1、熱學(xué)教程習(xí)題參考答案第六章 習(xí) 題6-1. 有人聲稱設(shè)計(jì)出一熱機(jī)工作于兩個(gè)溫度恒定的熱源之間，高溫和低溫?zé)嵩捶謩e為400k和250k；當(dāng)此熱機(jī)從高溫?zé)嵩次鼰?.510cal時(shí)，對(duì)外作功20 kwh，而向低溫?zé)嵩捶懦龅臒崃壳閮烧咧?，這可能嗎？解：此熱機(jī)的效率應(yīng)為 ，故當(dāng)熱機(jī)從高溫?zé)嵩次鼰醕al 時(shí)，能提供的功為cal，同時(shí)向低溫?zé)嵩捶懦鰺崃繛閏al。這樣，倘若本題所設(shè)計(jì)的熱機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)，它對(duì)外的作功值 kwh cal 顯然超過了此卡諾熱機(jī)可能的最大輸出功 cal，所以設(shè)計(jì)這樣的熱機(jī)是不可能的。 習(xí)題6-2圖6-2設(shè)有1mol的某種單原子理想氣體，完成如圖所示的一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)過程，試求：(1)經(jīng)

2、過一個(gè)循環(huán)氣體所作的凈功；(2)在態(tài)c和態(tài)a之間的內(nèi)能差；(3) 從a經(jīng)b到c過程中氣體吸收的熱量。(答:(1)314 j;(2)600 j;(3)1157 j)解：如圖所示，1mol單原子氣體完成的是圓形準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)過程。在圖上，描述此圓的方程為 , 其中的。（1）經(jīng)過一個(gè)循環(huán)過程，氣體所做的功等于描述此循環(huán)過程的圓面積，即 j；（2）與a 和c點(diǎn)的溫度為 和，故兩點(diǎn)之間的內(nèi)能差為 j，其中的定容熱容；（3）依據(jù)熱力學(xué)第一定律，氣體在abc 過程中吸收的熱量 ，其中的內(nèi)能增量已由（2）求得；而過程中所做的功可由過程曲線下所包含的面積求得：j，故j；（4）循環(huán)最高和最低溫度分別發(fā)生在，和，所以相

3、應(yīng)的最高溫度值為：k，最低溫度值為 k；（5）此循環(huán)效率為 ，式中的循環(huán)功已由（1）求得 j，而循環(huán)吸熱將發(fā)生在氣體從最低溫度升至最高溫度之間，故 。6-3一定量理想氣體作卡諾循環(huán),熱源溫度= 400 k,冷卻器溫度為k.若已知:=10atm,=0.01 m,=0.02 m,=1.4, 試求:(l)及;(2)一個(gè)循環(huán)中氣體作的功;(3)從熱源吸收的熱量;(4)循環(huán)的效率. (答:(1)，(2)2.110 j; (3)7.010j; (4)30 %)解：(1) 先由等溫過程方程，可得 atm ；再應(yīng)用絕熱過程方程，并考慮到絕熱指數(shù) 可得 m3, 和 atm。而 atm,。再由，可計(jì)算得m3；（2

4、）卡諾循環(huán)功為 j；（3）從高溫?zé)嵩次盏臒崃繛?j；（4）循環(huán)效率 。6-4一卡諾機(jī),高溫?zé)嵩吹臏囟葹?00 k,在每一循環(huán)中在此溫度下吸入418 j的熱量，并向低溫?zé)嵩捶懦?34.4 j的熱量.試求:(l)低溫?zé)嵩吹臏囟仁嵌嗌? (2)此循環(huán)的效率是多少? (答:(1)320 k;(2)20 %) 習(xí)題6-5圖 習(xí)題6-7圖解：（1）低溫?zé)嵩吹臏囟?k ；（2）循環(huán)效率為 6-5如圖所示，有1mol理想氣體完成的循環(huán)過程，其中ca為絕熱過程。a點(diǎn)的狀態(tài)參量為、b點(diǎn)的狀態(tài)參量為和絕熱指數(shù)均為已知。(l)氣體在ab，bc兩過程中和外界交換熱量嗎？是放熱還是吸熱？(2)求c點(diǎn)的狀態(tài)參量；(3)此

