1、.,第六講 多目標(biāo)決策之:數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)分析,.,一、多目標(biāo)決策問題實例,干部評估德、才兼?zhèn)?教師晉升教學(xué)數(shù)量、質(zhì)量、科研成果 購買冰箱價格、質(zhì)量、耗電、品牌等 球員選擇技術(shù)、體能、經(jīng)驗、心理 找對象容貌、學(xué)歷、氣質(zhì)、家庭狀況,多目標(biāo)決策的基本概念,.,二、多目標(biāo)決策問題特點 決策目標(biāo)多于一個 目標(biāo)間存在不可公度性，即各個目標(biāo)間沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，如大型水電開發(fā)方案決策問題中發(fā)電目標(biāo)是多少度或多少電費，而環(huán)境改善目標(biāo)無法折算成貨幣標(biāo)準(zhǔn) 目標(biāo)間的矛盾性，某個目標(biāo)的改進必然導(dǎo)致另外某些目標(biāo)的劣化。,.,三、多目標(biāo)決策與單目標(biāo)決策區(qū)別,點評價與向量評價 單目標(biāo)： 方案dj 評價值f(dj)

2、多目標(biāo)：方案dj評價向量(f1(dj)，f2(dj)，fp(dj) 決策者偏好：多目標(biāo)決策過程中，反映決策者對目標(biāo)的偏好。,.,四、多目標(biāo)決策問題的分類,多屬性決策問題（Multi Attribute decision making problem)：決策變量是離散的，決策方案的數(shù)量是有限的，因此有時也稱為有限方案多目標(biāo)決策問題。 多目標(biāo)決策問題（Muliti objective decision making problem)：決策變量是連續(xù)的，決策方案為無限多，因此，有時也稱為無限多方案多目標(biāo)決策問題 多準(zhǔn)則決策問題（Multi criterion decision making prob

3、lem),通常指多目標(biāo)和多屬性決策。 國內(nèi)用的比較混亂。國外一般用多準(zhǔn)則決策.,.,多目標(biāo)決策相關(guān)術(shù)語,屬性：備選方案的特征、品質(zhì)、性能參數(shù) 目標(biāo)：決策希望達到目的的標(biāo)準(zhǔn) 準(zhǔn)則：判斷事務(wù)的標(biāo)準(zhǔn)，兼指屬性和目標(biāo),.,多目標(biāo)決策解的概念,單目標(biāo)決策的解只 有一種（絕對）最優(yōu)解 多目標(biāo)決策的解有下面四種情況： 絕對最優(yōu)解 劣解 有效解(pereto解) 弱有效解（weak efficient solution）,.,多目標(biāo)問題的解,為決策變量,如對于求極大(max)型，其各種解定義如下： 絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X) 弱有效解：若不

4、存在X，使得F（X*)F(X),.,層次分析法（AHP） 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA) 主成分分析法(PCA) 目標(biāo)規(guī)劃方法 TOPSIS方法或理想點法 多目標(biāo)規(guī)劃法 模糊決策法,五、常用多目標(biāo)決策方法,.,一、 DEA方法介紹,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，以相對效率概念為基礎(chǔ)提出來的一種效率評價方法。該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU：,Decision Making Units） 的輸入或者輸入不變，借助于數(shù)學(xué)規(guī)劃和統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定相對有效的生產(chǎn)前沿面，將各個決策單元投影到DEA的生

5、產(chǎn)前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價它們的相對有效性。,.,1978年，著名運籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuring the efficiency of decision making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運籌學(xué)雜志”上。正式提出了運籌學(xué)的一個新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱 C2R 模型。該模型用以評價部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。,.,DEA 是應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來評價具有多個輸入和多個輸出的“部門”或“單位”的相對有效性的。根據(jù)各D

