1、第三章 立體的投影,本章重點(diǎn)介紹立體的投影特性、平面與立體的截交線以及立體相貫線，進(jìn)行立體投影訓(xùn)練。 通過學(xué)習(xí)，應(yīng)該達(dá)到以下要求： 1、掌握基本幾何形體的投影特性、作圖方法，并能綜合運(yùn)用； 2、掌握平面與基本幾何形體相交的截交線的特點(diǎn)，能夠作出特殊平面與基本立體的截交線； 3、了解立體相貫的概念、相貫線的作圖方法。,學(xué)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)要求,內(nèi)容 3.1 立體的投影 3.2 平面和立體相交 3.3 兩立體相貫 復(fù)習(xí)思考題見P47,3.1 立體的投影 每個(gè)建筑形體都是由一些簡單的幾何體構(gòu)成的。 常見的立體有棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等，其中棱柱、棱錐等是由平面組成的立體，稱為平面立體；而圓柱、圓錐、球

2、等則是由曲面或曲面與平面組成的立體，稱為曲面立體。,（一）棱柱 棱柱的棱線互相平行。常見的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。 以圖3-1（a）所示正五棱柱為例，分析其投影特性和作圖方法。,1、投影分析 圖示正五棱柱的頂面和底面平行于水平面，后棱面平行于正面，其余棱面均垂直于水平面。,在這種位置下，五棱柱的投影特征是：頂面和底面的水平投影重合，并反映實(shí)形正五邊形。五個(gè)棱面的水平投影分別積聚為五邊形的五條邊。正面和側(cè)面投影上大小不同的矩形分別是各棱面的投影，不可見的棱線畫虛線。,2、作圖步驟 （1）先畫出反映主要形狀特征的投影，即水平投影的正五邊形，再畫出正面、側(cè)面投影中的底面基線和對稱中心

3、線，如圖3-1（b）。,（2）按長對正的投影關(guān)系及五棱柱的高度畫出正面投影，按高平齊、寬相等的投影關(guān)系畫出側(cè)面投影，如圖3-1（c）。,3、棱柱表面上點(diǎn)的投影 如圖3-1（d）所示，已知五棱柱棱面ABCD上點(diǎn)M的正面投影m，求作另外兩投影m、m。,由于點(diǎn)M所在棱面ABCD是鉛垂面，其水平投影積聚成直線abcd，因此點(diǎn)M的水平投影必在abcd上，即可由m直接作出m，然后由m和m作出m。由于棱面ABCD的側(cè)面投影為可見，所以m為可見。,（二）棱錐 棱錐的棱線交于一點(diǎn)。 常見的棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。 以圖3-2所示四棱錐為例，分析其投影特性和作圖方法。,1、投影分析 圖3-2所示四棱錐的底

4、面平行于水平面，水平投影反映實(shí)形。左、右兩棱面垂直于正面，它們的正面投影積聚成直線。前、后兩棱面垂直于側(cè)面，它們的側(cè)面投影積聚成直線。與錐頂相交的四條棱線既不平行、也不垂直與任何一個(gè)投影面，所以它們在三個(gè)投影面上的投影都不反映實(shí)長。,圖3-2（a）,2、作圖步驟 （1）先作出底面的水平投影（矩形）以及正面、側(cè)面投影中的對稱中心線和底面基線，如圖3-2（b）。,圖3-2（b）,（2）按四棱錐的高度在正面投影上定出錐頂?shù)耐队拔恢胹，在正面和水平投影上分別過錐頂與底面各點(diǎn)的投影連線，即得四條棱線的投影（sa與sd重合、sb與 sc重合）。由于是正四棱錐，四條棱線的水平投影為矩形的對角線。再由水平、正

5、面投影畫出側(cè)面投影，如圖3-2（c）。,圖3-2（c）,3、棱錐表面上點(diǎn)的投影 如圖3-2（c）所示，已知四棱錐棱面SAB上點(diǎn)M的正面投影m，求作另外兩投影m、m。 在棱面SAB上過M點(diǎn)作輔助線SE，作出SE的正面投影se和水平投影se，由于M點(diǎn)在直線SE上，則M點(diǎn)必在SE的同面投影上，由m作出m。因?yàn)镾AB是側(cè)垂面，所以也可以利用積聚性由m直接作出m，再利用寬相等的投影關(guān)系作出m。,圓柱體由圓柱面與上、下兩端面圍成。圓柱面可看作由一條母線繞平行于它的軸線回轉(zhuǎn)而成，圓柱面上任意一條平行于軸線的直母線稱為圓柱面的素線。,（三） 圓柱,1、投影分析,如圖所示，當(dāng)圓柱軸線垂直于水平面時(shí)，圓柱上、下端