5、循環(huán)是否為卡諾循環(huán)？求循環(huán)效率。(答:(1)ab吸熱，bc放熱；(2)，；(3)不是。)。解：（1）ab吸熱過程，bc放熱過程；（2），；（3）此循環(huán)不是卡諾循環(huán)。在此循環(huán)的等溫過程中，氣體吸熱，1mol氣體吸收的熱量為 ，對(duì)外作功為 ，故可得循環(huán)效率為。6-6.若可逆卡諾循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體,而服從狀態(tài)方程.試證明此卡諾循環(huán)的效率仍為.解：由氣體的狀態(tài)方程 可見，這種氣體的分子有體積，但沒有引力，是一種剛性球，所以這種氣體的內(nèi)能仍應(yīng)只與溫度有關(guān)，而與氣體的體積無關(guān)。事實(shí)上，由內(nèi)能公式得到的結(jié)果：，也說明了這一點(diǎn)。故由熱力學(xué)第一定律可知，等溫過程中系統(tǒng)吸收（或放出）的熱量應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)外

6、（或外界對(duì)系統(tǒng)）所做的功：。由氣體內(nèi)能只與溫度有關(guān)這一性質(zhì)，還可以證明：對(duì)于這種氣體，理想氣體的摩爾熱容公式 仍然成立。所以，將熱力學(xué)第一定律應(yīng)用于絕熱過程，可得：，積分后，得絕熱過程方程為 ，式中的是絕熱指數(shù)?，F(xiàn)在我們可以寫出，在溫度為和的等溫過程中，氣體所吸收和放出的熱量分別為： 和 。故得此卡諾循環(huán)效率為 。其中用到公式，這是因?yàn)橐罁?jù)絕熱過程方程，可以寫出： 和 。6-7.設(shè)燃?xì)鉁u輪機(jī)內(nèi)工質(zhì)進(jìn)行如圖所示的循環(huán)過程,其中1-2,3-4為絕熱過程;2-3，4-1為等壓過程.若,試證此循環(huán)的效率為:.解：此燃?xì)鉁u輪機(jī)的循環(huán)效率為 ?？紤]到在絕熱過程中 ，因此有。故可得其中是絕熱指數(shù)；。 習(xí)題6

7、-8圖 習(xí)題6-9圖6-8設(shè)有一以理想氣體為工作物質(zhì)的熱機(jī)循環(huán),如圖所示.由等壓過程ca、等容過程ab和絕熱過程bc所組成。若已知和絕熱指數(shù).證明此熱機(jī)的循環(huán)效率為:.解：由于熱機(jī)循環(huán)效率為 ，其中 為氣體在等體過程ab中所吸收的熱量；是氣體在等壓過程中放出的熱量，所以可得 。因?yàn)閷?duì)于理想氣體我們有 ；再應(yīng)用絕熱過程方程，可得。故可得到需證的結(jié)果 ， 其中是絕熱指數(shù)。6-9.如圖所示的理想氣體為工質(zhì)的熱機(jī)循環(huán),其中ab和cd是等壓過程,bc和da是絕熱過程.已知b點(diǎn)和c點(diǎn)的溫度分別為和.證明:此熱機(jī)循環(huán)的效率為 .解：與題6-6類似，可以證明此熱機(jī)循環(huán)效率為。在證明過程中用到絕熱過程方程 ?？?/p>

8、慮到在等壓過程中，因此可以得到 ，故可得上列等式。 習(xí)題6-11圖6-10.一圓筒裝有壓強(qiáng)和溫度分別為2 atm和300 k的氧氣,容積為3l.使氧氣經(jīng)歷下列過程：等壓加熱到500k；等容冷卻到250k；等壓冷卻到150k；等容加熱到300k。(1)在圖上畫出四個(gè)過程,并計(jì)算每個(gè)過程終態(tài)的和值；(2)計(jì)算氧氣在一個(gè)循環(huán)中所作的凈功；(3)計(jì)算此循環(huán)效率。(答：(1)，=3l，；(2)202.7 j;(3)9.2 %)6-11以理想氣體為工質(zhì)的制冷機(jī)進(jìn)行如圖所示的循環(huán)過程,其中ab，cd分別是溫度為的等溫過程;bc,da為等壓過程.證明此制冷機(jī)的制冷系數(shù)為:.解：由于和分別表示低溫?zé)嵩春透邷責(zé)嵩?/p>

9、的溫度，所以可以判斷，系統(tǒng)從溫度為的低溫?zé)嵩刺幬盏臒崃?，即此制冷機(jī)的制冷量。故可寫出此制冷機(jī)的制冷系數(shù)為 ，其中表示外界對(duì)系統(tǒng)所做的循環(huán)功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，可知：。所以，此制冷機(jī)的制冷系數(shù)為 。6-12設(shè)有卡諾熱機(jī),它的低溫?zé)嵩吹臏囟葹?80 k,效率為40.現(xiàn)若使此熱機(jī)效率提高到50 %,試問:(l)如低溫?zé)嵩吹臏囟缺３植蛔?高溫?zé)嵩吹臏囟缺仨氃黾佣嗌? (2)如高溫?zé)嵩吹臏囟缺３植蛔?低溫?zé)嵩吹臏囟缺仨毥档投嗌? (答:(1)93.3 k;(2)46.6 k.)解：（1）依據(jù)卡諾熱機(jī)效率的公式 ，可得：當(dāng)，k時(shí)，k ；當(dāng)，k時(shí)，k ；這就是說,在保持低溫?zé)嵩礈囟炔蛔兊那闆r下，為使熱機(jī)

