1、專(zhuān)題二十九 直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì),考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 1.(2017課標(biāo),理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120, AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(),【答案】 C方法一:如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考

2、點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,2.(2016課標(biāo),理11)平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(),【答案】 A(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1, mB1D1. 平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1, nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即B1D1C等于m,n所成的角. B1D1C為正三角形,B

3、1D1C=60,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,(方法二)由題意畫(huà)出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移, 補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角. 因?yàn)锳EF是正三角形,所以EAF=60, 故m,n所成角的正弦值為,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,3.(2013課標(biāo),理4)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿(mǎn)足lm,ln,l,l,則() A.且l B.且l C.與相交,且交線垂直于l D.

4、與相交,且交線平行于l 【答案】 D因?yàn)閙,lm,l,所以l.同理可得l. 又因?yàn)閙,n為異面直線,所以與相交,且l平行于它們的交線.故選D.,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,4.(2016課標(biāo),理14),是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等. 其中正確的命題有.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)) 【答案】 【解析】 對(duì)于,若mn,m,n,則,的位置關(guān)系無(wú)法確定,故錯(cuò)誤;對(duì)于,因?yàn)閚,所以過(guò)直線n作平面與平面相交于直線c,則nc.因?yàn)閙,所

5、以mc,所以mn,故正確;對(duì)于,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確;對(duì)于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確命題的編號(hào)有.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,1.平面的基本性質(zhì),試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,2.等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 3.異面直線所成的角 已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,我們把a(bǔ)與b所

6、成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(夾角),兩條異面直線所成的角,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,典例導(dǎo)引1已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),ACBD=P,A1C1EF=Q.求證: (1)D,B,F,E四點(diǎn)共面; (2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線; (3)直線DE,BF,CC1交于同一點(diǎn)M.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(2)正方體AC1中,設(shè)平面ACC1A1為,平面DBFE為. QA1C1,Q, 又QEF,Q,則Q是與的公共點(diǎn), 同理,

7、P是與的公共點(diǎn),=PQ. 又A1C=R,RA1C,R且R. 則RPQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線. (3)由(1)知DE,BF共面且不平行,設(shè)直線DE與BF交于點(diǎn)M. 由MDE可得M平面DCC1E,由MBF可得M平面BCC1F. 又平面DCC1E平面BCC1F=CC1, MCC1,直線DE,BF,CC1交于同一點(diǎn)M.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,高招1平面性質(zhì)的三大應(yīng)用規(guī)律,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,典例導(dǎo)引2(1)(2017四川涼山一診)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中,異面直線AD與AB所成角的大小是.

8、(2)正三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,ACB=90,且PA=AC=BC=a,則異面直線PB與AC所成角的正切值等于. 【解析】 (1)如圖所示,連接BC,AC,則BCAD, 所以ABC就是異面直線AD與AB所成的角. 又BC=AC=AB,即三角形ABC為等邊三角形,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,高招2求解異面直線所成角的方法,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,1.(2017內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1

9、上運(yùn)動(dòng),則異面直線CP與BA1所成角的取值范圍是(),【答案】 D如圖,因?yàn)锳1BCD1,所以異面直線CP,BA1所成的角為D1CP.因?yàn)镃P與BA1為異面直線,所以點(diǎn)P不能與D1重合,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),D1CP最大,最大為60,所以D1CP的取值范圍是(0,60,所以異面直線CP,BA1所成角的取值范圍是(0,60,故選D.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,2.(2017江西上饒一模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,過(guò)點(diǎn)A作平面的平行平面BDC1,平面與平面A1ADD1交于直線m,與平面A1ABB1交于直線n,則直線m與直線n所成的角為(),試做

10、真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,3.若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列結(jié)論: 四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直; 四面體ABCD每個(gè)面的面積相等; 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180; 連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分; 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng). 其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 【答案】 ,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,【解析】 把四面體補(bǔ)形為平行六面體,由三組對(duì)棱分

11、別相等可知此平行六面體為長(zhǎng)方體,如圖所示.只有長(zhǎng)方體為正方體時(shí)才正確,故不正確. 在長(zhǎng)方體中,有BACDCA,ABCDCB, CBDADB. 四面體ABCD每個(gè)面的面積都相等,故正確. 對(duì)于,以BAC,CAD,BAD為例說(shuō)明. BACDCA,CAD=ACB. 又DABCBA,BAD=ABC. BAC+CAD+BAD=BAC+ACB+ABC=180,故不正確. 對(duì)于,連接四面體ABCD對(duì)棱中點(diǎn)的線段即是連接長(zhǎng)方體對(duì)面中心的線段,顯然相互垂直平分,故正確. 對(duì)于,以AB,AC,AD為例進(jìn)行說(shuō)明.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,AD=BC,AB,AC,BC三邊

12、長(zhǎng)可構(gòu)成ABC, AB,AC,AD可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng). 同理可得從其他頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)也可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故正確.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,考點(diǎn)66直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1.(2015安徽,理5)已知m,n是兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是() A.若,垂直于同一平面,則與平行 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 【答案】 DA選項(xiàng),可能相交;B選項(xiàng)m,n可能相交,也可能異面; C選項(xiàng)若與相交,則在內(nèi)平行于它

13、們交線的直線一定平行于;由垂直于同一個(gè)平面的兩條直線一定平行,可知D選項(xiàng)正確.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,2.(2014課標(biāo),理18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:PB平面AEC; (2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD= ,求三棱錐E-ACD的體積.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,【解】 (1)連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO. 因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn). 又E為PD的中點(diǎn),所以EOPB. EO平面AEC,PB平面AEC

14、,所以PB平面AEC. (2)因?yàn)镻A平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,3.(2017浙江,19)如圖,已知四棱錐P-ABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:CE平面PAB; (2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,【解】 (1)如圖,設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,FB.

