1、題型6二次函數(shù)綜合題,類型二次函數(shù)中的最值問題,例12015德州，T24，12分已知拋物線ymx24x2m與x軸交于點(diǎn)A(，0)，B(，0)，且 2. (1)求拋物線的解析式； (2)拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長最??？若存在，請(qǐng)畫出圖形(保留作圖痕跡)，并求出周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo),規(guī)范解答：(1)由題意，可得，是方程mx24x2m0的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系，可得 ，2. 2，

2、(1分) 2，即 2， 解得m1. .(2分) 故拋物線的解析式為yx24x2.(3分),(2)存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長最小,理由：yx24x2(x2)26， 拋物線的對(duì)稱軸l為x2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)(4分) 又拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱， 點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，2) 作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，(5分) 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，2)，連接DE，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N， 此時(shí)，四邊形DNME的周長最小為DEDE，如圖1所示 (6分),延長EE，DD交于一點(diǎn)F， 在RtDEF中，DF

3、6，EF8， 則DE 10.(7分) 連接CE，交對(duì)稱軸l于點(diǎn)G. 在RtDGE中，DG4，EG2， DE 2. 四邊形DNME的周長最小值為10 .(8分),(3)如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHx軸，垂足為H.,若以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形， 則PHQDGE， PHDG4.(9分) |y|4. 當(dāng)y4時(shí)，x24x24， 解得x12 ，x22 ；(10分) 當(dāng)y4時(shí)，x24x24， 解得x32 ，x42 . 無法得出以DE為對(duì)角線的平行四邊形， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 ，4)或(2 ，4)或 (2 ，4)或(2 ，4)(12分),滿分技法以二次函數(shù)圖象為背景探究動(dòng)點(diǎn)形式的

4、最值問題，要注意以下幾點(diǎn)：1.要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t或動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；2.(1)求三角形面積最值時(shí)要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高的代數(shù)式或函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)法將四邊形分成兩個(gè)三角形，從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段，然后用含t的代數(shù)式表示出圖形面積；3.用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大值或最小值,【滿分必練】,12018淄博如圖，拋物線 yax2bx 經(jīng)過OAB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中A(1， )，B(3， )，O為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；,解：把點(diǎn)A(1， )，點(diǎn)B(3， )分別代入yax2b

5、x，得 解得 這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y .,(2)若點(diǎn)P(4，m)，Q(t，n)為該拋物線上的兩點(diǎn)，且nm，求t的取值范圍；,(3)若C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之和最大時(shí)，求BOC的大小及點(diǎn)C的坐標(biāo),解：由(1)得，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x ， 當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小， 當(dāng)t4時(shí)，nm. 由拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)t 時(shí)，nm. 綜上所述，t的取值范圍為t4或t .,解：如圖，設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)F，分別過點(diǎn)A， B作ADOC于點(diǎn)D，BEOC于點(diǎn)E. ACAD，BCBE ADBEACBCAB. 當(dāng)OCAB時(shí)，點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之 和最大,點(diǎn)

6、A(1， )，點(diǎn)B(3， )， AOF60，BOF30，易求直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y x2 . 設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G(2，0) OG2. OA2，AOG是等邊三角形 OAB60，ABO30. 當(dāng)OCAB時(shí)，BOC60. FOC30. 設(shè)C(c， c2 )， 則tanFOC ， 解得c . 點(diǎn)C的坐標(biāo)為( ， ),22018常德如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O(0，0)A(8，4)，與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱軸是直線x3. (1)求該二次函數(shù)的解析式；,(2)若M是OB上的一點(diǎn)，作MNAB交OA于點(diǎn)N，當(dāng)ANM面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；,解：拋物線過原點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x3， B點(diǎn)坐標(biāo)為

7、(6，0) 設(shè)二次函數(shù)解析式為yax(x6)， 把A(8，4)代入，得a824， 解得a ， 二次函數(shù)的解析式為y x(x6)， 即y x2 x.,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t，0)， 易得直線OA的解析式為y x， 設(shè)直線AB的解析式為ykxb，,把B(6，0)，A(8，4)代入，得 解得 直線AB的解析式為y2x12. MNAB，設(shè)直線MN的解析式為y2xn， 把M(t，0)代入，得2tn0，解得n2t， 直線MN的解析式為y2x2t. 解方程組 得 點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ， ). SAMNSAOMSNOM 當(dāng)t3時(shí)，SAMN有最大值3，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0),(3)P是x軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQx

8、軸與拋物線交于點(diǎn)Q.過點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C，當(dāng)以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)O，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo),解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m， m2 m) OPQACO， 當(dāng)PQOCOA時(shí)， ，即 . PQ2PO，即| m2 m|2|m|. 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m214，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14，0) 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m22，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0) 當(dāng)PQOCAO時(shí)， ，即 . PQ PO，即| m2 m| |m|. 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m28(舍去)， 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m24， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

9、(4，0) 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14，0)或(2，0)或(4，0),32018定西如圖，已知二次函數(shù)yax22xc的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)，與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B(3，0)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn) (1)求二次函數(shù)yax22xc的解析式；,(2)連接PO，PC，并把POC沿y軸翻折，得到四邊形POPC.若四邊形POPC為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；,(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積,類型二次函數(shù)中的存在性問題,例22014德州，T24，T12分如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，并且OAOC4

10、OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上,(1)求拋物線的解析式； (2)是否存在點(diǎn)P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo),滿分技法(1)解答二次函數(shù)中存在性問題的一般思路：先對(duì)結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由肯定假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行正確的計(jì)算、推理，若推出矛盾，則否定先前假設(shè)，若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確，由此得出問題的結(jié)論；(2)對(duì)于點(diǎn)的存在性問題，首先要根據(jù)條件，運(yùn)用畫圖判斷存在的可能性

11、，作出合理的猜想然后再通過方法的選擇，在演繹的過程或結(jié)論中，作出存在與否的判斷；(3)對(duì)于單個(gè)圖形形狀的存在性判斷，先假設(shè)圖形形狀存在，然后根據(jù)圖形的特殊性來求出存在的條件(即要求的點(diǎn)的坐標(biāo))當(dāng)圖形的形狀無法確定唯一時(shí)，還要注意分類，如等腰三角形的腰與底，直角三角形中直角頂點(diǎn)的位置等,【滿分必練】,42018臨沂 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，點(diǎn)B的 坐標(biāo)為(1，0)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(diǎn) (1)求拋物線的解析式；,自主解答：在RtABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB1. OC2OB， OC2，則BC3. 又tanABC2， AC2BC6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6),(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE DE. 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；,在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由,52018岳陽已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為( ，0) (1)求拋物線F的解析式