1、高等數(shù)學(xué)1,期末復(fù)習(xí),一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動(dòng),1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點(diǎn)積) .,故,2. 性質(zhì),為兩個(gè)非零向量,則有,3. 運(yùn)算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實(shí)上, 當(dāng),時(shí), 顯然成立 ;,例1. 證明三角形余弦定理,證:,則,如圖 . 設(shè),4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時(shí),由于,兩向量的夾角公式, 得,例2. 已知三點(diǎn), AMB .,解:,則,求,故,二、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法,引例:,研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).,x0 處,關(guān)于 t 的,將振幅

2、,定義1.,在點(diǎn),存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),注意:,同樣可定義對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,記為,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,例1 . 求,解法1:,解法2:,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo),數(shù):,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f

3、 (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,偏導(dǎo)數(shù)為,例5. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,則,定理.,例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明:,本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有,而初等,備用題,設(shè),方程,確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,連續(xù), 且,求,解:,設(shè)

4、曲面方程為,曲線在M處的切向量,在曲面上任取一條通過點(diǎn)M的曲線,三、曲面的切平面與法線,令,則,切平面方程為,法線方程為,曲面在M處的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.,特殊地：空間曲面方程形為,曲面在M處的切平面方程為,曲面在M處的法線方程為,令,切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量,因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為,其中,解,切平面方程為,法線方程為,解,令,切平面方程,法線方程,解,設(shè) 為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為,依題意，切平面方程平行于已知平面，得,因?yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，,所求切點(diǎn)為,滿足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),思考題,思考題解答,設(shè)切點(diǎn),依題意知切向量為,切點(diǎn)滿

5、足曲面和平面方程,例4. 確定正數(shù) 使曲面,在點(diǎn),解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為,二曲面在點(diǎn) M 相切, 故,又點(diǎn) M 在球面上,于是有,相切.,與球面, 因此有,思考與練習(xí),1. 如果平面,與橢球面,相切,提示: 設(shè)切點(diǎn)為,則,(二法向量平行),(切點(diǎn)在平面上),(切點(diǎn)在橢球面上),證明 曲面,上任一點(diǎn)處的,切平面都通過原點(diǎn).,提示: 在曲面上任意取一點(diǎn),則通過此,2. 設(shè) f ( u ) 可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .,點(diǎn)的切平面為,1. 證明曲面,與定直線平行,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,取定直線的方向向量為,則,(定向量),故結(jié)論成立 .,的所有切平面恒,備用題,四、三重積分

6、的計(jì)算（4,5,10）,1. 利用直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,例1. 計(jì)算三重積分,解:,用“先二后一 ”,例2. 計(jì)算三重積分,解: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,2. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范

7、圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,例3. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,例4.求曲面,所圍立體體積.,解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為,yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為,且關(guān)于 xoz,例5. 設(shè),計(jì)算,提示: 利用對(duì)稱性,原式 =,奇函數(shù),例6. 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計(jì)算,提示:,利用對(duì)稱性,用球坐標(biāo),例7. 計(jì)算,其中,解:,利用對(duì)稱性,六、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法,基本思路:,計(jì)算定積分,定理:,且,上的連續(xù)函數(shù),是定

8、義在光滑曲線弧,則曲線積分,求曲線積分,如果曲線 L 的方程為,則有,如果方程為極坐標(biāo)形式:,則,推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為,則,例1. 計(jì)算,其中 L 是拋物線,與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 .,解:,上點(diǎn) O (0,0),例2. 計(jì)算曲線積分,其中為螺旋,的一段弧.,解:,線,例3. 計(jì)算,其中為球面,被平面 所截的圓周.,解: 由對(duì)稱性可知,思考: 例3中 改為,計(jì)算,解: 令, 則,圓的形心在原點(diǎn), 故, 如何,思考與練習(xí),1. 已知橢圓,周長(zhǎng)為a , 求,提示:,原式 =,利用對(duì)稱性,分析:,七、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方