15、因?yàn)镋,F分別為PD,PA中點(diǎn),所以EFAD且EF= AD, 又因?yàn)锽CAD,BC= AD, 所以EFBC且EF=BC, 即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF. 因此CE平面PAB. (2)分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N,連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ, 因?yàn)镋,F,N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF中點(diǎn). 在平行四邊形BCEF中,MQCE. 由PAD為等腰直角三角形得PNAD. 由DCAD,N是AD的中點(diǎn)得BNAD. 所以AD平面PBN. 由BCAD得BC平面PBN, 那么平面PBC平面PBN.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,

16、高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,1.直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,2.平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,典例導(dǎo)引3(1)正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一點(diǎn)P,Q,且AP=DQ.求證:PQ平面BCE. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1C,B1C1,C1D1的中點(diǎn),求證:平面PMN平面A

17、1BD.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(2)(方法一:判定定理法)如圖,連接B1D1,B1C. P,N分別是D1C1,B1C1的中點(diǎn),PNB1D1. 又B1D1BD,PNBD. 又PN平面A1BD, PN平面A1BD. 同理MN平面A1BD, 又PNMN=N,平面PMN平面A1BD.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考

18、點(diǎn)67,(方法二:性質(zhì)定理法)如圖,連接AC1,AC. ABCD-A1B1C1D1為正方體, ACBD. 又CC1平面ABCD, BDCC1. 又ACCC1=C,BD平面ACC1.AC1BD. 同理可證AC1A1B,AC1平面A1BD. 同理可證AC1平面PMN,平面PMN平面A1BD.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,高招3證明線面、面面平行的方法,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,1.(2017豫南九校質(zhì)檢)已知m,n是兩條不同直線,是平面,則下列命題是真命題的是() A.若m,mn,則nB.若m,n,則mn C.若

19、m,mn,則nD.若m,mn,則n 【答案】 B若m,mn,則有可能n;若m,mn,則有可能n;若m,mn,則有可能n,所以選B.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,2.(2017江西上饒一模)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為2,E,F分別是棱DD1,C1D1的中點(diǎn). (1)求三棱錐B1-A1BE的體積; (2)試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行,如果平行,請(qǐng)?jiān)谄矫鍭1BE上作出與B1F平行的直線,并說(shuō)明理由.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(2)B1F平面A1BE.延長(zhǎng)A1E交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)

20、H,連BH交CD于點(diǎn)G,則BG就是所求直線.證明如下. 因?yàn)锽A1平面CDD1C1,平面A1BH平面CDD1C1=GE, 所以A1BGE. 又A1BCD1, GECD1, 又E為DD1的中點(diǎn),則G為CD的中點(diǎn). 故BGB1F,BG就是所求直線.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,考點(diǎn)67直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 1.(2017課標(biāo),理18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,

21、考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,【解】 (1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,

22、考點(diǎn)67,3.(2015廣東,理18)如圖,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)證明:PEFG; (2)求二面角P-AD-C的正切值; (3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(1)【證明】 PD=PC,且點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn), PEDC. 又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,PE平面ABCD. 又FG平面ABCD,PEFG. (2)【解】 四

23、邊形ABCD是矩形,ADDC. 又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,AD平面ABCD,AD平面PDC. PD平面PDC,ADPD. PDC即為二面角P-AD-C的平面角.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,典例導(dǎo)引4(1)設(shè),為不同的平面,m,n,l為不同的直線,則m的一個(gè)充分條件為() A.,=l,mlB.=m, C.,mD.n

24、,n,m,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(1)【解析】 對(duì)于選項(xiàng)A,=l,ml,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知,缺少條件m,故不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,=m,而與可能平行,也可能相交,則m與不一定垂直,故不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,m,而與可能平行,也可能相交,則m與不一定垂直,故不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,n,n,則,又m,則m,正確,故選D. 【答案】 D,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)精練,考點(diǎn)65,考點(diǎn)66,考點(diǎn)67,(3)【證明】 連接EG,四邊形ABCD為菱形, AD=AB,BDAC,DG=GB,在EAD和EAB中, AD=AB,AE=AE,EAD=EAB, EADEAB, ED=EB, BDEG. ACEG=G, BD平面ACFE, BD平面ABCD, 平面ACFE平面ABCD.,試做真題,高手必備,萃取高招,對(duì)點(diǎn)