1、第三章 隨機變量的數(shù)字特征,第三講 矩、分位數(shù) 大數(shù)定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學團隊,第三講 矩、分位數(shù) 大數(shù)定理,一、矩和中心矩 二、分位數(shù) 三、大數(shù)定理 四、小結,分 布,參數(shù),數(shù)學期望,方差,兩點分布,二項分布,泊松分布,均勻分布,指數(shù)分布,正態(tài)分布,3、重要概率分布的期望和方差,練習,1，設離散型隨機變量X的分布律為 求D( ),2，若隨機變量X的概率密度函數(shù)為 求X的期望和方差.,定義1,說明,一、矩和中心矩,的數(shù) 為此分布的分位數(shù)或下分位數(shù).,二、分位數(shù),設連續(xù)型隨機變量,定義2,稱滿足條件,的數(shù) 為此分布的上分位數(shù).,關系式：,分位數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計中經(jīng)常使用，特別是統(tǒng)計中常用的三大

2、分布分位數(shù)，為此特地編制了它們的分位數(shù)表.,圖中陰影部分面積即為,例：,若隨機變量X服從N(0,1)分布，求,三、大數(shù)定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象.,研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,1、弱大數(shù)定理1,.,含義,2、伯努利大數(shù)定理（弱大數(shù)定理1的特例）,伯努利,證明,引入隨機變量,顯然,根據(jù)弱大數(shù)定理1有,伯努利大數(shù)定理表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生

3、的頻率 fA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,伯努利大數(shù)定理提供了通過試驗來確定事件概率的方法.,3、弱大數(shù)定理2（辛欽定理）,有,以下是弱大數(shù)定理1的推廣，不要求隨機變量的方差存在.,辛欽,辛欽定理為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，先收割某些有代表性的地塊，例如 n 塊. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當 n 較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.,大數(shù)定理以嚴格的數(shù)學形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).,大數(shù)定理在理論和實際中都有廣泛的應用.,平均結果的穩(wěn)定性,證明,由辛欽定理知，,例2,四、小結,1、矩和中心矩 2、分位數(shù),分位數(shù)或下分位數(shù) ，若滿足,上分位數(shù) ，若滿足,3、大數(shù)定理,三個大數(shù)定理,弱大數(shù)定理1,伯努利大數(shù)定理,辛欽定理,頻率的穩(wěn)定性是