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1、,第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分,直接積分法;,換元積分法;,分部積分法,一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,本節(jié)內(nèi)容:,一、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2) 用賦值法,故,-5,6,原式 =,四種典型部分分式的積分:,變分子為,再分項(xiàng)積分,因?yàn)榉帜傅膶?dǎo)數(shù)為2xp,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,例4. 求,解:,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被,積函

2、數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,注意本題技巧,按常規(guī)方法較繁,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,設(shè),表示三角函數(shù)有理式,令,萬(wàn)能代換,t 的有理函數(shù)的積分,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,例7. 求,解: 令,則,例8. 求,解:,說(shuō)明: 通常求含,的積分時(shí),往往更方便.,的有理式,用代換,解:,令,原式,例9. 求,.,2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根,根式代換化為有理函數(shù)的積分.,例如:,令,例10. 求,解: 令,則,原式,例11. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式, 取根指數(shù),則有,原式,令,2, 3 的最小公倍數(shù) 6,例12. 求,解: 令,則,原式,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定簡(jiǎn)便,要注意綜合使用基本積分

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