1、第九章 曲線積分與曲面積分 第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,一、有向曲面,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的曲面的方向可以用曲面上的單位法向量n cosa , cosb , cosg的方向來(lái)確定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)，,在曲面的上側(cè)cosg 0，,在曲面的下側(cè)cosg 0,g (,閉曲面分為內(nèi)側(cè)與外側(cè),類似地， 如果曲面的方程為yy(z, x)，則曲面分為左側(cè)與右側(cè)， 在曲面的右側(cè)cosb 0， 在曲面的左側(cè)cosb 0,如果曲面的方程為xx(y, z)，則曲面分為前側(cè)與后側(cè)， 在曲面的前側(cè)cos a

2、0， 在曲面的后側(cè)cosa 0,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.,曲面的投影問(wèn)題:,分別是曲面在點(diǎn)（x,y,z)的法線向量與X，Y，Z軸正向的夾角,類似地有：,其中,二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),實(shí)例: 流向曲面一側(cè)的流量.,1. 分割,則該點(diǎn)流速為 .,法向量為 .,2. 求和,3.取極限,概念及性質(zhì),被積函數(shù),積分曲面,類似可定義,有向面積元,存在條件:,組合形式:,物理意義:,性質(zhì):,三、計(jì)算法,注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,(前正后負(fù)),(上正下負(fù)),(右正左負(fù)),這就是把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式,要點(diǎn)為：,代：將曲面的方

3、程表示為二元顯函數(shù)，然后代入 被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù),投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy） 中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy 面）,定號(hào)： 由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分 的正負(fù)號(hào),一代、二投、三定號(hào),曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正 曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù),注:積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù) 否則分片計(jì)算，結(jié)果相加,解,例2 計(jì)算,所截得的在第一卦限的部分的前側(cè),解,例3 計(jì)算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所圍成的 空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),o,x,y,z,解,分成四個(gè)部分,左側(cè),下側(cè),后側(cè),上側(cè),同理,同理,注,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性,被積表達(dá)式具有輪換對(duì)稱性，即將被積 表達(dá)式中的所有字母按,x,y,z,順序代換后原式不變,積分曲面及其側(cè)具有對(duì)稱性，這是指曲面 在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域均相同，且配給 的符號(hào)也相同,例4 計(jì)算,解,上側(cè),下側(cè),四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,兩類曲面積分之間的聯(lián)系:,解,六