1、1.1.1 集合的概念導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 知識(shí)與技能：（1）初步理解集合的含義，知道常用的數(shù)集及其記法。（2）初步了解“屬于”關(guān)系的意義。（3）初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義。2. 過(guò)程與方法：（1）通過(guò)實(shí)例，初步體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，從觀察分析集合的元素入手，正確地理解集合。（2）觀察關(guān)于集合的幾組實(shí)例，并舉出各種集合的例子，初步感受集合語(yǔ)言在描述客觀現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)對(duì)象中的意義。（3）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問(wèn)題（如集合中元素的確定性、互異性和無(wú)序性）。3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）在學(xué)習(xí)運(yùn)用集合語(yǔ)言過(guò)程中，增強(qiáng)認(rèn)識(shí)事件的能力，初步培養(yǎng)實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。（2）探索利用

2、直觀圖示理解抽象概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。1.集合的概念一般地，把一些_不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)_是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合。集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中不加定義的基本概念，學(xué)習(xí)這個(gè)概念應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）集合是一個(gè)“整體”（2）構(gòu)成集合的對(duì)象必須是“確定”的且“不同”的?！按_定”是指構(gòu)成集合的對(duì)象具有非常明確的特征，這個(gè)特征不是模棱兩可的。一般地，判定一組對(duì)象a1，a2，a3，an能否構(gòu)成集合，就是要看判定的對(duì)象a1，a2，a3，an是否具有一個(gè)確定的特性，如果有，能構(gòu)成集合；如果沒(méi)有，就不能構(gòu)成集合?！安煌笔侵笜?gòu)成集合的各個(gè)對(duì)象互不相同，即相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，該對(duì)象只能出現(xiàn)一次。例

3、1：下列各組對(duì)象中，哪些能組成集合？哪些不能組成集合？（1）參加2010年全國(guó)高考的山東考生。（2）所有數(shù)學(xué)難題。（3）數(shù)組2,2，4,6。（4）參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員。（5）全國(guó)所有大湖。2. 元素的概念構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。集合通常用大寫(xiě)字母A、B、C、來(lái)表示，元素常用小寫(xiě)字母a、b、c、來(lái)表示。例2：試考察下列各集合中的元素：（1）方程x2=4的解；（2）正方形的全體。3. 元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種：元素a屬于集合A，記作aA；元素a不屬于集合A，記作。例3：用符號(hào)和 填空。（1）設(shè)集合A是正整數(shù)的集合，則0_A， ，（-1）0_A；（

4、2）設(shè)集合B是小于 的所有實(shí)數(shù)的集合，則 ，4. 集合中元素的性質(zhì)集合的元素有以下三個(gè)特性：（1）元素的確定性。 設(shè)A是一給定的集合，a是某一個(gè)具體對(duì)象，則a或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。如大于2小于10的偶數(shù)只有4,6,8，它們是確定的，可構(gòu)成集合，而“我國(guó)的小河流”，由于“小”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以不能構(gòu)成集合。（2）元素的互異性。 對(duì)于給定集合中的任意兩個(gè)元素，都是不同的對(duì)象，不能重復(fù)出現(xiàn)，例如x2-4x+4=0的根構(gòu)成的集合的元素只有一個(gè)元素2，不能出現(xiàn)兩個(gè)重復(fù)的元素2、2.（3）元素的無(wú)序性。 在給定集合中的元素之間無(wú)順序關(guān)系，即集合中的元素相互交換

5、次序所得的集合與原來(lái)的集合是同一個(gè)集合。例如集合 與集合 是同一個(gè)集合。例4：判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由。（1） 這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素。（2）方程（x-3）（x-2)2=0的解組成的集合有3個(gè)元素。5. 集合的分類依據(jù)集合所含元素的個(gè)數(shù)分為有限集、無(wú)限集。（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集。如中國(guó)古代四大發(fā)明組成的集合，其中元素有有限個(gè)，故為有限集。（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。如所有自然數(shù)組成的集合，由于元素個(gè)數(shù)無(wú)限，故稱之為無(wú)限集。 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作?！翱占笔且粋€(gè)實(shí)實(shí)在在的集合，只不過(guò)此集合中無(wú)任何元素，故稱之為空集。如“方程x

6、2+2=0的實(shí)數(shù)根”組成的集合，因?yàn)榉匠蘹2+2=0無(wú)實(shí)數(shù)根，故它是空集。例5：下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合，若能構(gòu)成集合，則指出它們是有限集、無(wú)限集，還是空集。（1）中國(guó)的所有人組成的集合；（2）廣東省2011年應(yīng)屆高中畢業(yè)生；（3）數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于1的點(diǎn)；（4）方程x2=0的解構(gòu)成的集合；（5）你們班中成績(jī)較好的同學(xué)；（6）小于1的正整數(shù)構(gòu)成的集合。6. 特定集合的表示為了書(shū)寫(xiě)方便，我們規(guī)定常見(jiàn)的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見(jiàn)的數(shù)集表示方法，請(qǐng)牢記：（1）全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N。（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合，也稱正整數(shù)集，記作N*或N+。（3