10、效率提高，高溫?zé)嵩吹臏囟缺仨氃龈遦 ；（2）同樣，應(yīng)用卡諾熱機(jī)效率公式，可得：當(dāng)，k，k，這就是說，低溫?zé)嵩吹臏囟缺仨毥档蚹。6-13一個(gè)平均輸出功率為50 mw的發(fā)電廠,熱機(jī)循環(huán)的高溫?zé)嵩礈囟葹?1000 k和低溫?zé)嵩礈囟葹?300 k，試求:(l)理論上熱機(jī)的最高效率為多少? (2)這個(gè)廠只能達(dá)到這效率的70 %,為了產(chǎn)生50 mw的電功率,每秒鐘需要提供多少焦耳的熱量? (3)如果低溫?zé)嵩词且粭l河流,其流量為10 m/s,試求由于電廠釋放的熱量而引起的河水溫升是多少?(答:(1)70%;(2)1.0210j;(3)1.25 k.)解：（1）理論上可構(gòu)筑熱機(jī)的最高效率應(yīng)等于工作于最高溫度k

11、 和最低溫度k之間的卡諾熱機(jī)的溫效率，即；（2）由于此廠熱機(jī)效率只能達(dá)到最高效率的，故工廠熱機(jī)的實(shí)際效率為。由此可見，為產(chǎn)生mw的電功率，工廠需通過燃燒能源，為此熱機(jī)提供熱量：mw；（3）熱機(jī)向低溫?zé)嵩捶懦鰺崃繛?mw。這部分熱量為河流的流水所吸收。已知河流的流量為 m3/scm3/sg /s ，故若設(shè)水的比熱 ，則河水的溫升為k。6-14設(shè)有一制冷機(jī),低溫部分溫度為-10,散熱部分溫度為35,所耗功率為1500w.設(shè)制冷機(jī)實(shí)際制冷系數(shù)為理想制冷系數(shù)的l3.若用此制冷機(jī),將25的水制成 -10的冰,已知冰的融解熱和比熱分別為334.4 j/g和2.09 j/gk,問此制冷機(jī)每小時(shí)能制冰多少千克

12、? (答:22.7 kg)解：要把1g的25的水制成 -10的冰，需放出的熱量為，其中的和分別為水的比熱、冰的比熱和水的凝結(jié)熱；而和分別等于和，故可得 cal/g 。另一方面，此致冷機(jī)的制冷系數(shù)為則一小時(shí)吸收熱量為制冰量為kg/h。6-15彼此不發(fā)生化學(xué)作用的兩種氣體,體積分別為=5.0 l 和 =3.0 l,溫度都是300 k,壓強(qiáng)都是=1.0 atm.現(xiàn)把它們混合在一起,求熵的改變.(答:1.79 j/k.)解： 習(xí)題6-16圖6-162 mol理想氣體在4.0 atm下的體積為10 l(見圖上所示的a點(diǎn)).若已知此氣體的=20.9j/molk,試用證明:自a到c,沿abc路徑和adc路徑

13、進(jìn)行時(shí),兩條路徑所得到的熵改變是相等的.證明：6-17把2.0g的空氣分別(l)等容(2)等壓從40冷卻到0,求過程中的熵變.(答:(1)-0.2 j/k;(2)-0.28 j/k.) 6-18在一個(gè)大氣壓下，30g溫度為-40的冰變?yōu)闇囟葹?00的水蒸汽，設(shè)冰和水的熱容量為常數(shù)，求上述過程的熵變化值.設(shè)冰的比熱為2.09j/gk,冰的熔解熱為334.4j/g,水的汽化熱為2253j/g.(答：=267 j/k.)解：將整個(gè)過程分為-40冰變?yōu)?的冰，0的冰變?yōu)?的水，0的水變?yōu)?00的水和，100的水變?yōu)?00的水蒸汽四個(gè)過程，則總的熵變?yōu)?-19. 若已知24時(shí)水蒸氣的飽和蒸氣壓為0.02