6、面的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩端面的水平投影重合。,在正面投影中，前、后兩半圓柱面的投影重合為一矩形，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最左、最右素線的投影，也是圓柱面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。 在側(cè)面投影中，左、右兩半圓柱面的投影重合為一矩形，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最前、最后素線的投影，也是圓柱面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。,（a） （b） （c） 圖3-3 圓柱的投影分析與作圖,2、作圖步驟 畫圓柱體的三面投影圖時(shí)，先畫出圓柱體各投影的中心線，再畫出形狀為圓的水平投影，然后根據(jù)圓柱體的高度以及投影關(guān)系畫出形狀為矩形的正面和側(cè)面投影，如圖3-3（b）

7、。,3、圓柱表面上點(diǎn)的投影 如圖3-3（c）所示，已知圓柱面上點(diǎn)M的正面投影m，求作m和m。 根據(jù)圓柱面水平投影的積聚性作出m，由于m是可見的，則點(diǎn)M必在前半圓柱面上，m必在水平投影圓的前半圓周上。再由m、m作出m，由于點(diǎn)M在右半圓柱面上，所以（m）為不可見。,（四）圓錐 圓錐體由圓錐面和底面圍成。圓錐面可看作由一條直母線繞與它斜交的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓錐面上任意一條與軸線斜交的直母線，稱為圓錐面上的素線。,1、投影分析 如圖3-4所示，當(dāng)圓錐軸線垂直于水平面時(shí)，錐底面平行于水平面，水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓錐面的三面投影都沒有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合，全部可見。

8、,正面投影由前、后兩個(gè)半圓錐面的投影重合為一等腰三角形，三角形的兩腰分別是圓錐最左、最右素線的投影，也是圓錐面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。 圓錐的側(cè)面投影由左、右兩半圓錐面的投影重合為一等腰三角形，三角形的兩腰分別是圓錐最前、最后素線的投影，也是圓錐面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。,（a） （b） （c） 圖3-4 圓錐的投影分析與作圖,2、作圖步驟 先畫圓錐體各投影的中心線，再畫出形狀為圓的水平投影，按圓錐高度以及投影關(guān)系畫出形狀為三角形的正面和側(cè)面投影，如圖3-4（b）。,3、圓錐表面上點(diǎn)的投影 由于圓錐面的投影沒有積聚性，所以求作圓錐表面上點(diǎn)的投影時(shí)，必須包含該點(diǎn)作輔助素線或輔助緯圓的方法作圖。

9、圖3-4（c）所示為用輔助素線法求錐面上點(diǎn)的投影。過錐頂包含點(diǎn)M作輔助素線SA （sa、sa、sa），再由已知的m作出m和m。,圖3-5（a）所示為用輔助緯圓法求錐面上點(diǎn)的投影。在錐面上過點(diǎn)M作一水平緯圓（垂直于圓錐軸線的圓），點(diǎn)M的各投影必在該圓的同面投影上。 如圖3-5（b）所示，過m作圓錐軸線的垂直線，交圓錐左、右輪廓線于a、b， ab即為輔助緯圓的正面投影。以s為圓心，ab為直徑，作緯圓的水平投影。由m求得m，由于m是可見的，所以m在前半錐面上。如圖3-5（c）所示，再由m、m求得m，由于M點(diǎn)在右半圓錐面上，所以（m）為不可見。,（a） （b） （c） 圖3-5 用輔助緯圓法求圓錐表面

10、上點(diǎn)的投影,（五）圓球 圓球的表面可看作由一條圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)而成。,1、投影分析 從圖3-6可看出，圓球的三個(gè)投影都是等徑圓，并且是圓球表面平行于相應(yīng)投影面的三個(gè)不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球可見與不可見的分界線；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面可見與不可見的分界線；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右兩半球面可見與不可見的分界線。,（a） （b） （c） 圖3-6 圓球的投影分析與作圖,2、作圖方法 先確定球心的三個(gè)投影，過球心分別畫出圓球軸線的三面投影，再畫出三個(gè)與圓球直徑相等的圓，如圖3-6（b）。,3、圓球表面上點(diǎn)的投影 圖3-6（b）所示為已知圓球表面上點(diǎn)N的正面投影n