9、程為,則曲線積分,連續(xù),存在, 且有,特別是, 如果 L 的方程為,則,對(duì)空間光滑曲線弧 :,類似有,例1. 計(jì)算,其中L 為沿拋物線,解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點(diǎn),的一段.,例2. 計(jì)算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的,上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;,(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,例3. 設(shè)在力場(chǎng),作用下, 質(zhì)點(diǎn)由,沿移動(dòng)到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.,其中為,區(qū)域 D 分類,單連通區(qū)域 ( 無(wú)

10、“洞”區(qū)域 ),多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 ),域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左,定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有,( 格林公式 ),函數(shù),在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或,一、 格林公式,例1.,設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,例2. 計(jì)算,其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過原點(diǎn),的分段光滑正向閉曲線.,解: 令,設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知,在D 內(nèi)作圓周,取逆時(shí),針方向, 對(duì)區(qū)域,應(yīng)用格,記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)?林公式 , 得,思考與練習(xí),1. 設(shè),且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?,提示:,備用題 . 設(shè)

11、C 為沿,從點(diǎn),依逆時(shí)針,的半圓, 計(jì)算,解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .,原式 =,到點(diǎn),平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià):,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,說明:,根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),則,2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動(dòng)點(diǎn),或,

12、則原函數(shù)為,若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;,取定點(diǎn),1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;,例4. 計(jì)算,其中L 為上半,從 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,它與L 所圍,原式,圓周,區(qū)域?yàn)镈 , 則,例5. 驗(yàn)證,是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求,出這個(gè)函數(shù).,證: 設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,。,。,解,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,九、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,說明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參

13、數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的,二重積分.,例1. 計(jì)算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,例2. 計(jì)算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,例3. 計(jì)算,其中 是球面,利用對(duì)稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,例4. 計(jì)算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計(jì)算較繁.,例5. 求橢圓柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S .,解:,取,練習(xí)題. 設(shè),一卦限中的部分, 則有(

14、).,十一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法,定理: 設(shè)光滑曲面,取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則,則有, 若,則有,如果積分曲面 取下側(cè), 則, 若,例1. 計(jì)算,其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為 a 的正立方,體的整個(gè)表面的外側(cè).,解:,利用對(duì)稱性.,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),解: 把 分為上下兩部分,思考: 下述解法是否正確:,例2. 計(jì)算曲面積分,其中 為球面,外側(cè)在第一和第八卦限部分.,例3. 設(shè)S 是球面,的外側(cè) , 計(jì)算,解: 利用輪換對(duì)稱性, 有,例. 設(shè),是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計(jì)算,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 計(jì)算曲面積分,其中,解:

15、 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè).,原式 =,是平面,在第四卦限部分的上側(cè) , 計(jì)算,提示:,求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分,練習(xí)題. 設(shè),高斯 ( Gauss ) 公式,定理. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲, 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) P, Q, R 在,面 所圍成, 的方向取外側(cè),則有,(Gauss 公式),例. 用Gauss 公式計(jì)算,其中 為柱面,閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).,解: 這里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐標(biāo)),及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間,思考: 若

16、改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化?,若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算?,例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分,其中 為錐面,解: 作輔助面,取上側(cè),介于 z = 0 及,z = h 之間部分的下側(cè).,所圍區(qū)域?yàn)?則,利用重心公式, 注意,例3.,設(shè) 為曲面,取上側(cè), 求,解:,作取下側(cè)的輔助面,用柱坐標(biāo),用極坐標(biāo),思考與練習(xí),所圍立體,判斷下列演算是否正確?,(1), 為,(2),練習(xí)題 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體, 是 外法線向量與點(diǎn) ( x , y , z ) 的向徑,試證,證: 設(shè) 的單位外法向量為,則,的夾角,積為V,十二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列

17、,下面著重討論,例如, 冪級(jí)數(shù),為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) .,即是此種情形.,的情形, 即,稱,收斂,發(fā)散,定理 1. ( Abel定理 ),若冪級(jí)數(shù),則對(duì)滿足不等式,的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.,反之, 若當(dāng),的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 .,時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)滿足不等式,證: 設(shè),收斂,則必有,于是存在,常數(shù) M 0, 使,當(dāng) 時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,也收斂,反之, 若當(dāng),時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.,假設(shè)有一點(diǎn),滿足不等式,所以若當(dāng),滿足,且使級(jí)數(shù)收斂 ,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn),故假設(shè)不真.,的 x , 原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 .,時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)一切,則由前,也應(yīng)收斂,與所