14、9824 bar，此時(shí)水蒸氣的焓是2545.0 kj/kg，水的焓是100.59 kj/kg。(1)試求1kg水蒸氣凝結(jié)為水時(shí)的熵變；(2)若初態(tài)為1mol過冷水蒸氣，其溫度和壓強(qiáng)分別24和1bar，當(dāng)它轉(zhuǎn)化為24的飽和水蒸氣和飽和水時(shí)熵變化多少? 水蒸氣可處理為理想氣體。(答:(1)-8.23 kj/kgk;(2)29.3,-118.8 j/molk ) 6-20. 應(yīng)用習(xí)題5-11的數(shù)據(jù),計(jì)算1mol銅在1atm下,溫度從300k升到1200k時(shí)熵的改變.(答:3.7210j/molk)解：熵變?yōu)?6-21證明質(zhì)量為,比熱為常數(shù)的物質(zhì),當(dāng)溫度從變化到時(shí),它的熵變化為:.試問:在冷卻時(shí)此物質(zhì)

15、的熵是否減少?如果減少的話,與熵增加原理有沒有矛盾?為什么?解：熵變?yōu)?習(xí)題6-22用圖冷卻時(shí)，此物質(zhì)的熵是減少的，但是由于此物質(zhì)向外傳熱，外界吸收熱量，外界溫度必然比該物質(zhì)低，則系統(tǒng)和外界總的熵變?nèi)匀皇钦?，熵仍然是增加的?-22以理想氣體為例，證明下列兩種情況的熵變?yōu)榱?(l)如圖(a)所示,由兩條等容線和兩條絕熱線組成的循環(huán)過程;(2)如圖(b)所示,由等溫線,等壓線和等容線所組成的循環(huán)過程.證明：由于熵是態(tài)函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)過程的時(shí)候，系統(tǒng)的熵變必為零。 6-23. 均勻桿的一端溫度為,另一端的溫度為,試證明達(dá)到均勻溫度后的熵變?yōu)?(提示:應(yīng)用局域平衡假設(shè),把桿分割為質(zhì)量為的體

16、元,在溫度從變到后的熵變?yōu)?總的熵變應(yīng)等于對(duì)整根桿和整個(gè)溫區(qū)的積分.)6-24. 證明:(1)理想氣體發(fā)生向真空的絕熱自由膨脹,體積由變?yōu)?熵變?yōu)?(2)理想氣體經(jīng)歷節(jié)流膨脹,壓強(qiáng)由降為,熵變?yōu)?(3)溫度的kg的水與溫度的kg的水混合,熵變?yōu)椋?當(dāng)=時(shí), 簡化為.證明：略。6-25.設(shè)有一定量的理想氣體經(jīng)歷如下奧托(otto)循環(huán):絕熱壓縮從到;等容吸熱從到;絕熱膨脹從到;等容放熱,由回到.這是一種四沖程汽油機(jī)的定容加熱循環(huán).試在圖上畫出此循環(huán);并證明循環(huán)效率,其中和分別是氣體的絕熱壓縮比和絕熱指數(shù).證明：上課講過，略。6-26.若將奧托循環(huán)中的第步改為等壓吸熱，其它各步保持不變。這是一種定

17、壓加熱的四沖程循環(huán),稱為狄塞爾(diesel)循環(huán)。試在圖上畫出此循環(huán)；并證明循環(huán)效率為其中，和分別是氣體的絕熱壓縮比，定壓膨脹比和絕熱指數(shù).證明：上課講過，略。6-27.個(gè)氣體分子占有容積,它們都可能處在中的任何一點(diǎn)上.在某一時(shí)刻,個(gè)氣體分子全都處于中的某一部分的概率為.試證明:理想氣體的體積由等溫地膨脹至過程中熵的改變?yōu)? ,其中是玻耳茲曼常數(shù). 習(xí)題6-28圖 (a) 習(xí)題6-28圖 (b)6-28. 從艾特金司(b.w.atkins)棋盤游戲看玻耳茲曼熵的物理意義.設(shè)有由1600個(gè)小格組成的棋盤,分為如圖a所示的兩個(gè)區(qū)域:100個(gè)小格組成的中心區(qū)a和1500個(gè)小格組成的外圍區(qū)b。開始時(shí)完全相同的100個(gè)棋子填滿a區(qū),b區(qū)是空域.若棋手從a區(qū)任意取出個(gè)棋子放到b區(qū)的任意小格中去,在a和b區(qū)內(nèi)形成如圖b所示的分布.雖說棋子本身是不可分辨的,但格子在平面上的位置是可分辨的,故棋子可因它所在位置不同而加以區(qū)別.(1)試證明,棋手在a區(qū)里從中心區(qū)的100個(gè)棋子中有種取出個(gè)棋子的不同方法;在b區(qū)他有種擺布個(gè)棋子的不同方法.(2)分別計(jì)算時(shí)的a和