11、，求n和n。 n在圓球的正面投影圓周上，而該圓周是前、后半球的分界線，它的水平投影與圓球水平投影中平行于X軸的中心線重合（不畫X軸投影），所以n必在該中心線上。同樣道理，n必在圓球側(cè)面投影中平行于Z軸的中心線上。,圖3-6（c）所示為已知圓球表面上點(diǎn)M的正面投影（m）；求m和m。 由于球面的三個(gè)投影都沒有積聚性，必須用輔助緯圓法求解。過（m）作水平緯圓的正面投影（積聚成水平線）ab，再作出其水平投影（以O(shè)為圓心，ab為直徑畫圓）。在該圓的水平投影上求得（m），由于（m）是不可見的，則（m）必在下半、后半球面上。然后由（m）、（m）求出m，由于點(diǎn)M在左半球面上，所以m為可見。,3.2 平面和立體

12、相交 1、棱錐的截交線 2、棱柱的截交線 3、圓柱的截交線 4、圓錐的截交線 5、球的截交線,如圖3-7所示：平面與平面立體相交，可看作平面立體被平面所截，該平面稱為截平面；截平面與立體表面的交線稱為截交線；截交線所圍成的平面圖形稱為斷面；截交線的頂點(diǎn)稱為截交點(diǎn)。,在求作棱柱或棱錐的截交線時(shí)，常常先作出截交點(diǎn)，即棱線或底邊與截平面的交點(diǎn)，然后連成截交線。 平面體的截交線是封閉的平面折線，即平面多邊形。 1、棱錐的截交線 2、棱柱的截交線,1、棱錐的截交線 例：平面切割四棱錐,分析：圖3-8（a）,分析：圖3-8（a） 由于截平面P是正垂面，所以截交線的正面投影積聚成直線，水平投影和側(cè)面投影都是

13、四邊形（類似形），只要求得四棱錐的四條棱線與P面的交點(diǎn)，依次連接即可完成作圖。如圖3-8（b）。,（a） （b） 圖3-8 平面與四棱錐相交,2、棱柱的截交線 例：平面切割四棱柱 分析：圖3-9（a） 截平面P與四棱柱的四個(gè)棱面及上底面相交，截交線是五邊形，如圖3-9所示。,（a） （b） 圖3-9 平面與四棱柱相交,五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)分別是P面與四棱柱三條棱線以及底面兩條邊線的交點(diǎn)。由于P為正垂面，所以截交線的正面投影與P重合。四棱柱的各棱柱為鉛垂面，截交線的水平投影與四棱柱的各棱柱的水平投影重合。截交線與棱柱上底面的交線為正垂線，其正面投影積聚為一點(diǎn)，水平投影反映實(shí)長。,3、圓柱的截交線 平

14、面與曲面立體的截交線，也是截平面與圍成這個(gè)曲面立體的表面的交線。 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)（截交點(diǎn)）是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，截交線所圍成的平面圖形就是斷面。因此，求截交線的投影需要先求出這些共有點(diǎn)的投影，然后再連成截交線的投影。,步驟： 1、通常應(yīng)求出截交線上諸特殊點(diǎn)的投影，包括對稱的截交線在其對稱軸上的頂點(diǎn)，回轉(zhuǎn)面的投影面外形線上的點(diǎn)，截交線上的極限位置點(diǎn)（最左、最右、最前、最后、最高、最低的點(diǎn)）等。 2、在連點(diǎn)較稀疏處或曲率變化較大處，按需要再作截交線上的一些一般點(diǎn)。 3、連成截交線的投影。,當(dāng)平面與圓柱相交時(shí)，由于截平面與圓柱軸線的相對位置不同，將得到不同形

15、狀的截交線。 表3-1所示： 當(dāng)截平面垂直于圓柱的軸線時(shí)，圓柱面上的截交線和圓柱的斷面都是圓； 截平面與圓柱的軸線傾斜時(shí)，圓柱面上的截交線和圓柱的斷面都是橢圓； 截平面與圓柱的軸線平行時(shí)，圓柱面上的截交線為兩條直線，即圓柱上的兩條直線素線，而圓柱的斷面則為矩形。,表3-1 圓柱面上的截交線與圓柱的斷面,垂直于圓柱的軸線,投影圖,截交線：圓 斷面： 圓,傾斜于圓柱的軸線,截交線：橢圓 斷面：橢圓,投影圖,平行于圓柱的軸線,截交線：兩條直線 斷面：矩形,投影圖,圖3-10所示為圓柱被正垂面P斜切，截交線為橢圓的作圖過程。 分析 由于截平面P是正垂面，所以橢圓的正面投影積聚在P上，水平投影與圓柱面的