6、MU的觀察數(shù)據(jù)判斷其是否有效，本質(zhì)上是判斷DMU 是否位于生產(chǎn)可能集的“前沿面”上。 應(yīng)用DEA 方法和模型可以確定生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)，因此又可以將DEA 看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)計估計方法。特別當(dāng)DEA 被用來研究多輸入、多輸出的生產(chǎn)函數(shù)理論時，由于不需要預(yù)先估計參數(shù)，因而在避免主觀因素和簡化算法、減少誤差等方面有著巨大的優(yōu)越性。,.,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(即DEA)也可以看作是一種統(tǒng)計分析的新方法，它是根據(jù)一組關(guān)于輸入輸出的觀察值來估計有效生產(chǎn)前沿面的。在有效性的評價方面，除了DEA方法以外，還有其它的一些方法，但是那些方法幾乎僅限于單輸出的情況。相比之下，DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力

7、是具有絕對優(yōu)勢的。并且，DEA方法不僅可以用線性規(guī)劃來判斷決策單元對應(yīng)的點是否位于有效生產(chǎn)前沿面上，同時又可獲得許多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用統(tǒng)計的方法）優(yōu)越，用處也更廣泛。,.,DEA也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進行政策評價 特別值得指出的是，DEA方法是純技術(shù)性的，與市場（價格）可以無關(guān)。只需要區(qū)分投入與產(chǎn)出，不需要對指標(biāo)進行無量綱化處理，可以直接進行技術(shù)效率與規(guī)模效率的分析而無須再定義一個特殊的函數(shù)形式，

8、而且對樣本數(shù)量的要求不高，這是別的方法所無法比擬的。,.,近30 年來，已經(jīng)有數(shù)以千計關(guān)于DEA 的研究論文、工作報告和博士論文等發(fā)表。某些運籌學(xué)或經(jīng)濟學(xué)的重要刊物，如：Annals of Operational Research （1985），European Journal ofOperational Research （1992），Journal of Productivity Analysis（1992），Journal of Econometic （1990） 以及Computers and Operations Research 等都出版了DEA 研究的特刊。 在國外，DEA方法已

9、經(jīng)成功地應(yīng)用于銀行、城市、醫(yī)院、學(xué)校及軍事等方面效率的評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業(yè)和公司的效率評價中，也顯示出巨大的優(yōu)越性。在國內(nèi)，經(jīng)濟和管理領(lǐng)域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應(yīng)用。,.,DEA方法以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評價方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計算比較決策單元之間的相對效率，對評價對象做出評價，它能充分考慮對于決策單元本身最優(yōu)的投入產(chǎn)出方案，因而能夠更理想地反映評價對象自身的信息和特點；同時對于評價復(fù)雜系統(tǒng)的多投入多產(chǎn)出分析具有獨到之處。,.,DEA方法的特點： （1）適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方

10、面具有絕對優(yōu)勢； （2）DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)與投入指標(biāo)值及產(chǎn)出指標(biāo)值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理（當(dāng)然也可以）。,.,（3）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實際數(shù)據(jù)求得最優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性 （4）DEA方法假定每個輸入都關(guān)聯(lián)到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達式,.,二、 DEA基本原理和模型,一、DEA模型概述 對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為決策單元。評價的依據(jù)是決策單元的一組投

11、入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。 投入指標(biāo)是指決策單元在經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 產(chǎn)出指標(biāo)是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。,.,指標(biāo)數(shù)據(jù)是指實際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。 DEA方法就是評價多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出決策單元相對有效性的多目標(biāo)決策方法。 為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子。,.,例： 某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，

12、為評價這幾個企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:,由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。,.,對于第一個企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。,我們定義第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比,即:,類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：,.,我們限定所有的hj值不超過1，即 ，這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或

13、者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。,即,因此，建立第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：,這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。,.,設(shè),則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃,其對偶問題為：,.,總結(jié)：設(shè)vi為第i個指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重， 則第j個企業(yè)投入的綜合值為 ，產(chǎn)出的綜合值為 其生產(chǎn)效率定義為: 于是問題實際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個企業(yè)的效率值hj最大。這個最大的效率評價值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可能更高的相對效率評價值。

