式:,再將它代入上面第二式，即得,由此得出：,為方程(2.8)的通積分，其中C為任意常數(shù)。,解：,第二節(jié) 變量分離的方程,微分方程(2.10)為變量分離的方程,(2.10),若函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)均可表示為x的函數(shù)與 y的函數(shù)的乘積。,令：,例：,問題: (2.13) 與 (2.11) 是否同解?,(2.11),積分得：,(*) =,利用方向場并參照通積分表達式，作出積分曲線族:,第三節(jié) 一階線性方程,一階線性非齊次方程,(2.14),先討論(2.15)的求解:,通

9、解為:,其中 p(x)，q(x) C , 當(dāng) x I = ( a, b ).,(2.15) ,討論(2.14)的求解,將其改寫為：,(2.16),- 恰當(dāng)方程. 其通積分為：, 積分因子法,cc,例. 求解微分方程,解： 計算積分因子,乘以原式兩端得,或,通常把通解(2.17)中的不定積分寫成變上限的定積分，即,1. (2.15)的解恒等于零或恒不等于零。,2. 線性方程的解是整體存在的，即(2.14)或(2.15)的任一解都在 I 上存在。,3. (2.15)任意解的線性組合仍為其解，(2.14)和(2.15)的任意解之和仍為(2.14)的解，(2.14)的任意兩解之差是(2.15)的解。,

10、4. (2.14)任一解加上(2.15)的通解為(2.14)的通解。,5. 線性方程的初值問題(2.18)的解存在且唯一。,線性微分方程的一些性質(zhì)：,由(2.20)得,第四節(jié) 積分因子法,(2.20),記,得積分因子為：,積分因子,例. 求解微分方程,解：,乘以積分因子得：,第五節(jié) 近似解法,逐次迭代法 Picard迭代序列 Taylor 級數(shù) Euler折線法 微分中值定理,第三章 線性微分方程組,記：,考慮 n 階線性微分方程,第一節(jié) 一般理論,(3.1)的相應(yīng)的齊次線性方程組為：,(3.2),1.1 齊次線性微分方程,(3.4),線性無關(guān) ,即存在線性映射 H: Rn,證明： 利用行列式

11、的基本性質(zhì)可得,從引理2的證明中可見，,推論 1 解組(3.7)式線性相關(guān)的充要條件為,(3.13),解 不難驗證,所以(3.13)是一個基本解組 (3.12)是通解。,由解組(3.7)構(gòu)成的方程(3.2)的解矩陣,亦即方程(3.2)的解矩陣 Y(x) 是方程(3.2)的矩陣解，反之亦然。,1.2 非齊次線性微分方程組,得證,利用常數(shù)變易法可以求得(3.1)的一個特解(已知(3.2)的一個基解矩陣)。,(3.17),(3.20),(3.21),解： 由例1知道，相應(yīng)的齊次方程組的一個基解矩陣為：,例2. 求解初 值問題,解： 原方程 ,(*)式的通解為,第二節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組,如何求(3

12、.24)的 一個基解矩陣？,當(dāng) n=1 時， A=a 為一個實數(shù)，(3.24)為,2.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì),定義 矩陣A的指數(shù)函數(shù)為,矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：,2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣,證明： 矩陣指數(shù)函數(shù)為,逐項求導(dǎo),(3.26),例,(3.29)和(3.28)代入(3.27)得：,任意矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J E+Z e xJ- 初等函數(shù)有限和,2.3 利用Jordan型求基解矩陣,Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,假設(shè)Jordan塊,缺點: 求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 J 和變換陣成過急P 的計算量太大,2.4 特征根法,利用式(3.34), 應(yīng)用待定系數(shù)法，可直接求得(3.24)的相

13、應(yīng)基解矩陣，按矩陣 A 的Jordan 型特征根的重數(shù)分為兩種情況：,(一) A 只有單的特征根,(3.35),證明： 將y代入(3.24)即可,則 y1的共軛復(fù)值解:,例3 求微分方程組的通解。,解： 求特征值,所以方程的通解為：,例 求解微分方程組,解： 易知,解矩陣可取為：,求實基解矩陣(3.35)：,通解為,另一種做法：從復(fù)值解提取所需的實值解；,它的實部和虛部為：,是兩個線性無關(guān)解，由此同樣可得通解。注意, y1 的共軛為,的第一列為：,(一) A 只有單的特征根,(3.24),齊次線性方程組,(3.36),(二) A有重特征根,比較 x 的同次冪的系數(shù)可得：,證明： 把(3.36)

14、代入(3.24)得：,(3.36),(3.39),證明：,(3.37),例 求解方程組,解：,把以上結(jié)果代入(3.39)式，可得到一個基解矩陣,通解為：,例 求解方程組,解：,可直接驗證下式不等于零：,例 求解方程組,解： 由第三個方程,把 y3 代入到第二個方程，得到：,將 y2代入第一個方程，得到：,方程組的通解：,第三節(jié) 高階線性微分方程,(3.42),(3.44),* 微分方程(3.41)滿足初值條件,(3.47),3.1 高階線性微分方程的一般理論,(3.42),(3.42),積分可得出(3.51),證明：,即得結(jié)論,解 直接由公式(3.52)和(3.53)得通解為：,(3.55),也可以用常數(shù)變易法推導(dǎo)(3.55)式。,與(3.54)相對應(yīng)的齊次方程的通解為：,求導(dǎo)得：,聯(lián)立式(3.57)和(3.58)，可以解出,積分上式，再代回到(3.56)式中，整理后就得到(3.55)式。,求導(dǎo)得：,3.2 常系數(shù)高階線性微分方程,(3.57),(3.58),注：有一對復(fù)特征根的情況: 由實部和虛部提取實值解,例 求解微分方程,解： 特征方程為,特征根為0，-1 和 2,例 求解微分方程,解： 特征方程,取復(fù)值解,原方程通解：,解： 相應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為,由此可得齊次方程的一個基本解組：,利用常數(shù)變易法求得原方程的通解為：,利用待定系數(shù)法來確定方程