1、第 2 章 關 系 本章討論的關系（主要是二元關系），它仍然是一種集合，但它是比第一章更為復雜的集合。它的元素是有序二元組的形式，這些有序二元組中的兩個元素來自于兩個不同或者相同的集合。因此，關系是建立在其它集合基礎之上的集合。關系中的有序二元組反映了不同集合中元素與元素之間的關系，或者同一集合中元素之間的關系。本章討論這些關系的表示方法、關系的運算以及關系的性質(zhì)，最后討論集合A上幾類特殊的關系。,主要內(nèi)容如下： 2.1 笛卡爾積與關系 2.5 等價關系 2.2 關系的表示 2.6 相容關系 2.3 關系的復合運算 2.7 偏序關系 2.4 關系的性質(zhì)與閉包,有序n元組與n個元素的集合，是不相

2、同的。,例如 但,2.1 笛卡爾積與關系 一、有序n元組與笛卡爾積 1. 有序n元組 定義2-1 由n個具有給定次序的個體 組成的序列稱為有序n元組，記作（ ）。,例如 4,4,3,2=4,3,2 但 (4,4,3,2)(4,3,2),定義2-2 設 和 是兩個有序n元組，若 ,則稱這兩個有序n元組相等，并記作,當n=2時，有序二元組(a,b)又稱為序偶。,2. 笛卡爾積 (1)笛卡爾積的定義 定義2-3 設A1,A2,.,An為任意n個集合， 定義A1,A2 ,.An,的 笛卡兒積為 A1A2.An(a1,a2,.,an)|a1A1,a2A2,.anAn 特別的 是A和B的笛卡兒積。,例1

3、設,則,但,所以叉乘運算不滿足交換率。,叉乘運算也不滿足結(jié)合率 。,所以,例 2 設,則,因為,例 設 則,笛卡爾積 我們常記作,當 或者 時， ，即 。,（3）與笛卡爾積有關的一些恒等式 設A、B、C是任意的集合，則有 1） 2） 3） 4）,（2）笛卡爾積的基數(shù) 當A和B均是有限集時， 必為有限集，而且 當其中有一個是無限集時，必為無限集。 這個結(jié)論對n個有限集的笛卡兒積也成立。即當A1, A2, ., An都是有限集合時： #(A1A2.An)(#A1) (#A2). (#An),以第一個等式 為例，給出其證明。,證明 設 ，,則 ，且 ,因此 或 。,于是 或 ，,即 ，,故 。,即

4、，且（ 或 )，,反之，設 ，,則 或 ，,于是( 且 ）或( 且 ），,即 且（ 或 ）,即 且 ，因此 ,故 。,由上證得,二、關系 1. 關系的定義 定義2-4 笛卡爾積A1A2.An的任意一個子集 稱為是A1,A2,.,An上的一個n元關系，當 A1A2.AnA時，稱 是A上的n元關系。, 1 A1A2A3 , 2 A1A2A3 ,例2 A1= 0, 1 A2= 1 A3= 1 , 2 1= (0,1,2) 2= (1,1,1) , (0,1,1) 3= (4,0,1) , ( 0,1,1) 問 1，2，3是否為A1，A2 ，A3上的關系。,解：因為A1A2A3 (0,1,1),(0,

5、1,2),(1,1,1),(1,1,2) ,所以1，2是A1，A2，A3上的關系，3不是。,例3 設A=a,b，B=2,5,8,則,令,因為 ， ， 。,所以， , 和 均是由A到B的關系。,又,令,因為 , 。,所以 和 均是由 B 到 A 的關系。,對于 ,令,因為 ， ，,所以 和 均是集合B上的關系。 若 ，則稱a與b有關系 ，又記作 。 若 ，則稱a與b沒有關系 ，又記作 。 例如 在上例中 ， ，但,全域關系（或普遍關系） 因為 , 。 所以 是一個由 到 的關系。 是 上的一個關系。 常將 記作,恒等關系 定義集合 上的恒等關系,例4 設,則,是 上的恒等關系。,是 上的普遍關系

6、。,3. 關系的定義域和值域 定義2-5 設 是由 到 的一個關系， 的定義域記作 ， 的值域記作 ，分別定義為：,顯然有,例5 設 。,由 到 的關系 定義為：當且僅當a整除b時，有 。,于是,的定義域 ，值域,2.設 ， ，由 到 的關系 則用列舉法表示 ,3. 設 , 。 則 ,4. , 則 _ _ 由 到 不同的關系的個數(shù)是 _,5. 設 則 _ _ A上不同關系的個數(shù)是 _,6. 設 則 _ _ A上不同關系的個數(shù)是 _,2.2 關系的表示 一、集合表示法 用表示集合的列舉法或描述法來表示關系。,例1 設 , , 用描述法定義由A到B的關系 ，試用列舉法將 表示出來。,解,例2 有王

