1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算,總綱目錄,教材研讀,1.向量的有關(guān)概念,考點(diǎn)突破,2.向量的線性運(yùn)算,3.共線向量定理,考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算,考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念,考點(diǎn)三共線向量定理的作用,1.向量的有關(guān)概念,教材研讀,2.向量的線性運(yùn)算,向量運(yùn)算的常用結(jié)論 (1)在ABC中,D是BC的中點(diǎn),則=(+); (2)O為ABC的重心的充要條件是+=0; (3)四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則+=2.,3.共線向量定理 向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a.,1.下列說法正確的是() A.就是所在的直線平行于所在的直線 B.長度相等的向量叫相等

2、向量 C.零向量長度等于0 D.共線向量是在同一條直線上的向量,C,答案C包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩 種情況,故A錯(cuò);相等向量不僅要求長度相等,還要求方向相同,故B錯(cuò);零向量長度為0,故C正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故D錯(cuò).,2.如圖,D,E,F分別是ABC各邊的中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() A.= B.與共線 C.與是相反向量 D.=|,D,答案D根據(jù)向量的有關(guān)概念可知,=,=-,= ,|=|.,3.對于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案

3、A若a+b=0,則a=-b,故ab; 反之,ab/ a+b=0.,A,4.在四邊形ABCD中,=,且|=|,那么四邊形ABCD為() A.平行四邊形B.菱形 C.長方形D.正方形,答案B=,則四邊形ABCD為平行四邊形.又|=|,則四邊 形ABCD為菱形,故選B.,B,5.在ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則= (用a,b表示).,答案-a+b,解析由=3,得=(a+b),又=a+b,所以=- =(a+b)-=-a+b.,6.已知a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+b與-(b-3a)共線,則=.,答案-,解析由題意知存在kR,使得a+b=k-(b-3a), 所以解得,典例1給出下列

4、命題: 若|a|=|b|,則a=b; 若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn),則=是四邊形ABCD為平行四 邊形的充要條件; 若a=b,b=c,則a=c; 兩向量a、b相等的充要條件是|a|=|b|且ab; 如果ab,bc,那么ac. 其中真命題的序號為.,考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念,考點(diǎn)突破, ,答案,解析不正確.兩個(gè)向量的模相等,但它們的方向不一定相同,因此由|a|=|b|推不出a=b. 正確.若=,則|=|且. 又A、B、C、D是不共線的四點(diǎn), 四邊形ABCD是平行四邊形. 反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB平行DC且與方向相同,因 此=.,規(guī)律總結(jié) 理解向量有關(guān)概念的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)向

5、量定義的關(guān)鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制. (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等. (4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制,但長度都是一個(gè)單位長度. (5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制,長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.,1-1判斷下列四個(gè)命題: 若ab,則a=b;若|a|=|b|,則a=b;若|a|=|b|,則ab;若a=b,則|a|=|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是() A.1B.2C.3D.4,A,答案A只有正確.,1-2設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使=成立的充分條件 是() A.a=-bB.ab C.a=2bD.ab且|a|=|b|,答案C因

6、為向量的方向與向量a相同,向量的方向與向量b相 同,且=,所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項(xiàng)A,B,D. 當(dāng)a=2b時(shí),=,故a=2b是=成立的充分條件.,C,考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算,典例2(1)(2018福建福州質(zhì)檢)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3, 則() A.=-+B.=- C.=+D.=- (2)在四邊形ABCD中,=,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE 的延長線與CD交于點(diǎn)F,則() A.=+B.=+ C.=+D.=+,命題方向一向量的線性運(yùn)算,解析(1)=+=+=+=+(-)=-+ .故選A. (2)在四邊形ABCD中,因?yàn)?,所以四邊形ABCD為平行四邊形,如

7、 圖所示.由已知得=,由題意知DEFBEA,則=,所以 =(-)=, 所以=+=+=+,故選B.,答案(1)A(2)B,典例3(1)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD為BC邊上的高,O為AD的中點(diǎn),若=+,其中,R,則+等于() A.1B.C.D. (2)在ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.若=x+y,則x= ,y=.,命題方向二根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù),答案(1)D(2);-,解析(1)由題意易得=+=+, 2=+,即=+. 故+=+=. (2)由=2知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn),由=知N為BC的中 點(diǎn),作出草圖如下:,則有=(+), 所以=-=(+)-=-, 又因?yàn)?x+y,

8、 所以x=,y=-.,方法技巧 平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則. (2)求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則;求首尾相連向量的和用三角形法則. (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系,通過向量的運(yùn)算將向量表示出來,進(jìn)行比較求參數(shù)的值. 提醒:注意應(yīng)用初中平面幾何的知識,如平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質(zhì)等,可以簡化運(yùn)算.,2-1在ABC中,N是AC邊上一點(diǎn)且=,P是BN上一點(diǎn),若=m +,則實(shí)數(shù)m的值是.,答案,解析因?yàn)?,所以=,所以=m+=m+, 因?yàn)镻是BN上一點(diǎn),所以B

9、,P,N三點(diǎn)共線,所以m+=1,則m=.,典例4設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線; (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用,探究若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?,解析因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線, 所以存在實(shí)數(shù),使ka+b=(a+kb)(0), 所以所以k=1. 又0,k=,所以k=-1. 故當(dāng)k=-1時(shí),兩向量反向共線.,規(guī)律總結(jié) (1)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. (2)向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0成立.,3-1已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,則() A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,D三點(diǎn)共線 C.A,C,D三點(diǎn)共線D.B,C,D三點(diǎn)共線,答案B=+=2a+6b=2(a+3b)=2,、共線,又有 公共點(diǎn)B,A,B,D三點(diǎn)共線.故選B.,B,3-2已