14、,我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj1。這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。,.,根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個企業(yè)（如第3 個企業(yè)即丙企業(yè)）的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：,.,輸入型與輸出型的DEA模型,Input-DEA 模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實際投入之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求的最小。 Output-DEA 模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入

15、組合下，以實際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計。或者說，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。,.,定義： 1 2 3 j n v1 1 x11 x12 x13 x1j x1n v2 2 x21 x22 x23 x2j x2n . . . . . . . vi . . . . . Xij . . . . . . . . vm m xm1 xm2 xm3 xmj xmn y11 y12 y13 y1j y1n 1 u1 y21 y22 y23 y2j y2n 2 u2 . . . . . . . . . . . yrj . . ur . . . . . . . ys1 ys2 ys3 ysj ys

16、n s us,m種輸入,n個 決策單元（DMU）,s種輸出,二、 DEA基本原理和模型,權(quán)系數(shù),權(quán)系數(shù),.,各字母定義如下：,xij- 第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量.xij0 yrj- 第j個決策單元對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量.yrj0 vi - 對第i種類型輸入的一種度量，權(quán)系數(shù) ur - 對第r種類型輸出的一種度量，權(quán)系數(shù) i -1,2,m r -1,2,s j -1,2,n,.,C2R模型 ：規(guī)模報酬不變 設(shè)有n個部門(企業(yè))，稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟指標(biāo)表示。這樣，由n個決策單元構(gòu)成的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，可以用下圖

17、表示：,xik表示第k個決策單元第i種 投入指標(biāo)的投入量，xik0； （是已知數(shù)據(jù)） vi表示第i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， vi0 （是變權(quán)數(shù)）,yjk表示第k個決策單元第j種 產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量，yjk0； （是已知數(shù)據(jù)） uj表示第k種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， uj0 （是變權(quán)數(shù)）,.,對于每一個決策單元DMUj都有相應(yīng)的效率評價指數(shù)：,我們可以通過適當(dāng)?shù)娜?quán)系數(shù)v和u，使得 hj1, j=1,，n,.,對第j0個決策單元進行效率評價，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。 這樣我們?nèi)绻麑UMj0進行評價，看DUMj0在這n個DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可

18、以考察當(dāng)盡可能地變化權(quán)重時， hj0的最大值究竟是多少。,.,如以第j0個決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)，以所有決策單元的效率指數(shù)為約束，就構(gòu)造了如下的CCR（C2R）模型：,.,上述規(guī)劃模型是一個分式規(guī)劃，使用CharnesCooper變化，令： 可變成如下的線性規(guī)劃模型P：,（P）,.,利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決策單元而言的。 對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達，而線性規(guī)劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經(jīng)濟意義上作深入分析,.,規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D/：,（D/）,.,為了討論和計算應(yīng)用方便，

19、進一步引入松弛變量s和剩余變量s，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：,（D）,將上述規(guī)劃（D）直接定義為規(guī)劃（P）的對偶規(guī)劃,.,例： 設(shè)有4個決策單元，2個投入指標(biāo)和1個產(chǎn)出指標(biāo)的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。寫出評價第1個決策單元相對效率的C2R模型。,解：,.,DEA有效性的定義： 我們能夠用 C2R模型判定是否同時技術(shù)有效和規(guī)模有效： （1）*1，且s*0，s*-0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效 （2）*1，但至少某個輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模最佳 （3） *1，決策單元j0

20、不是DEA有效，經(jīng)濟活動既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模最佳,.,在評價決策單元是否為DEA有效時,如果利用原線性規(guī)劃問題,需要判斷是否存在最優(yōu)解 ，滿足：,如果利用對偶線性規(guī)劃,需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足,無論是對于線性規(guī)劃還是對于對偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。,具有非阿基米德無窮小的C2R模型:,.,1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德