7、、張、李、何是某校的老師，該校有三門課程：語文、數(shù)學和英語，已知王可以教語文和數(shù)學，張可以教語文和英語，李可以教數(shù)學，何可以教英語，若記A=王，張，李，何，B=語文，數(shù)學，英語。那么這些老師與課程之間的對應關系就可以用由A到B的一個關系 中的序偶來表示。,=(王,語文),(王,數(shù)學),(張,語文),(張,英語),(李,數(shù) 學),(何,英語),二、矩陣表示法,定義2-6 設 A 、B 都是有限集， , ，由A到B的關系 可以用一個 的矩陣 來表示， 的第i行第j列的元素 取值如下： 矩陣 稱為 的關系矩陣。,1 5 7,例1中的 ， ,例3 設 ，A上的關系 解,則 可以用一個 的矩陣來表示。,

8、1 2 3 4,三、關系圖表示法 關系圖由結(jié)點和邊組成,例如 例1中的 ， ,例如 例3中的 ，,的關系圖如下：,對圖中任意的兩結(jié)點ai和aj，若存在l-1個結(jié)點ak1， ak2，.，akl-1使得aiak1，ak1ak2，.，akl-1aj，則 我們就說從結(jié)點ai到aj有一條長為 l 的路(l1)。即在 圖中從ai到aj沿箭頭方向通過了l條邊。若ai=aj，則這條路就成為一條回路。,結(jié)點a到結(jié)點d有一條長為3的路，結(jié)點a到結(jié)點a有長為3的回路。,練習2.2 設 ， ，A到B的關系 試構(gòu)造出 的關系矩陣,0 2 4,2. 設 ，A上的關系 試畫出 和 的關系圖。,2.3 關系的復合運算 一、關

9、系的并、交、補運算,例1 設 ，,則,若 和 都是由集合 A 到 B 的關系， 則 ， 。 于是 ， ， 因此 ， 和 也都是由 A 到 B 的關系。,若將 看作是全集U，則 是由A到B的(補)關系。,例2 設 ，,這里 .,設由A到B的關系 ,均是由A到B的關系。,則,二、求逆關系的運算 定義2-7 設 A 、 B 是任意集合， 是由 A 到 B 的關系，定義由 B 到 A 的關系 稱 為關系 的逆關系。,解 由 的定義知,于是,例3 設 ， ， 定義由A到B的關系 ：當且僅當 a 整除 b 時，有 ，試求 的逆關系 。,三、關系的復合運算 1. 復合關系的定義,定義2-8 設 是由A到B的

10、關系， 是由B到C的關系，則 和 的復合關系是一個由A到C的關系，用 表示，定義為：當且僅當存在元素 ，使得 ， 時，有 。 這種由 和 求復合關系 的運算稱為關系的復合運算。,例4 設 是由 到 的關系。 是由 B 到 的關系。 分別定義為：,于是復合關系,2. 關系復合運算的性質(zhì),定理2-1 設 是由集合A到B的關系，則,例5 以例4中的關系 為例，,定理2-2 設 是由A到B的關系， 是由B到C的關系， 是由C到D的關系，則有,例6 設 ， ， , . A到B的關系 B到C的關系 C到D的關系,則A到C的關系,因此,因此,所以,則,但是 沒有意義，因此,設 ， ， A到B的關系 B到A的

11、關系,則,因此,設 ， ， A到B的關系 B到C的關系,下面我們來證明定理2-2.,證明：根據(jù)復合關系的定義知,從而 和 同是A到D的關系。,若(a,d) ，則存在bB，,則存在cC，使(b,c) 且(c,d) 。,再由(a,c) ，(c,d) 可得(a,d) ,所以,類似可證,使(a,b) 且 (b,d) 又由(b,d) ,因此,一般地，若 是一由 到 的關系， 是由 到 的關系， 是一由 到 的關系，則不加括號的表達式 ， 唯一地表示一由 到 的關系，在計算這一關系時，可以運用結(jié)合律將其中任意兩個相鄰的關系先結(jié)合。 特別,當 ， 時，復合關系 簡記作 ，它也是集 A 上的一個關系。,定義2

