1、文數(shù) 課標(biāo)版,第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,1.四個公理 公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi). 公理2:過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面. 公理2的三個推論:,教材研讀,推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個平面. 推論2:兩條相交直線確定一個平面. 推論3:兩條平行直線確定一個平面. 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.,2.空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類: . (2)異面直線所成的角 (i)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線

2、,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). (ii)范圍:.,3.有關(guān)角的重要定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).,4.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 (1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、直線在平面內(nèi) 三種情況. (2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)兩個不重合的平面只能把空間分成四部分.() (2)如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作=a.() (3)兩個平面,有一個公共點(diǎn)A,就說,相交于過A點(diǎn)的任意

3、一條直線.,() (4)兩個平面,有一個公共點(diǎn)A,就說,相交于A點(diǎn),并記作=A.() (5)如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合.() (6)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.() (7)如果直線a與b沒有公共點(diǎn),則a與b是異面直線.(),1.下列命題: 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面; 梯形可以確定一個平面; 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面; 若兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合. 其中正確命題的個數(shù)是() A.0B.1C.2D.3 答案C對于,未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線,故錯誤;易知正確;對于,未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線,若三點(diǎn)共線,則兩平面也可能相交,故錯誤.故選C.,2.以下四個命題中,正確命題

4、的個數(shù)是() 不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線; 若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面; 若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面; 依次首尾相接的四條線段必共面. A.0B.1C.2D.3 答案B顯然是正確的,可用反證法證明;中若A、B、C三點(diǎn)共線,則A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面;構(gòu)造長方體或正方體,如圖,顯然b、c異面,故不正確;中空間四邊形中四條線段不共面.故只有正確.,3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b() A.一定是異面直線B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線 答案C假設(shè)cb,由公理4可知

5、,ab,與a、b是異面直線矛盾,故選C.,4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為. 答案60 解析連接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C(或其補(bǔ)角)為所求角,又B1D1 =B1C=D1C,D1B1C=60.,考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 典例1已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),G、H分別是BC、CD上的點(diǎn),且CG=BC,CH=DC.求證: (1)E、F、G、H四點(diǎn)共面; (2)三直線FH、EG、AC共點(diǎn).,考點(diǎn)突破,M平面EFHG,M平面ABC. 又平面EFHG平面AB

6、C=EG, MEG, FH、EG、AC共點(diǎn).,方法指導(dǎo) (1)證明點(diǎn)共線問題:公理法:先找出兩個平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn),再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在交線上;同一法:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上. (2)證明線共點(diǎn)問題:先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn). (3)證明點(diǎn)、直線共面問題:納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平面,重合.,1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則各圖形中,P,Q,R,S四點(diǎn)共面的是(填序號).

7、答案 解析對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形; 對于,如圖所示,取A1A和BC的中點(diǎn)分別為M,N,順次連接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;,對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為平行四邊形; 對于,連接PS,PR,SR,可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點(diǎn)不共面.,1-2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD; BEFA且BE=FA,G、H分別為FA、FD的中點(diǎn). (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形; (2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面?為什么? 解析(1)證明:由已知可知FG=GA,FH

8、=HD,可得GHAD且GH=AD.,又BCAD且BC=AD,GH BC, 四邊形BCHG為平行四邊形. (2)C、D、F、E四點(diǎn)共面,證明如下: 證法一:由BEFA且BE=FA,G為FA的中點(diǎn)知BE FG, 四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG, 由(1)可知BGCH,EFCH,EF與CH共面. 又DFH,C、D、F、E四點(diǎn)共面. 證法二:如圖所示,延長FE、DC分別與AB的延長線交于點(diǎn)M、M ,考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系 命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定 典例2如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在原正四面體中, GH與EF平行; BD與MN為異面直線

9、; GH與MN成60角;,DE與MN垂直. 以上四個命題中,正確命題的序號是. 答案 解析把正四面體的平面展開圖還原, 如圖所示,GH與EF為異面直線, BD與MN為異面直線. 連接GM,易知GHM為正三角形,則GH與MN成60角. 易知MNAF,且AFDE,則DEMN.,答案(1)(2)3 解析(1)中,直線GHMN;中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面;中,連接MG,易知GMHN,因此GH與MN共面;中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H平面GMN,因此直線GH與MN異面. (2)將展開圖還原為正方體, 如圖所示,顯然,AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB

10、與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行,故互為異面直線的有且只有3對.,方法指導(dǎo) 空間中兩直線的位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對于異面直線,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對于垂直關(guān)系,往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.,2-1給定下列關(guān)于異面直線的命題: 命題(1):若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,直線c是與的交線,那么c至多與a,b中的一條相交; 命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線. 那么() A.命題(1)正確,命題(2)不正確 B.命題(2)正確,命

11、題(1)不正確 C.兩個命題都正確 D.兩個命題都不正確,答案D當(dāng)c與a,b都相交,但交點(diǎn)不是同一個點(diǎn)時,平面上的直線a與平面上的b為異面直線,因此判斷(1)是假命題,如圖所示;對于(2),可以 取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不平行,則這些直線中任意兩條都是異面直線,從而(2)是假命題.故選D.,考點(diǎn)三異面直線所成的角 典例4(2016課標(biāo)全國,11,5分)平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為() A.B.C.D. 答案A 解析如圖,過點(diǎn)A補(bǔ)作一個與正方體ABCD-A1B1C1D1相同棱長的正方體,易知平面為平面AF1E,則m,n所成角為EAF1,因?yàn)镋AF1為正三角形,所以sinEAF1=sin 60=,故選A.,方法指導(dǎo) 用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角; (2)二證:即證明作出的角(或其補(bǔ)角)是異面直線所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.,3-1空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小. 解析取AC的中點(diǎn)G