18、設(shè)矛盾,證畢,冪級(jí)數(shù)在 (, +) 收斂 ;,由Abel 定理可以看出,中心的區(qū)間.,用R 表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為,則,R = 0 時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;,R = 時(shí),冪級(jí)數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;,(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.,R 稱為收斂半徑 ，,在R , R ,可能收斂也可能發(fā)散 .,外發(fā)散;,在,(R , R ) 稱為收斂區(qū)間.,定理2. 若,的系數(shù)滿足,1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),則,對(duì)端點(diǎn) x =1,的收斂半徑及收斂域.,解:,對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂;,級(jí)數(shù)為,發(fā)散 .,故收斂域

19、為,例1.求冪級(jí)數(shù),例2. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 :,解: (1),所以收斂域?yàn)?(2),所以級(jí)數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .,規(guī)定: 0 ! = 1,例3.,的收斂半徑 .,解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.,時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂半徑為,故直接由,例4.,的收斂域.,解: 令,級(jí)數(shù)變?yōu)?當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,此級(jí)數(shù)發(fā)散;,當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,此級(jí)數(shù)條件收斂;,因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?即,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,定理3. 設(shè)冪級(jí)數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有 :,其中,以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .,說明:,兩個(gè)冪級(jí)數(shù)

20、相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比,原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.,例如, 設(shè),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,定理4 若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與,逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:,注: 逐項(xiàng)積分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.,解: 由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑 R+.,例5.,則,故有,故得,的和函數(shù) .,因此得,設(shè),例6.,的和函數(shù),解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 ,x1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),散,例7. 求級(jí)數(shù),的和函數(shù),解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 ,及,收斂 ,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:,而,及,例8.,解: 設(shè),則,而,故,思考

21、與練習(xí),1. 已知,處條件收斂 , 問該級(jí)數(shù)收斂,半徑是多少 ?,答:,根據(jù)Abel 定理可知, 級(jí)數(shù)在,收斂 ,時(shí)發(fā)散 .,故收斂半徑為,備用題1 求極限,其中,解: 令,作冪級(jí)數(shù),設(shè)其和為,易知其收斂半徑為 1,則,2. 求冪級(jí)數(shù),法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,練習(xí):,解: (1),顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,級(jí)數(shù)發(fā)散,(4),顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂 .,即得,練習(xí):,解: 原式=,的和 .,求級(jí)數(shù),十四、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),1. 直接

22、展開法,由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為,驟如下 :,展開方法,直接展開法, 利用泰勒公式,間接展開法, 利用已知其級(jí)數(shù)展開式,0，或者直接求出和函數(shù)看是否等于原函數(shù),的函數(shù)展開,例1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,故,( 在0與x 之間),故得級(jí)數(shù),例2. 將,展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,得級(jí)數(shù):,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,類似可推出:,例3. 將函數(shù),展開成 x 的冪

23、級(jí)數(shù), 其中m,為任意常數(shù) .,解: 易求出,于是得 級(jí)數(shù),由于,級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂.,因此對(duì)任意常數(shù) m,推導(dǎo),則,為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為,稱為二項(xiàng)展開式 .,說明：,(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .,(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.,由此得,對(duì)應(yīng),的二項(xiàng)展開式分別為,2. 間接展開法,利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解: 因?yàn)?把 x 換成, 得,將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù).,例5. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,從 0 到 x

24、 積分, 得,定義且連續(xù),區(qū)間為,利用此題可得,上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂,例6. 將,展成,解:,的冪級(jí)數(shù).,例7. 將,展成 x1 的冪級(jí)數(shù).,解:,思考與練習(xí),1. 函數(shù),處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí),數(shù)” 有何不同 ?,提示: 后者必需證明,前者無(wú)此要求.,2. 如何求,的冪級(jí)數(shù) ?,提示:,備用題 1.,將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù),解:,x1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此,2. 將,在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).,解:,因此,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,2. 設(shè), 將 f (x)展開成,x 的冪級(jí)數(shù) ,的和.,解:,于是,并求級(jí)數(shù),十五、傅里葉級(jí)數(shù),1傅里葉級(jí)數(shù)的類型：,為