16、水平投影重合為圓，側(cè)面投影為橢圓。 作圖 見圖3-10,（a） 圖3-10 作平面切割圓柱的截交線和截面的實(shí)形,（b） 圖3-10 作平面切割圓柱的截交線和截面的實(shí)形,（c） 圖3-10 作平面切割圓柱的截交線和截面的實(shí)形,4、圓錐的截交線 當(dāng)平面與圓錐相交時(shí)，由于截平面與圓錐的相對位置不同，截交線的形狀也不同。 如表3-2所示。,表3-2 圓錐面上的截交線與圓錐的斷面,垂直于圓錐的軸線,投影圖,截交線：圓 斷面： 圓,傾斜于圓錐的軸線，與素線都相交,截交線：橢圓 斷面：橢圓,投影圖,平行于一條素線,截交線：拋物線 斷面：拋物線和直線組 成的封閉的平面圖形,投影圖,平行于兩條素線,截交線：雙曲

17、線 斷面：雙曲線和直線組 成的封閉的平面圖形,投影圖,通過錐頂,截交線：兩條直線 斷面：三角形,投影圖,如圖3-11所示為圓錐被正平面切割后形成截交線的作圖過程。 分析 由于截平面為正平面，所以截交線的水平投影積聚為直線?？捎山亟痪€的水平投影用輔助緯圓法或輔助素線法求作正面投影，如圖3-11所示。 作圖 見圖3-11,圖3-11 正平面切割圓錐,5、球的截交線 平面截割球時(shí)，截交線總是圓。 當(dāng)截平面平行于投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影反映真形； 當(dāng)截平面垂直于投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影積聚成一條長度等于截交線圓的直徑的直線；,當(dāng)截平面傾斜于投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影為

18、橢圓，這時(shí)，在作截交線圓的特殊點(diǎn)中，應(yīng)作出投影橢圓的長短軸頂點(diǎn)。,例3-1 已知網(wǎng)球館球殼屋面的跨度和球半徑R，如圖3-12（a），作球殼屋面的投影。,（a） （b） 圖3-12 球殼屋面上的截交線,分析 球殼屋面是半徑為R的半球，被兩對對稱的、相距為的正平面和側(cè)平面切割，如圖3-12（a）。球面被正平面切割后截交線的正面投影反映圓弧的實(shí)形，側(cè)面投影成為兩條鉛垂線。球面被側(cè)平面切割后截交線的側(cè)面投影反映圓弧的實(shí)形，正面投影成為兩條鉛垂線。 作圖 圖3-12,3.3 兩立體相貫 兩立體相交，稱為兩立體相貫。這樣的立體稱為相貫體，它們的表面交線稱為相貫線。 相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)

19、都是兩立體表面的共有點(diǎn)。相貫體實(shí)際上是一個(gè)整體。,1、兩平面立體相貫,兩平面立體的相貫線，在一般情況下是封閉的空間折線，每段折線是兩個(gè)平面立體上有關(guān)表面的交線，折點(diǎn)是一個(gè)立體上的輪廓線與另一立體的交點(diǎn)（直線與立體表面的交點(diǎn)，稱為貫穿點(diǎn)）。,求作兩平面立體的相貫線常采用兩種方法： 1、分別求出立體的各輪廓線與另一立體的貫穿點(diǎn)，然后把即位于一個(gè)立體的同一表面上、又位于另一立體同一表面上的兩點(diǎn)，依次連成相貫線； 2、求出兩立體有關(guān)表面的交線。當(dāng)立體表面的投影有積聚性時(shí)，就可直接利用積聚性作圖。,例3-2 求作高低房屋相交的 表面交線，如圖3-13所示。,圖3-13 高低房屋的表面交線,分析 高低房屋相交，可看成兩個(gè)五棱柱相貫，由于兩個(gè)五棱柱的底面（相當(dāng)于地面）在同一平面上，所以相貫線是不封閉的空間折線。 兩個(gè)五棱柱中的一個(gè)五棱柱的棱面都垂直于側(cè)面，另一五棱柱的棱面都垂直于正面，所以交線的正面、側(cè)面投影為已知，根據(jù)正面、側(cè)面投影求作交線的水平投影。作圖結(jié)果如圖3-13所示。,2、平面立體和回轉(zhuǎn)