1、積 分 的 應 用,不定積分的應用,定積分的應用,第四章,微分方程,學習重點,微分方程的概念,一階微分方程的求解,微分方程：含有未知函數的導數或微分的方程。如：,等,特點： 和 可以不出現，但 的導數一定要出現。,微分方程的階：微分方程中出現的未知函數的導數的最高階數。,上面三個微分方程的階數分別是二階、一階、三階。,微分方程的解：滿足微分方程的函數。,特解：滿足微分方程且不含任意常數的函數。,通解：滿足 階微分方程且含 個獨立任意常數的函數。,微分方程的概念,課堂練習P175 1及2題,例：對微分方程：,即：,是它的解，且是通解。,若給定條件：,則可得特解：,也是一特解，但不含于通解中，特別

2、地稱為奇解。,稱為初始條件。,微分方程的概念,又如：對于微分方程,容易驗證,都是微分方程的解。,通解或特解？,特解,特解,通解,既非特解也非通解,既非特解也非通解,即,例1. 驗證下列所給函數是所給微分方程的解：,解,解,因為,所以,一. 可分離變量的微分方程,求解方法：兩邊同時積分,一階微分方程,求解方法：兩邊積分,一. 可分離變量的微分方程,一階微分方程,兩邊積分，得,因此，形如 的微分方程的求解方法是：,兩邊直接積分，得解為,解 原方程可變形為（分離變量）,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,兩邊積分，得,所以，原方程的通解為,（隱函數形式）,解 原方程可變形為,例2. 求下列微分方程

3、的通解或特解：,即,兩邊積分，得,所以，原方程的通解為,解 原方程可變形為,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,兩邊積分得,即,得,所以，原方程的通解為,解,將初始條件代入，得特解：,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,原方程可變形為,兩邊積分,（課堂練習）,且線段 PQ 被 Y 軸平分，曲線過點 求該曲線方程。,解：由題設及導數的幾何意義，得微分方程：,由曲線過點,（這是一個多值函數）,曲線方程為,可將其改寫成,對一階線性齊次微分方程,這是一個可分離變量的微分方程。,這是（2）的通解。,二. 一階線性微分方程,一階微分方程,（2）的通解是：,猜想（1）的解是：,則,即,這種方法稱作 常數

4、變易法。,故（1）的通解是：,（2）的通解是：,（1）的通解是：,非齊次線性微分方程的通解 = 非齊次的特解 + 對應齊次的通解 線性微分方程解的結構，稱為疊加原理。,解 這是一個一階線性微分方程，方程的通解為,例4 求解下列微分方程,通解公式,（1）,解 原方程的通解為,例4 （2）,湊微分,解：將原方程化為,例4,則方程的通解為,（課堂練習）,解：將原方程化為,例4.,變通公式,原方程的通解為,解：原方程可化為,例4 （5）,公式的變通：如果微分方程為,則方程的通解為,則方程的通解為,（課堂練習）,型,可降解的高階微分方程,求解方法：連續(xù)積分n次。,例5 （1）求解微分方程,解 由原方程積分得：,再積分得,再積分得,再積