1、共 50 頁,1,第四十五講 空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系,共 50 頁,2,回歸課本,共 50 頁,3,1.平面的基本性質(zhì) 公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi). 公理2:過不在同一直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 注意: 公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.,共 50 頁,4,注意:,共 50 頁,5,2.空間直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系: 共面與否 公共點(diǎn)個(gè)數(shù),共 50 頁,6,(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行. (3)公理5:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或

2、互補(bǔ).,共 50 頁,7,(4)異面直線的夾角: 定義:已知兩條異面直線a、b經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線aa,bb,我們把兩相交直線a,b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角(或夾角). 范圍: 特別地:如果兩異面直線所成的角是90,我們就稱這兩條直線互相垂直,記作ab.,共 50 頁,8,3.空間中的直線與平面的位置關(guān)系,共 50 頁,9,4.平面與平面的位置關(guān)系有兩種,共 50 頁,10,注意:符合語言:(1)點(diǎn)與線:Al,Al. (2)點(diǎn)與面:A,A. (3)線與線:l1l2,l1l2=O,l1與l2異面. (4)線與面:l,l(l=A,或l). (5)面與面:,=l.,共 50

3、 頁,11,考點(diǎn)陪練,共 50 頁,12,1.下列命題中正確的是( ) A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.兩條直線確定一個(gè)平面 C.兩兩相交的三條直線一定在同一平面內(nèi) D.過同一點(diǎn)的三條直線不一定在同一平面內(nèi) 解析:A、B、C均不滿足公理2及其推論,故D正確. 答案:D,共 50 頁,13,2.若A表示點(diǎn),a表示直線,、表示平面,則下列表述中,錯(cuò)誤的是( ) A.a,AaA B.a,AaA C.A,A,=aAa D.Aa,Aa,共 50 頁,14,解析:a的含義是a上所有點(diǎn)都在平面上,故A正確;反之直線a上有一點(diǎn)不在上,就說明a,故D正確,但是a并不代表所有點(diǎn)都不在上,故B錯(cuò)誤.C就是公理3,故C正確

4、. 答案:B,共 50 頁,15,3.給出下面四個(gè)命題: 如果直線ac,bc,那么a,b可以確定一個(gè)平面; 如果直線a和b都與直線c相交,那么a,b可以確定一個(gè)平面; 如果ac,bc,那么a,b可以確定一個(gè)平面; 直線a過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn),直線b在平面內(nèi)不過該點(diǎn),那么a和b是異面直線.,共 50 頁,16,上述命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析:中,由公理4知,ab,故正確;中,a,b可能異面,故錯(cuò)誤;中,a,b可能異面,故錯(cuò)誤;正確. 答案:B,共 50 頁,17,4.在正方體ABCDABCD中,EF分別為棱AACC的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A

5、DEFCD都相交的直線( ) A.不存在 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有無數(shù)條,共 50 頁,18,解析:在AD延長線上取一點(diǎn)H,使AD=DH,在DC延長線上取一點(diǎn)G, 使CG=2DC,連接HG與EF交于一點(diǎn),延長DC. 連接DF必與DC延長線相交,延長DA,連接DE必與DA延長線相交. 連接AC與EF交于EF中點(diǎn),故選D. 答案:D,共 50 頁,19,5.三條直線兩兩垂直,那么在下列四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論共有( ) 這三條直線必共點(diǎn);其中必有兩條是異面直線;三條直線不可能共面;其中必有兩條在同一平面內(nèi) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè),共 50 頁,20,解析:(1)三條

6、直線兩兩垂直時(shí),它們可能共點(diǎn)(如正方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱),也可能不共點(diǎn)(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故結(jié)論不正確,也說明必有結(jié)論不正確;如果三條直線在同一個(gè)平面內(nèi),根據(jù)平面幾何中的垂直于同一條直線的兩條直線平行,就導(dǎo)出了其中兩條直線既平行又垂直的矛盾結(jié)論,故三條直線不可能在同一個(gè)平面內(nèi),結(jié)論正確;,共 50 頁,21,三條直線兩兩垂直,這三條直線可能任何兩條都不相交,即任意兩條都異面(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故結(jié)論不正確.故選D. 答案:D,共 50 頁,22,類型一點(diǎn)共線問題 解題準(zhǔn)備:證明共線問題的常用方法 (1)