21、無窮小量的C2R模型。令是非阿基米德無窮小量，它是一個小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。,C2R模型的計算：,最優(yōu)解為 ， ， ，,。在實際操作中，只要取 足夠小，例如取 = 10-6。,按照阿基米德公理，“無窮小”只能為零 。,文獻：張寶成.含非阿基米德無窮小量DEA模型的研究綜述,系統(tǒng)工程學(xué)報, 2010年6月,.,【例】設(shè)有4個決策單元，2個投入指標(biāo)和1個產(chǎn)出指標(biāo)的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 判定各個決策單元是否 DEA 有效。,解： 決策單元1所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(1,0,0,0)T ， S10- = S20- = S10+ = 0，

22、 0=1 因此，決策單元1為DEA有效。, 決策單元4所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(0,3/5,1/5,0)T ， S10- = S20- = S10+ = 0， 0=3/51 因此，決策單元4不是DEA有效。, 同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2，3均為DEA有效。,.,j使各個有效點連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡(luò)面。 在實際運用中,對松弛變量的研究是有意義的,因為它是一種純的過剩量(s-)或不足量(s+)，則表示DMU離有效前沿面或包絡(luò)面的一種徑向優(yōu)化量或“距離” 設(shè) 其中 , , 是決

23、策單元j0對應(yīng)的線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則( , )為DMUj0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影,它是DEA有效的。,C2R模型中變量的經(jīng)濟含義:,定理3,.,DEA有效的經(jīng)濟含義 DEA的理論、模型是以微觀經(jīng)濟學(xué)為其理論基礎(chǔ)。 生產(chǎn)前沿面：生產(chǎn)前沿面是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。 決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點構(gòu)成的面）。,參考文獻：李雙杰 ，范 超：隨機前沿分析與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法的評析與比

24、較，統(tǒng)計與決策 2009 年第 7 期,.,研究DEA有效性的經(jīng)濟含義是以生產(chǎn)函數(shù) y = 為背景的 “技術(shù)有效” ： 若生產(chǎn)狀態(tài)（x, y）滿足 y = ，則稱生產(chǎn)狀態(tài)（x, y）是“技術(shù)有效”的 （ 也即輸出相對輸入而言已達到最大）。此時，點（x, y）位于生產(chǎn)函數(shù)的曲面上 “規(guī)模有效”：當(dāng) 時，經(jīng)濟學(xué)中的“邊際報酬遞減規(guī)律”是指：生產(chǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)為先增后減的規(guī)律（或函數(shù)先為凸，后為凹）。 所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）。,.,我們現(xiàn)在來研究在模型C2R之下的DEA有效性的經(jīng)濟

25、含義.檢驗決策單元j0的DEA有效性,即考慮線性規(guī)劃問題:,由于 ,即 滿足,可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例減少.如果投入量X0不能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效.,.,1 、生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集 . (1)生產(chǎn)函數(shù) y=f(x) ：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)(一般是增函數(shù))表示理想的生產(chǎn) 狀態(tài)，即投入x所能獲得的最大產(chǎn)出

26、y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(x,y)所對應(yīng)的決策單元， 從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài).生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，A、C處于技術(shù)有效狀態(tài)。, 點A將曲線分為兩部分，在點A之左，y0，y0，曲線在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間， 表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時稱為規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性； 在點A之右，y0，y0，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減 小，此時稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。 點A是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點，點A所對應(yīng)的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。 這是因為該決策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。, 點C在生

27、產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應(yīng)的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。 這是由于點C位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。 點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點B所對應(yīng)的決策單元既不是技術(shù) 有效，也不是規(guī)模有效。,.,考慮投入量為 ，產(chǎn)出量為 的某種生產(chǎn)活動。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動（xj,yj),j=1,2,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動是相對有效的。,(2)生產(chǎn)可能集 所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作 T=(X,Y)|產(chǎn)出Y可由投入X生產(chǎn)出來，因此，生產(chǎn)可能集可確定為：,.,有效性定義：對任何一個決策單元，它達到100%的效率是指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸

28、出都無法增加，除非同時降低其他種類的輸出；要達到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時增加其他種類的輸入。一個決策單元達到了100%的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。,無效性定義： （1）對任意（X，Y）T，并且 ，均有 （2）對任意（ X，Y）T，并且 ，均有 這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進行生產(chǎn)總是可能的。,.,由于(Xk,Yk)是決策單元k的生產(chǎn)活動，于是有(Xk,Yk)T，k=1,2,n 在C2R模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理：,公理1 (凸性) 對于任意(X1,Y1)T、(X2,Y2)T，以及任意0,1，均有 (X1,Y1)+(1-)(X2,Y

29、2)=(X1+(1-)X2 ，Y1+(1-)Y2 )T 即是說,如果 X1,X2 分別以 ,1- 加權(quán)和作為投入量，則 Y1,Y2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。,公理2 (錐性) 對于任意(X,Y)T，以及任意數(shù) 0，均有 (X,Y)=(X,Y)T 即是說，如果以 X 的 倍作為投入量，則產(chǎn)出量是 Y 的同樣倍數(shù)。,公理3 (無效性) 對于任意(X,Y)T， 若 XX，則均有(X,Y)T； 若 YY，則均有(X,Y)T。 即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。,公理4 (最小性) 生產(chǎn)可能集 T 是滿足公理13的所有集合的交集。,由 n 個決策單元(Xk,Y

30、k)的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理14是唯一確定的。 這個生產(chǎn)可能集可以表示為：,.,【例4】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個決策單元的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：,則其生產(chǎn)可能集為,.,(3)模型C2R下DEA有效性的經(jīng)濟意義,由于(X0,Y0)T，即(X0,Y0)滿足條件：,線性規(guī)劃模型（D）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下，盡量將投入量X0按同一比例減少。 如果投入量X0不能按同一比例減少，即模型（D）的最優(yōu)值VD = 0 =1，決策單元k0同時技術(shù)有效和規(guī)模有效； 如果投入量X0能按同一比例 減少，模型（D）最優(yōu)值VD =0 1， 決策單元k0不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。,其中：,.

31、,設(shè)模型（D）的最優(yōu)解為 0、s0-、s0+、0 ，分三種情況進一步討論：, 0 = 1，且 s0- = 0、s0+ = 0 ：決策單元k0為DEA有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元k0的生產(chǎn)活動(X0,Y0)同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。 所謂技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動(X0,Y0)，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用， 投入要素達到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價指標(biāo) h0=Vp=VD=0 = 1 。, 0 = 1，但至少有某個 si0- 0 或者至少有某個 sj0+ 0：決策單元k0為弱DEA有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元 k0 不是同時技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。 若某個si0- 0，表示

32、第 i 種投入指標(biāo)有 si0- 沒有充分利用； 若某個sj0+ 0，表示第 j 種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有 sj0+ 的不足。, 0 1：決策單元k0不是DEA有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元 k0 的生產(chǎn)活動(X0,Y0)既不是技術(shù)效率最佳,也不是規(guī)模收益最佳。,例如， = 0.91，模型（D）的約束條件為,這表示：得到產(chǎn)出量Y0，至多只需投入量0.9X0，即生產(chǎn)活動(X0,Y0)的投入規(guī)模過大，故不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。,.,【例5】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個決策單元的評價系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下)，討論各決策單元的DEA有效性。,解： 決策單元 1 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為

33、,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(1,0,0)T，S10- = S10+ = 0，0=1 因此，決策單元 1 同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。 生產(chǎn)活動(2，2)在圖中對應(yīng)點A，表示同時取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。,., 決策單元 2 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(1/2,0,0)T，S10- = S10+ = 0，0=1/41 因此，決策單元 2 不是DEA有效。,生產(chǎn)活動(4，1)在圖中對應(yīng)點B，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。,., 決策單元 3 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(7/4,0,0)

