1、第 四 章,隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 字 特 征,一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,四、小結(jié),第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望,1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,關(guān)于定義的幾點說明,(3) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算 術(shù)平均值不同.,(1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加 權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn) 了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正平均值, 也稱 均值.,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不 隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要 求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值 的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序

2、而改變.,試問哪個射手技術(shù)較好?,例1 誰的技術(shù)比較好?,解,故甲射手的技術(shù)比較好.,例2 如何確定投資決策方向?,某人有10萬元現(xiàn)金, 想投資 于某項目, 欲估成功的機(jī)會為 30 %, 可得利潤8萬元 , 失敗的機(jī)會 為70%, 將損失 2 萬元.若存入銀 行, 同期間的利率為5% , 問是否 作此項投資?,解,設(shè) X 為投資利潤,則,存入銀行的利息:,故應(yīng)選擇投資.,例3,解,例4 二項分布,則有,設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項分布, 其分布律為,則兩點分布b(1,p)的數(shù)學(xué)期望為 p.,=np,例5 泊松分布,則有,例6 幾何分布,則有,2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義,定義

3、4.2,設(shè)顧客在某銀行的窗口等待的服務(wù)的時間 X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為,試求顧客等待服務(wù)的平均時間?,解,因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).,例7 顧客平均等待多長時間?,例8 均勻分布,則有,結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點.,例9 指數(shù)分布,則有,例10 正態(tài)分布,則有,實例11 設(shè)隨機(jī)變量X服從,求E(X),解: E(X)= 例12 設(shè)隨機(jī)變量 X服從柯西分布,其密度函數(shù)為 求E(X). 解: 由于積分 因此柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.,若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為,Y=f(X)為X的函數(shù),則Y的期望為,1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期

4、望,2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,若 X 是連續(xù)型的,它的分布密度為 p(x) 則,3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,解,例13 設(shè) (X ,Y) 的分布律為,1. 設(shè)C是常數(shù), 則有,證明,2. 設(shè) X 是一個隨機(jī)變量,C 是常數(shù), 則有,證明,例如,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),4. 設(shè) X、Y 是相互獨立的隨機(jī)變量, 則有,3. 設(shè) X、Y 是兩個隨機(jī)變量, 則有,證明,說明 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.,推廣,解,例14*,四、小結(jié),數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù), 而非變量,它是一種加權(quán)平均, 與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),3. 常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,4.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,根據(jù)生命表知 , 某年齡段保險者里 , 一 年中每個人死亡的概率為0.002, 現(xiàn)有10000個這類人參加人壽保險,若在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取 2000 元賠償金 . 問每人一年須交保險費多少元?,例1 你知道自己該交多少保險費嗎?,備份題,解,設(shè)1年中死亡人數(shù)為X ,被保險人所得賠償金的期望值應(yīng)為,若設(shè)每人一年須交保險