1、一、空間曲線的切線與法平面,第六節(jié),二、曲面的切平面與法線,多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,第八章,一、空間曲線的切線與法平面,過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面.,置.,空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線為此點(diǎn)處割線的極限位,給定光滑曲線, 在,點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程,利用,點(diǎn)M (x, y, z) 處的切向量及法平面的 法向量均為,點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程,1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況,因此曲線 在點(diǎn) M 處的,則 在點(diǎn)M 的導(dǎo)向量為,法平面方程,給定光滑曲線,為0,切線方程,例4. 求曲線,在點(diǎn) M (1, 1, 1) 處的切線,方程與法平面方程.,解：,點(diǎn)(1, 1, 1

2、) 對(duì)應(yīng)于,故點(diǎn)M 處的切向量為,因此所求切線方程為,法平面方程為,即,思考: 光滑曲線,的切向量有何特點(diǎn)?,答:,切向量,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點(diǎn), 且有, 可表示為,處的切向量為,則在點(diǎn),切線方程,法平面方程,有,或,也可表為,法平面方程,(自己驗(yàn)證),例5. 求曲線,在點(diǎn),M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,切線方程,解法1 令,則,即,切向量,法平面方程,即,解法2 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:,切向量,解得,切線方程,即,法平面方程,即,點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量,三、曲面的切平面與法線,設(shè) 有光滑

3、曲面,通過其上定點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,切線方程為,不全為0 .,則 在,且,點(diǎn) M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,下面證明:,此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面., 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都,在同一平面上.,證:,在 上,得,令,由于曲線 的任意性 ,表明這些切線都在以,為法向量,的平面上 ,從而切平面存在 .,曲面 在點(diǎn) M 的法向量:,法線方程,切平面方程,過M點(diǎn)且垂直于切平面的直線,稱為曲面 在點(diǎn) M 的法線.,曲面,時(shí),則在點(diǎn),故當(dāng)函數(shù),法線方程,令,特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式,在點(diǎn),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程,法向量,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假

4、定法向量方向,分別記為,則,向上,復(fù)習(xí),（注意對(duì)向上的假設(shè)的解釋）,例6. 求球面,在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切,平面及法線方程.,解: 令,所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,即,(可見法線經(jīng)過原點(diǎn)，即球心),例7. 確定正數(shù) 使曲面,在點(diǎn),解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為,二曲面在點(diǎn) M 相切, 故,又點(diǎn) M 在球面上,于是有,相切.,與球面, 因此有,令,1. 空間曲線的切線與法平面,切線方程,法平面方程,1) 參數(shù)式情況.,空間光滑曲線,切向量,內(nèi)容小結(jié),空間光滑曲面,曲面 在點(diǎn),法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面與法線,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,思考與練習(xí),1. 如果平面,與橢球面,相切,提示: 設(shè)切點(diǎn)為,則,(二法向量平行),(切點(diǎn)在平面上),(切點(diǎn)在橢球面上),證明 曲面,上任一點(diǎn)處的,切平面都通過原點(diǎn).,提示: 在曲面上任意取一點(diǎn),則通過此,2. 設(shè) f ( u ) 可微,第七節(jié),證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .,點(diǎn)的切平面為,然后將（0，0，0）及兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)代入檢驗(yàn),備用題1. 證明曲面,與定直線平行,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,取定直線的方向向量為,則,(巧妙，取定向量),故結(jié)論成立 .,的所有切平