34、T，S10- = S10+ = 0，0=7/101 因此，決策單元 3 不是DEA有效。,生產(chǎn)活動(5，3.5)在圖中對應(yīng)點C，該點在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。,.,(4)生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定,定理: 設(shè)線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解為 0、s0-、s0+、0, 若,則決策單元 k0 規(guī)模收益不變；, 若,則決策單元 k0 規(guī)模收益遞增；, 若,則決策單元 k0 規(guī)模收益遞減。,.,【例6】設(shè)有單投入單產(chǎn)出5個決策單元的評價系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下圖)。試討論決策單元1、2、5 的規(guī)模收益問題。,解： 決策單元 1 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0

35、=(0,1/2,0,0,0)T，S10- = S10+ = 0，0=5/61 因此，決策單元 1 非DEA有效。,由于,所以決策單元 1 規(guī)模收益遞增。,., 決策單元 2 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(0,1,0,0,0)T，S10- = S10+ = 0，0 = 1 因此，決策單元 2 為DEA有效。,由于,所以決策單元 2 規(guī)模收益不變。, 決策單元 5 的線性規(guī)劃模型（D），取 = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(0,9/8,0,0,0)T，S10- = S10+ = 0，0 = 15/161 因此，決策單元 5 非D

36、EA有效。,由于,所以決策單元 5 規(guī)模收益遞減 。,同樣地，可以判定決策單元 3、4 均為規(guī)模收益遞增。,.,例6: 下面是具有3個決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點以A,B,C表示,其中點A、C在生產(chǎn)曲線上,點B在生產(chǎn)曲線下方。由3個決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。,2 4 5,2 1 3.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),對于決策點A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對應(yīng)的C2R模型為,其最優(yōu)解為:,.,2 4 5,2 1 3.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),對于決策點B,

37、它不是“技術(shù)有效”,因為點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,也不是“規(guī)模有效”,這是因為它的投資規(guī)模太大.,其最優(yōu)解為:,其對應(yīng)的C2R模型如下:,由于1,故B點不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,.,2 4 5,2 1 3.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),其最優(yōu)解為:,對于決策點C,因為點C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.,其對應(yīng)的C2R模型如下:,由于1,故C點不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,.,(4) DEA方法在評價中的應(yīng)用,應(yīng)用DEA 方法評價企業(yè)經(jīng)濟效益的步驟是： 確

38、定評價目標(biāo)； 建立評價指標(biāo)體系； 收集和整理數(shù)據(jù)； 建立DEA 模型，計算分析； 作出評價，提出決策建議。 在實際應(yīng)用中，計算過程均可利用DEA 軟件，也可利用線性規(guī)劃軟件在計算機上實現(xiàn)。,.,衡量某一決策單元 j0是否DEA有效是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個由 n 個決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項產(chǎn)出均不低于 j0 決策單元的各項產(chǎn)出，它的各項投入均低于 j0 決策單元的各項的各項投入。 即有：,（5）構(gòu)建DEA 模型的思路,這說明 j0 決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。,.,基于上述事實，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：,min E,S.t.,j

39、 yrj yrj0 （r = 1，2，s）,j xij E xij0 （i = 1，2，m）,j = 1 ，j 0 （j = 1，2，n）,j=1,j=1,j=1,n,n,n,結(jié)果分析： 1、當(dāng)求解結(jié)果有 E 1 時，則 j0 決策單元非DEA有效； 2、否則，則 j0 決策單元DEA有效。,.,三、 DEA應(yīng)用案例,1.對生產(chǎn)水平的相對有效性分析 -梁敏. 邊馥萍.生產(chǎn)水平的相對有效性分析. 數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究J2003.9：91-94,.,.,利用含有非阿基米德無窮小的CCR模型，對北京地區(qū)建立如下模型：,.,同樣建立其他三個直轄市的模型，求得的解如下：,.,例：醫(yī)院相對效率評價,輸入量