12、-9:設 AA，nZ，則的第n次冪為： （1）0 (a,a) | aA IA （2）n+1n,例：A 2,3,5,7 ， 0 (2,2), (3,3), (5,5), (7,7)IA (2,3), (3,5) , (5,7) 2 (2,5) , (3,7) 3 (2,7) 4=,3. 求復合關系的幾種方法 （1）根據(jù)復合關系的定義求復合關系,例6中求復合關系采用的就是這種方法。,又例如 下面的關系圖給出了從集合A到B的關系 和從B到C的關系,（2）運用關系矩陣的運算求復合關系,例如, 關系矩陣的乘積 對兩個關系矩陣求其乘積時，其運算法則與一般矩陣的乘法是相同的，但其中的加法運算和乘法運算應改為

13、布爾加和布爾乘。,定義2-9：設M1=(rij(1)是一個l m的關系矩陣， M2(rij(2)是一個mn的關系矩陣，則M1與M2 的乘積記為M1M2=(rij)是一個ln的關系矩陣。 其中 （j=1,2,.,l ; i=1,2,.n）,例7 設 和 是兩個關系矩陣,則,復合關系的關系矩陣,定理2-3 設A、B、C均是有限集， 是一由A到B的關系, 是一由B 到C 的關系，它們的關系矩陣分別為 和 ，則復合關系 的關系矩陣,例8 設有集合 ， ， A到B的關系 B到C的關系,2 3 4,與例7比較得,則,1 2 3,1 2 3,例9 設 ，A上的關系 試求 和 。,解 作出 的關系矩陣 a b

14、 c d,是A到B的關系，的關系矩陣是一個lm的矩陣，由于 是B到A的關系，因為(ai,bj) 當且僅當(bj,ai) 所以 當且僅當 , 故 是ml矩陣，且,逆關系的關系矩陣,如例9,a b c d,（3）利用關系圖求復合關系,設 是有限集A上的關系，則復合關系 也是A上的關系，由復合關系的定義，對于任意的 ，當且僅當 存在，使得 ， 時，有 。,反映在關系圖上，這意味著，當且僅當在 的關系圖中有某一結(jié)點 存在，使得有邊由 指向 ，且有邊由 指向 時，在 的關系圖中有邊從 指向 。,例10 試利用構(gòu)造 和 的關系圖的方法求例9中的 和 。,練習2-3 設 ，A上的關系 則用列舉法表示,3.

15、下圖給出了集合 上的關系 的關系圖，試畫出關系 和 的關系圖。,2.4 關系的性質(zhì)與閉包 一、集合A上關系的性質(zhì),定義2-9 設 是集合A上的關系 （1）若對于所有的 ，均有 ，則稱 在A上是自反的。,（2）若對于所有的 ，均有 ，則稱 在A上是反自反的。,（3）對于所有的 ，若每當有 就有 ，則稱 在 A 上是對稱的。,（4）對于所有的 ，若每當有 和 就必有 ，則稱 在 A 上是反對稱的。,（5）對于所有的 ，若每當有 和 就必有 ，則稱 在 A 上是可傳遞的。,例1 設 ， （1）自反與反自反,自反,自反,反自反,非自反,（2）對稱與反對稱,對稱,非對稱,非對稱，反對稱,對稱，反對稱,（

16、3）可傳遞與不可傳遞,可傳遞,不可傳遞,可傳遞,例2 設 ，A上的關系,則,自反,對稱,對于任意的 若,則 也是偶數(shù)。,因此 是可傳遞的。,若 是對稱的，則關系矩陣關于主對角線對稱。 若 是反對稱的，則關系矩陣中，關于主對角線對稱的元素不同時為1。,若 是自反的，則關系矩陣的主對角線上的所有元素均為1。 若 是反自反的，則關系矩陣的主對角線上所有元素均為0。,2. 關系圖,若 是自反的，則關系圖中每一結(jié)點引出一個指向自身的單邊環(huán)。 若 是反自反的，則關系圖中每一結(jié)點均沒有單邊環(huán)。,若 是對稱的，則在關系圖中，若兩結(jié)點之間存在有邊，則必存在兩條方向相反的邊。 若 是反對稱的，則在關系圖中，任意兩

