1、.,1,復(fù)數(shù)的基本概念和運算 1、復(fù)數(shù),z=x+iy或 z=x+yi,注意： (1) 2個復(fù)數(shù)不能比較大小; (2) 當(dāng)且僅當(dāng)實部、虛部分別相等時復(fù)數(shù)才相等。,.,2,2、復(fù)數(shù)的表示 直角坐標(biāo)：z=x+iy 復(fù)平面與直角坐標(biāo)平面上的點一一對應(yīng) 向量表示 模 幅角 三角表示： 指數(shù)表示：,z=0時輻角不確定,.,3,輻角主值公式：,.,4,3、 復(fù)數(shù)運算 加法、減法： 乘法: 除法:,運算法則: z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,.,5,乘積： z1=r1(cosq1

2、+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2) 于是: |z1z2|=|z1|z2|Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,模相乘；輻角相加。,商： 模相除；輻角相減,冪： 根：,注意根的多值性！,.,6,區(qū)域：平面點集D稱為區(qū)域, 必須滿足下列兩個條件： 1）D是一個開集。 2）D是連通的。,不連通,單連通域：區(qū)域B中任做一條簡單閉曲線，曲線內(nèi) 部總屬于B，稱B為單連通區(qū)域。 多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。,單連通域,多連通域,區(qū)域的概念,.,7,復(fù)變函數(shù) w=f(z), z=x+iy, w=u(x,

3、y)+iv(x,y),單值函數(shù)：z 的一個值對應(yīng)一個w值。 多值函數(shù)：z的一個值對應(yīng)兩個或以上w值。,反函數(shù)：z=g(w),復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定,.,8,1、極限,定理一：設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0,條,定理二：,.,9,2、連續(xù)性,復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：,項,.,10,3、導(dǎo)數(shù),定義在區(qū)域D內(nèi)，,稱 可導(dǎo),.,11,z0點：,區(qū)域D：,4、解析,使分母為零的點是它的奇點。,.,12,重要定理： 函數(shù)解析的條件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程,.,13,.,14,初 等 函 數(shù),.,15,多值！,性

4、質(zhì):,.,16,乘冪,.,17,冪函數(shù),冪函數(shù)的解析性,各分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:,各分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:,.,18,4. 三角函數(shù),.,19,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,習(xí)題3-8(1),.,20,習(xí)題3-7(8)、3-9(1),.,21,三、積分的性質(zhì),復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).,估值不等式,.,22,1、調(diào)和函數(shù)的定義,四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,2、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù), 它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即有：,.,23,3、 共軛調(diào)和函數(shù),區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).,4

5、、 偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡單了解即可）,如果已知一個調(diào)和函數(shù)u, 利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v, 從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi的方法稱為偏積分法.,.,24,一、 復(fù)數(shù)項級數(shù)的一些基本概念 1、復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件: 同時收斂. 2、復(fù)級數(shù): 收斂的充要條件: 同時收斂. 3、復(fù)級數(shù)絕對收斂: 絕對收斂的充要條件: 同時絕對收斂.,第四章 級 數(shù),.,25,收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對收斂,圓外發(fā)散,圓上不定.,1、收斂定理： (阿貝爾Abel定理),如果級數(shù) 在 收斂,那么對滿足 的z, 級數(shù)必絕對收斂,如果在 級數(shù)發(fā)散, 那么對滿足 的z, 級數(shù)必發(fā)散。,二 、冪級數(shù)：

6、,冪級數(shù)的收斂半徑的情況有三種:,(1) 對所有的正實數(shù)都收斂.,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂:,(2) 對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散:,例如,級數(shù),(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).,級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對收斂,.,26,2、收斂半徑求法:,如果:,3、性質(zhì):和函數(shù) 在收斂圓內(nèi): 解析,可逐項求導(dǎo),可逐項積分.,習(xí)題4-6,.,27,4、冪級數(shù)的運算和性質(zhì),(1)冪級數(shù)的有理運算,(2) 冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算,說明: 此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).,習(xí)題4-11,.,28,答案:,在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析.,答案：,問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?,有關(guān)冪級數(shù)的兩個關(guān)鍵問題：,.,29,三 、泰勒級數(shù): 定理:在以 為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f(z) ， 可以在該圓域內(nèi)展開成 的冪級數(shù)。 泰勒級數(shù)展開式求法:直接法,間接法.,.,30,常見函數(shù)的泰勒展開式,.,31,四、洛朗級數(shù)：,洛朗級數(shù)展開式求法 : 1. 直接法 2. 間接法,在計算閉路積分中的應(yīng)用：,令n=-1, 得,或,習(xí)題4-16(2),.,32,第五章 留數(shù),.,33,零點與極點 ：,零點定義：f(z)=