40、 全職非主治醫(yī)師人數(shù) 提供的經(jīng)費 可供住院的床位數(shù) 輸出量 開診日的藥物治療服務(wù) 開診日的非藥物治療服務(wù) 接受過培訓(xùn)的護士數(shù)目 接受過培訓(xùn)的實習(xí)醫(yī)師數(shù)目,.,4類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）,.,4類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）,.,通過建立一個線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。 在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四

41、類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對低效，進而可被認為比其他醫(yī)院相對低效。,.,wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重 所以，DEA模型的第一個約束條件為 wgwuwcws1,.,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即 合成醫(yī)院的輸出量鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量 我們可寫出輸出量的約束條件： 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.72（藥物治療） 43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws45.98（非藥

42、物治療） 253wg+148wu+175wc+160ws175（護士） 41wg+27wu+23wc+84ws23（實習(xí)醫(yī)師）,.,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即 合成醫(yī)院的輸入量鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量 引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源； 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源； 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的目標(biāo)）,.,我們可寫出輸入量的約束條件： 285.20wg+162.30wu+275

43、.70wc+210.40ws275.70E（全職非主治醫(yī)師） 123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws348.50E（提供的經(jīng)費） 106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10E（可提供的住院床位數(shù)） DEA模型的邏輯就是尋求一種合成能否在取得相同的或更多的輸出量的同時只需更少的輸入量。假如這種合成可以得到，那么合成的一部分（如鎮(zhèn)醫(yī)院）將被判定比合成（合成醫(yī)院）低效。,.,min E s.t. wgwuwcws1 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.7 243.10wg+27.11wu+45.98

44、wc+56.46ws45.98 253wg+148wu+175wc+160ws175 41wg+27wu+23wc+84ws23 285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E 123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws348.50E 106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10E E, wg, wu, wc, ws 0,.,模型解得E0.905 這說明合成醫(yī)院能獲得鎮(zhèn)醫(yī)院的每一個輸出量的同時而同時只用鎮(zhèn)醫(yī)院最多90.5的輸入量資源。 因此，鎮(zhèn)醫(yī)院是相對低效（或DEA無效）的。,.,4. DE

45、A有效決策單元的構(gòu)造,評價系統(tǒng)并非所有的決策單元都是DEA 有效，經(jīng)過判定后，如何對一些非DEA有效的決 策單元進行分析，指出造成非有效的原因，并據(jù)此改進為具有 DEA 有效性的決策單元。 為此，需要討論決策單元在相對有效面上的投影。,定義1： DEA 的相對有效面(有效生產(chǎn)前沿面) ：0T X0 0T Y0 = 0,如果決策單元k0是DEA有效，線性規(guī)劃(P)有最優(yōu)解 0、0，并且滿足條件 Vp = 0T Y0 = 1，00，0 0 而 0T X0 = 1，故 0T X0 = 0T Y0 。于是，點(X0,Y0)在超平面上。 并且超平面 上的其它點(X,Y)所表示的決策單元也是 DEA 有效

46、的， 因此，可以利用在相對有效面上 “投影”的方法，改進非 DEA 有效的決策單元。,定義2： 設(shè) 0、s0-、s0+、0 是線性規(guī)劃問題（D）的最優(yōu)解。令,.,定理3： 設(shè),是決策單元 k0 對應(yīng)的 (X0,Y0) 在 DEA 相對有效面 上的投影，,則新決策單元,相對于原來的n個決策單元來說，是DEA 有效的。,新決策單元給出了一個改進非DEA有效決策單元的方法，亦即構(gòu)造新的DEA有效決策單元 的方法。,【例】設(shè)有4個決策單元，2個投入指標(biāo)和1個產(chǎn)出指標(biāo)的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 對非DEA有效的決策單元，求出它在DEA相對有效面上的“投影”，并判定新決策單元的 DEA 有效性。,解：決策