17、個不同的結(jié)點間至多只有一條邊。,若 是可傳遞的，則在關系圖中，若每當有邊由 指向 ，且又有邊由 指向 ，則必有一條邊由 指向 。,例3 設 ，下面分別給出集合A上三個關系的關系圖，試判斷它們的性質(zhì)。,解 （1） 是自反的，非對稱，不是反對稱，不可傳遞。,（2） 非自反，也不是反自反，非對稱，反對稱， 可傳遞。,（3） 是自反的，對稱的，可傳遞的，不是反自反，也不是反對稱。,三、集合A上關系的閉包 1. 閉包的定義,例4 設 ，A上的關系 ,則,顯然， 是自反的。,定義2-10 設 是集合A上的關系，由下式定義的A上的關系 稱為 的自反閉包。,定義2-11 設 是集合A上的關系，由下式定義的A上

18、的關系 稱為 的對稱閉包。,例5 例4中的 。,它不是對稱的,則,顯然， 是對稱的。,定義2-12 設 是集合A上的關系，由下式定義的A上的關系 稱為 的傳遞閉包。,當A是有限集時，A上只有有限個不同的關系，因此，存在某個正整數(shù)m，使得,事實上，可以證明，若 ，則,例6 設 ，A上的關系,則,注意到 , 則,2. 閉包的性質(zhì) 集合A上關系的三個不同的閉包具有如下類似的性質(zhì)。 定理2-4 設 是集合A上的關系，則 的自反閉包 具有以下性質(zhì)： （1） 。 （2） 是自反的。 （3）對于A上任何關系 ，若 自反且 ，則,證明 ，所以性質(zhì)（1）,（2）顯然成立。,設 是A上的關系， 自反且 ，,則由

19、自反，可知,由 和 知 ，即 。,定理2-5 設 是集合A上的關系，則 的對稱閉包 具有如下性質(zhì)： （1） （2） 是對稱的 （3）對于A上任何關系 ，若 對稱且 ， 則,證明 所以性質(zhì)（1）、（2）顯然成立，,設 是A上的關系， 對稱且 ,則對任意,必有 ，由 ，必有 ，,又由 的對稱性，有 ，因此 。,由 和 知 ，即 。,證明 根據(jù) ，性質(zhì)（1）顯然成立。,于是 ， 即 ，,定理2-6 設 是集合A上的關系，則 的傳遞閉包 具有如下性質(zhì): （1） （2） 是可傳遞的 （3）對于A上任何關系 ，若 可傳遞且 ， 則 。,設 ，,設 是A上的任意一個包含 的可傳遞關系。,又設,因此必存在元素

20、 ， 使得,因為 ，所以 。,而 是可傳遞的，因此 即 ，故有 。,，則存在正整數(shù)k，使得 ，即 。,四、如何利用關系矩陣和關系圖求關系的閉包 例7 設 ，A上的關系 求 。,1. 利用關系矩陣求 的閉包,(1),因為 所以,于是,注意 是 的轉(zhuǎn)置矩陣。,根據(jù) 的關系矩陣。,于是,（3）因為 ，所以,對任意 ，只要 屬于 、 、 、中任何一個關系，則 ，,于是,于是,r() 的關系圖,t()的關系圖,S()的關系圖,練習2-4 1. 從下列各題給出的備選答案中選出正確的答案，并將其代號填入題后面的括號內(nèi)。 (1) 設A=0,1,2,3，A上的關系=(0,0),(0,2),(1,1),(1,3)

21、,(2,2),(2,0),(3,1)，則是 自反的 B. 對稱的 C. 反對稱的 D. 可傳遞的 ( ),B,（2) 設是整數(shù)集I上的關系，定義為當且僅當 時 ， ，則是 自反的 B. 對稱的 C. 反對稱的 D. 可傳遞的 ( ),A、B,2. 下圖給出了1,2,3上三個關系的關系圖，試對每一個圖所表示的關系的性質(zhì)作出判別，并將選中的性質(zhì)的代號填入相應的括號內(nèi)。 若 A. 自反的 B. 對稱的 C. 反對稱的 D. 可傳遞 E. 反自反 則 是（ ） 則 是（ ） 則 是（ ）,AB,A,E,3. 設 ，A上的關系 對下列求出的閉包判斷正確與否，分別將“Y”或“N”填入后面的括號。 （ ）

22、（ ） （ ）,N,Y,N,2.5 等價關系,一、等價關系的定義 1. 等價關系,定義2-13 集合A上的關系，如果它是自反的，對稱的，且可傳遞的，則稱是A上的等價關系。,例1 設A是任意集合，則A上的恒等關系和普遍關系UA均是A上的等價關系。,例2 設 ，A上的關系,是A上的等價關系。,3. 等價類,定義2-14 設是集合A上的等價關系，則 A 中等價于元素 a 的所有元素組成的集合稱為 a 生成的等價類，用 表示，即,例如 對于例2中的來說,因為對于任意的aA,有aa，所以 。,2. 對任意的a,bA 若 ab ，則 。,由的對稱性有xa ，,證明 若 ，則ax ，,又由的傳遞性有xb ，