7、可由兩點(diǎn)連一條直線,再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線上; (2)可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上相交兩平面的唯一交線,關(guān)鍵是通過繪出圖形,作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面,證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).,共 50 頁,23,【典例1】 已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF分別為D1C1C1B1的中點(diǎn),ACBD=P,A1C1EF=Q.求證: (1)DBFE四點(diǎn)共面; (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則PQR三點(diǎn)共線.,共 50 頁,24,解 (1)如圖所示,因?yàn)镋F是D1B1C1的中位線, 所以EFB1D1. 在正方體AC1中,B1D1BD, 所以EFBD. 所以EF,BD確定一個(gè)平面,

8、 即DBFE四點(diǎn)共面.,共 50 頁,25,(2)在正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為,又設(shè)平面BDEF為. 因?yàn)镼A1C1,所以Q, 又QEF,所以Q.則Q是與的公共點(diǎn), 同理,P點(diǎn)也是與的公共點(diǎn). 所以=PQ. 又A1C=R, 所以RA1C,R且R, 則RPQ,故PQR三點(diǎn)共線.,共 50 頁,26,類型二線共點(diǎn)問題 解題準(zhǔn)備:證明共點(diǎn)問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上,有時(shí)也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線.,共 50 頁,27,【典例2】 如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF分別為棱AB,AA1的中點(diǎn). 求證:三條直線DA,CE,D1

9、F交于一點(diǎn).,共 50 頁,28,證明 直線DA平面AD1,直線D1F平面AD1,顯然直線DA與直線D1F不平行,設(shè)直線DA與直線D1F交于點(diǎn)M. 同樣,直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行,設(shè)直線AD與直線CE相交于點(diǎn)M. 又EF為棱ABAA1的中點(diǎn),易知MA=AD,MA=AD,所以MM為直線AD上的同一點(diǎn), 因此,三條直線DACED1F交于一點(diǎn).,共 50 頁,29,反思感悟 設(shè)直線DA與直線D1F交于點(diǎn)M,直線DA與直線CE交于M,再證明M,M重合. 證明三線共點(diǎn),可以先說明其中兩條交于一點(diǎn)M,另兩條交于一點(diǎn)N,再想法證明M,N兩點(diǎn)重合.另一種方法是:先證明其中兩條直線交于一點(diǎn),再證

10、明這個(gè)點(diǎn)在第三條直線上.如本題可先說明直線CE和直線D1F共面且交于一點(diǎn)P,而點(diǎn)P既在平面AD1內(nèi),也在平面AC內(nèi),所以點(diǎn)P在它們的交線AD上.,共 50 頁,30,類型三線共面問題 解題準(zhǔn)備:證明共面問題的常用方法 證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi);二是將所有元素分為幾個(gè)部分,然后分別確定幾個(gè)平面,再證這些平面重合.,共 50 頁,31,【典例3】 已知:a,b,c,d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線,求證:a,b,c,d共面. 證明 弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義:四條直線不共點(diǎn)

11、,包括有三條直線共點(diǎn)的情況;兩兩相交是指任何兩條直線都相交.,共 50 頁,32,(1)當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)a,b,c相交于一點(diǎn)A, 直線d和A確定一個(gè)平面.(如右圖) 又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G, 則A,E,F,G,A,E,A,Ea,a. 同理可證b,c, a,b,c,d在同一平面內(nèi).,共 50 頁,33,(2)當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí),如右圖. 這四條直線兩兩相交, 則設(shè)相交直線a,b確定一個(gè)平面. 設(shè)直線c與a,b分別交于點(diǎn)H,K,則H,K. 又H,Kc,c.同理可證d. a,b,c,d四條直線在同一平面內(nèi).,共 50 頁,34,反思感悟 證明若干

12、條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面 內(nèi);二是將所有元素分為幾個(gè)部分,然后分別確定幾個(gè)平面,再證這些平面重合.本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況.因此,在分析題意時(shí),應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義.,共 50 頁,35,類型四異面直線所成的角 解題準(zhǔn)備:1.求異面直線所成的角,關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交,或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置,使其相交.平移直線的方法有:直線平移,中位線平移,補(bǔ)形平移. 2.求異面直線所成的角的一般步驟:一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成