47、單元 1，2，3 均為DEA 有效，決策單元4為非DEA 有效，決策單元 4 對應(yīng)的 線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解為 0=(0,3/5,1/5,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，0=3/5，令,則新決策單元,是決策單元 4 對應(yīng)的 (X0,Y0) 在 DEA 相對有效面 上的投影，,它(作為第 5 個決策單元 )與原來的 4 個決策單元構(gòu)成新的評價系統(tǒng)，如下圖：,.,對應(yīng)的線性規(guī)劃模型（D）為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0=(0,3/5,1/5,0,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，0=1，因此，新決策單元5是DEA有效的。,由此例看出，在評價系統(tǒng)中決

48、策單元4非DEA 有效，用 “投影”方法構(gòu)造了在DEA相對有效面上的新決策單元5。 并且分析決策單元4非DEA 有效的原因是：投入指標(biāo)量過大，經(jīng)過改進，只需要原投入量的3/5，因為決策單元4原投入量為(4，2)T，改進后應(yīng)為(12/5，6/5)T，后者為前者的3/5，產(chǎn)出量不變，相對效率提高，即可轉(zhuǎn)化為DEA 有效的決策單元。,.,四、 DEA軟件介紹,1.DEAP-Version 2.1（Win4deap 1.1.2） .au/econometrics/cepa.htm 2.FRONTIER-Version 4.1C .au

49、/econometrics/cepa.htm 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http:/www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ 4.LINDO軟件,.,五、 DEA主要應(yīng)用領(lǐng)域,1.經(jīng)濟體效率評價： 企業(yè)效率，銀行效率, 鐵路運營 地區(qū)FDI引進效率,投資基金業(yè)績 中國各地區(qū)健康生產(chǎn)效率 2.運行過程評價: 并購效率, 改革績效 3.規(guī)模效率: 企業(yè)規(guī)模經(jīng)濟效率， 科研機構(gòu)規(guī)模效益, 壽險公司規(guī)模效率 4.技術(shù)進步: 中國全要素生產(chǎn)率估算與分析 農(nóng)業(yè)創(chuàng)新系統(tǒng),各省勞動生產(chǎn)率 5.

50、其他方面: 衰退產(chǎn)業(yè)識別,物流園區(qū)投資規(guī)劃,方案評價 可持續(xù)發(fā)展能力，作業(yè)分析,.,六、 DEA最新研究進展,C2R模型之下的DEA有效概念與多目標(biāo)規(guī)劃的Pareto解等價 . DEA模型C2R沒能體現(xiàn)決策者的偏好. 早在1974年P(guān) .L .Yu就給出了多目標(biāo)的非支配解(Nondominated Solution）的概念，已將多目標(biāo)的Pareto解推廣到能體現(xiàn)決策者偏好的非支配解. （多目標(biāo)規(guī)劃中，由于存在目標(biāo)之間的沖突和無法比較的現(xiàn)象，一個解在某個目標(biāo)上是最好的，在其他的目標(biāo)上可能比較差。Pareto 在1986 年提出多目標(biāo)的解不受支配解(Non-dominated set)的概念。其定

51、義為：假設(shè)任何二解S1 及S2 對所有目標(biāo)而言，S1均優(yōu)于S2，則我們稱S1 支配S2，若S1 的解沒有被其他解所支配，則S1 稱為非支配解（不受支配解），也稱Pareto解。）,.,DEA的理論模型擴展 1. 1984年R. D. Banker，Charens和Cooper給出了DEA模型BC2 、 1985年R. Fre和S. Grosskopf 給出了FG模型、 1990年，L. M. Seiford和R. M. Thrall 給出了ST模型綜合DEA模型 2.具有無窮多個決策單元的DEA模型 3.帶有“偏好錐”和“偏袒錐”的DEA模型 4.帶有時間變量的DEA模型、有效區(qū)分DMU DEA與其它方法的結(jié)合應(yīng)用于綜合評價： 1.DEA與模糊數(shù)學(xué)理論的結(jié)合