23、因此,故 。,類似地可以證明 由上得,3. 對任意a,bA，若 ，則,證明（用反證法） 假設 ,則A中至少有一元素,因此 且 ，,即xa，且xb,于是由ax,xb，得ab，,故,與 相矛盾。,例3 設A=a,b,c,d，A上的關系,是A上的等價關系,同一個等價類中元素均相互等價。不同等價類中的元素互不等價。,三、集合的分劃,定義2-15 設有非空集合A，H=A1、A2、Am，其中 ，且 （i=1，2，m），若,（1） ，當ij時 ( 2 ),都是A的分劃,則稱H是集合A的一個分劃，每一個 稱為這個分劃的一個分塊。,解根據(jù)題意 2，4，8，10,不是A的分劃，,可成為A的一個分劃。,10，15,

24、3，9，15,（1）對每一元素aA， 是A的非空子集。,（2）對任意a,bA，或者 與 是A的同一子集或者,另一方面，對任一 ，而,四、等價關系與分劃 集合A上的等價關系與集合A上的分劃具有一一對應關系。 定理2-7 設是集合A上的一個等價關系，則集合A中所有元素產(chǎn)生的等價類的集合 是A的一個分劃。,（3）對所有的元素的等價類求并集，顯然有 .,所以 ，因此 ，故 。,例3中等價關系的等價類構(gòu)成A的分劃為,這種由等價關系的等價類所形成的A的分劃稱為A上由導出的等價分劃，記作 ；或者稱此等價分劃 為A關于的商集，用A/ 表示, A/ 的基數(shù)(即A在下不同等價類的個數(shù))稱為的秩. 例如 在集合A=

25、a,b,c,d上，例2中等價關系的等價類構(gòu)成A的分劃為,定理2-8 設 是集合A的一個分劃，則存在A上的一個等價關系，使得是A上由導出的等價分劃。,證明： 在集合A上定義一個關系，對于任意的a,bA，當且僅當a與b在同一分劃塊中時，有ab。,對任意aA，a與a在同一分劃塊中，所以有aa，即自反。,又對任意的 a,bA,若a與b在同一分劃塊中，則b與a在同一分劃塊中.,對于任意a,b,cA，若a與b在同一分劃塊中，b與c在同一分劃塊中，,因為 ，所以a與c也在同一分劃塊中，此即,若ab，bc，則必有ac，因此是可傳遞的。,例4 設A=a,b,c,d，A上的分劃 試求出等價關系 和 ，使得 和 的

26、等價類分別是 和 的分劃塊。,解 定義A上等價關系 則,定義A上的等價關系 則,例5 設A=a,b,c，求出A上所有的等價關系。,解 先求出A上有多少個不同的分劃。,分成一個分劃塊的分劃,分成兩個分劃塊的分劃,分成三個分劃塊的分劃,因此，A上有5個不同的分劃，如下圖所示,記與分劃 相對應的等價關系為,練習2-5 1. 下列是集合A=1,2,3,4上的關系，判斷哪些是等價關系，若是，則在其后的括號中填入“Y”，否則填入“N”。 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） （5） （ ）,N,N,N,Y,Y,(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,b)

27、,(d,b),(b,d),(c,d),(d,c),2.6 偏序關系 一、偏序關系的定義 定義2-16 集合A上的關系，如果它是自反的，反對稱的且可傳遞的，則稱是A上的偏序關系, 偏序關系通常用符號“” 表示.,例1 實數(shù)集R上的“小于等于”關系顯然是一個偏序關系。,例2 全集合U的冪集2U上的“ ”關系也是一個偏序關系。,例3 設A=1,2,3,4,6,8,12，定義A上的整除關系為：當且僅當a整除b時，有ab，則是A上的偏序關系。,實數(shù)集R上的“”關系不是偏序關系。,2U上的真包含關系“ ”也不是偏序關系。,二、偏序關系的次序圖,有限集A上偏序關系“”的次序圖具有#A個結(jié)點，,若元素ab且a

