1、對數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),一、復(fù)習(xí)與引入：,1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.,2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.,4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,5.由前面幾節(jié)課的知識,我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的 冪函數(shù)、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但還缺少指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而這就是我們今天要新學(xué)的內(nèi)容.,有了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也就解決了初等函數(shù)的可導(dǎo)性.結(jié)合前一章節(jié)的知識,我們可知,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)而且可導(dǎo).,二、新課指、對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,1.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,下面給出公式的證明,中間用到重要極限,證:,證:利用對數(shù)的換底公式即得:,2.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,由于以上兩個(gè)公式的證

2、明,需要用到反函數(shù)的求 導(dǎo)法則,這已經(jīng)超出了目前我們的學(xué)習(xí)范圍,因此在這里我們不加以證明,直接拿來使用.,三、例題選講：,例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x,解:(1),(2)法1:,(2)法2:,(3),(4),例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,解:,解:設(shè)y=au,u=cosv,v=1/x,則:,解:,解:函數(shù)的定義域?yàn)?例3:已知f(x)為可導(dǎo)函數(shù),試求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .,解:(1),(2),(3),解此類題應(yīng)注意: (1)分清是由哪些函

3、數(shù)復(fù)合而成的. (2)用逐步的方法來進(jìn)行求導(dǎo).,練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,答案:,例4:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為 為 常數(shù),試求t=1/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度v0.,解:,故當(dāng)t=1/2時(shí),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度v0為:,例5:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線方程.,解:設(shè)該切線與曲線相切的切點(diǎn)為(x0,x0lnx0).,故曲線在點(diǎn)(x0,x0lnx0)處的切線斜率為lnx0+1.,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點(diǎn)為(1,0).,所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0.,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.,練習(xí)2:分別求曲線y=logxe;

4、在點(diǎn)(e,1)處 的切線方程.,延伸:設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x的 最小距離.,答案:,四、小結(jié)：,對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是常用的導(dǎo)數(shù)公式中較 難的兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要熟記公式,會用公式,用活公式.,(2)解決指、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,應(yīng)充分重視指數(shù)、對 數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的準(zhǔn)確使用,以保證變換過程的等價(jià)性.,(3)在求指、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程中,要遵循先化簡,再 求導(dǎo)的原則;要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).,例6:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).,解:(1)兩邊取對數(shù),得lny=xlnx.,由于y是x的函數(shù),由復(fù)合函

5、數(shù)的求導(dǎo)法則對上式兩邊對x求導(dǎo),可得:,(2)兩邊取對數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對x求導(dǎo),可得:,說明:(1)解法可能對lny求導(dǎo)不易理解,事實(shí)上,若u=lny, y=f(x),則,(2)本題用的求導(dǎo)方法習(xí)慣上稱為對數(shù)求導(dǎo)法,即先兩 邊取對數(shù),再對x求導(dǎo).一般適用于下列兩類函數(shù):,形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函數(shù),取對數(shù)后,可 將積轉(zhuǎn)化為和的形式,或 ,取對 數(shù)后,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)和的形式.,無理函數(shù)或形如y=f(x)g(x)這類冪指函數(shù).,(3)對數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn):一是可使問題簡單化(積、商 變和、差,冪、根變積式),二是可使較復(fù)雜函數(shù)求 導(dǎo)變?yōu)榭赡?無求導(dǎo)公式變?yōu)橛星髮?dǎo)公式).,例如我們利用上面例題中的(2)可知 中的n的范圍可以擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù).,又如下面一題我們就有兩種不同的解法:,方法