7、）全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為整數(shù)集，記作Z.（4）全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為有理數(shù)集，記作Q。（5）全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱為實(shí)數(shù)集，記作R。例6：給出下列關(guān)系： ； ； ； ； ，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 集合的判定（1）集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中不加定義的基本概念，學(xué)習(xí)這個(gè)概念應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：集合是一個(gè)“整體”構(gòu)成集合的對(duì)象必須是“確定”的且“不同”的。其中“確定”是指構(gòu)成集合的對(duì)象具有非常明確的特征，這個(gè)特征不是模棱兩可的?！安煌笔侵笜?gòu)成集合的各個(gè)對(duì)象互不相同。特別地，我們把不含有任何元素的集合稱為空集，記作，如“方程x2+5=0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解”，我們知道，

8、方程x2+5=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，故其解集為空集。（2）空集雖不含任何元素，可它卻有兩個(gè)方面的作用：空集客觀地反映了一些問(wèn)題的實(shí)際意義，如方程組的解的集合就是空集，又如不等式x20的解的集合也是空集?？占诜从臣吓c集合之間的關(guān)系上起到了“橋梁”的作用，使一些難以表達(dá)的問(wèn)題得到表達(dá)。重點(diǎn)提示：以上兩條是判定某些對(duì)象能否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn)。判定一組對(duì)象a1，a2，a3，an能否構(gòu)成集合，就是要看判定的對(duì)象a1，a2，a3，an是否具有一個(gè)確定的特性，如果有，能構(gòu)成集合；如果沒(méi)有，就不能構(gòu)成集合。例7：下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是_。（1） 所有正三角形；（2） 高一數(shù)學(xué)必修1課本上的所有難題；（3）

9、 比較接近1的正整數(shù)全體；（4） 某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生；（5） 平面直角坐標(biāo)系中到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)；（6） a，b，a，c。8. 集合元素性質(zhì)的應(yīng)用集合的確定性就是若A是一個(gè)給定的集合，x是某一具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必須有一種且只有一種成立。例如，可知，而，即集合中元素的標(biāo)準(zhǔn)是明確給定的。集合的互異性就是說(shuō)：“對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的?！比绶匠蹋▁-1）2=0的解集記為，而不能記為。例8：若，求實(shí)數(shù)a的值。9.元素分析法解決集合問(wèn)題，應(yīng)對(duì)集合的概念有深刻的理解，解題時(shí)能不能把集合轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，而集合離不開(kāi)元

10、素，所以分析元素是解決集合問(wèn)題的核心。元素分析法就是抓住元素進(jìn)行分析，即元素是什么？具備哪些性質(zhì)？是否滿足元素的三個(gè)特性（即確定性、互異性、無(wú)序性）？【例】集合A是由元素n2-n，n-1和1組成的，其中nZ，求n的取值范圍。例9：設(shè)A是實(shí)數(shù)集，且滿足條件：（1） 若2A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；（2） 集合A不可能是單元素集；（3） 集合A中至少有三個(gè)不同的元素。10.利用分類討論思想解決與集合有關(guān)的問(wèn)題分類討論思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法。在解決與集合有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往借助集合的互異性、確定性、無(wú)序性入手，求出與之相關(guān)的參數(shù)?！纠緼是由2，a，b組成的集合，B是由2，2a，b2組成的集合，當(dāng)

11、集合A與集合B是同一集合時(shí)，求a，b的值。例10：由實(shí)數(shù)所組成的集合中，最多含有元素的個(gè)數(shù)為（ ）A2 B. 3 C. 4 D. 511. 利用元素與集合間的關(guān)系定義的新概念處理策略集合中元素的求解與個(gè)數(shù)的計(jì)算是高考考查的知識(shí)點(diǎn)之一，在解題時(shí)要特別注意元素的互異性，相同的對(duì)象要看成一個(gè)元素。近幾年，在各地的高考題或模擬題中，常出現(xiàn)這樣一種新題型，題目中出現(xiàn)的一些符號(hào)或運(yùn)算法則是教材中不曾介紹過(guò)的內(nèi)容，但我們可以根據(jù)題中的所給條件，通過(guò)自學(xué)，利用大腦中儲(chǔ)備的知識(shí)解決?！纠吭O(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，P中含有0,2,5三個(gè)元素，Q中含有1,2,6三個(gè)元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中aP，bQ，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是（ ）A9 B.8 C.7 D.6例11：設(shè)