28、b時，則結(jié)點a畫在結(jié)點b的下方。,若ab ，且在集A中不存在任何其它元素c，使得ac,cb，則一條有向邊由a指向b。,例4 設U=a,b,c，則“ ”關系是2U上的偏序關系，,偏序關系“ ”的次序圖如下：,三、全序 設“”是集合A上的一個偏序關系，若對于任意a,bA，必有ab和ba，則元素a和b稱為可比的，否則稱a和b是不可比的.,定義2-17 設是集合A上的一個偏序，若對于任意元素a,bA，必有ab或ba，則稱它為A上的一個全序。,在例4的包含關系中, 和 是可比的；而 和 是不可比的.,例如 實數(shù)集R上的數(shù)之間的小于或等于關系“”就是R上的一個全序，,正整數(shù)集N上的小于或等于關系“”也是N

29、上的一個全序。,N上的整除關系就僅是一個偏序而不是全序。,例5 設A=1,2,8,24,48，則A上的整除關系是A上的偏序，并且也是一個全序,例如 詞典編輯次序就是全序 (首先規(guī)定a b z),設兩個單詞u1u2uh和v1v2vk ,假定hk，若,(1) u1v1且u1v1, 則u1u2uh v1v2vk；,(2) u1=v1，u2=v2, ，ur =vr (rh), 但是ur+1 vr +1 且 ur+1 vr +1，則u1u2uh v1v2vk ；,(3) u1=v1，u2=v2, ，uh =vh ，則u1u2uh v1v2vk ；,(4) 否則v1v2vk u1u2uh,例如 eleve

30、n relation；(1),compute comrade；(2),compute computer；(3),get go；(4),四、良序,例 實數(shù)集R上的“”關系是一個偏序關系，是全序，但不是良序，因為開區(qū)間(0,1)是R的子集，但(0,1)中沒有最小元素。,例 正整數(shù)集N上的“小于或等于”關系是N上的偏序關系，是N上的全序關系，也是N上的良序關系。,注 全序、良序偏序；,偏序卻不一定是全序、良序；,偏序若是良序，一定是全序；,偏序若是全序，不一定是良序； 例如實數(shù)集R上的“小于等于”關系,偏序若是有限集上的全序，則一定是良序.,練習2-7 1. 對下述論斷判斷正確與否，在相應括號中鍵入

31、“Y”或“N”。 （1）設A=2,3,6,12,24,36，A上的整除關系是一偏序關系，用“”表示。,(b)“”=(2,2),(2,6),(3,3),(3,6),(6,6),(6,12),(12,12),(12,24),(24,24),(36,36) （ ）,N,Y,（2）集合A=3,9,27,54上的整除關系是A上的全序 （ ）,Y,（a）該偏序關系的次序圖是 （ ）,解 滿足上述條件的最小基數(shù)的關系 2 =（2,3），（2,4），（4,3）,一般說，給定1和12，不能唯一的確定2 。 例如2=（2,3），(2,4)，(4,3)，(0,0)，(3,3)也可以.,1給定1=(0,1),（1,2

32、）,（3,4）, 12 =(1,3)， （1,4），（3,3）, 求一個基數(shù)最小的關系 , 使?jié)M足2的條件. 一般地說,若給定1和12 ，2 能被唯一地確定嗎? 基數(shù)最小的2能被唯一確定嗎 ？,例 題,給定1和12，也不能唯一的確定出最小基數(shù)的2。,則2=（2,3），(2,4)，(4,3)或 2=（2,3），(2,4)，(3,3)都可以。,例如 1=（0,1），(1,2)，(3,3)，(3,4)， 12=（1,3），(1,4)，(3,3)，,2下列關系哪一個是自反的、對稱的、反對稱的或可傳遞的？ （1）當且僅當n1n28(n1,n2N）時,有n1n2 （2）當且僅當r1 | r2| (r1,r

33、2R)時,有r1r2,解（1）不是自反的，如4N，但44=168。,是對稱的，因為 對于任意的 n1, n2N，若有 n1n2 8，則 n2n1 = n1n2 8。,不是可傳遞的，例如，328。,不是反對稱的，例，238，328，但32.,（2）是自反的，因為對任意的rR，有r |r|。,不是對稱的，如-1|3|，但3|-1|。,不是可傳遞的，100|-101|， -101|2|，但100|2|,不是反對稱的，如-3|2|，2|-3|，但-32。,設1和2是集合A上的任意兩個關系,判斷下列 命題是否正確,并說明理由. （1）若1和2是自反的，則12也是自反的； （2）若1和2是非自反的，則12也是非自