13、的角;二證:即證明作出的角是異面直線所成的角;三求:在三角形中求得直線所成的角的某個(gè)三角函數(shù)值.,共 50 頁,36,【典例4】 在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC= ,且ADBC,對角線 求AC和BD所成的角.,共 50 頁,37,解 作平行線,找與異面直線所成的角相等的平面角,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 如圖,分別取ADCDABBD的中點(diǎn)EFGH,連接EFFHHGGEGF.,共 50 頁,38,由三角形的中位線定理知,EFAC,且EF= ,GEBD,且GE= .GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角. 同理, GHAD,HFBC. 又ADBC,GHF=90, GF2=

14、GH2+HF2=1.,共 50 頁,39,在EFG中EG2+EF2=1=GF2, GEF=90,即AC和BD所成的角為90.,共 50 頁,40,反思感悟 立體幾何中,計(jì)算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證明;(3)計(jì)算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的解法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.,共 50 頁,41,錯(cuò)源一基本性質(zhì)理解不到位 【典例1】 下列說法正確的有( ) (1)在凹凸不平的地面上使用四條腿的凳子比三條腿的凳子更平穩(wěn); (2)兩個(gè)平面有可能只有一個(gè)公共點(diǎn); (

15、3)如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行. A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè),共 50 頁,42,剖析 錯(cuò)解對于基本性質(zhì)理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平穩(wěn)并不取決于凳子腿個(gè)數(shù)的多少,由基本性質(zhì)2可知,三條腿的凳子更平穩(wěn);兩個(gè)平面不可能只有一個(gè)公共點(diǎn),由基本性質(zhì)3可知,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且僅有一條通過這個(gè)公共點(diǎn)的公共直線,也就是說,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們一定有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);由基本性質(zhì)4可知,如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行. 正解 B,共 50 頁,43,錯(cuò)源二 對基本性質(zhì)及其推論的使用條件

16、不當(dāng)而致誤 【典例2】 如圖,已知直線a,b,c,ab,ac=A,bc=B,求證:a,b,c三條直線共面. 錯(cuò)證 因?yàn)閍b,所以a,b共面, 因?yàn)閍c=A,所以a,c共面, 因?yàn)閎c=B,所以b,c共面. 所以a,b,c三條直線共面.,共 50 頁,44,剖析 上述“證明”中出現(xiàn)了三次共面,設(shè)為1,2,3,由于無法得知1,2,3是否為同一平面,因此,不能說a,b,c三條直線共面. 證明 因?yàn)閍b,所以a,b可確定一個(gè)平面,設(shè)為. 因?yàn)閏=A,所以Aa,又a,所以A,同理B,故AB,即c. 于是a,b,c在同一平面內(nèi),即a,b,c三條直線共面.,共 50 頁,45,技法一快速解題(動(dòng)手操作) 【

17、典例1】 已知直線a與直線b相交于點(diǎn)P,a與b夾角(交角中不大于90的角)為60,試問空間中過點(diǎn)P的所有直線中: (1)與直線a、b夾角均為10的直線有_條; (2)與直線a、b夾角均為30的直線有_條; (3)與直線a、b夾角均為45的直線有_條; (4)與直線a、b夾角均為60的直線有_條; (5)與直線a、b夾角均為80的直線有_條; (6)與直線a、b夾角均為90的直線有_條.,共 50 頁,46,解題切入點(diǎn) 憑借空間想象能力,結(jié)合動(dòng)手操作直線模型(選用幾支鉛筆作直線模型),本題即可輕松獲解. 解析 如圖直線a、b夾角為60,l1、l2分別是其夾角(60)及其補(bǔ)角(120)的角平分線,由l1是空間中與直線a、b夾角最小的直線知,與直線a、b夾角均為10的直線有0條;同理在圖中,讓l1與l2各在其所在的,與直線a、b確定的平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),會(huì)得出與直線a、b夾角均為30的直線只有1條,即l1;,共 50 頁,47,與直線a、b夾角均為45的直線有2條;與直線a、b夾角均為60的直線有3條;與直線 a、b夾角均為80的直線有4條;與直線a、b夾角均為90的直線有1條. 答案 (1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)1,共 50 頁,4