1、第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),2.1 概述,2.2 邏輯函數(shù)及其表示法,2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法,2.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法,退出,事物往往存在兩種對(duì)立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。,邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有和兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算。,邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。 邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)

2、立的邏輯狀態(tài)。,邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說(shuō)條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來(lái)表示，也就是用邏輯代數(shù)來(lái)描述。,2.1 概述,2.2.1 基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算,2.2.2 幾種導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算,2.2.3 邏輯函數(shù)及其表示法,退出,2.2 邏輯函數(shù)及其表示法,2.2.4 邏輯函數(shù)表示法之間的相互轉(zhuǎn)換,1、與邏輯（與運(yùn)算）,與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y,2.2.1 基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算,兩個(gè)開關(guān)必須同時(shí)接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈不亮。,A接通、B

3、斷開，燈不亮。,A、B都接通，燈亮。,這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來(lái)的表格叫做真值表。,將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系：,功能表,實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號(hào)：,真值表,邏輯符號(hào),2、或邏輯（或運(yùn)算）,或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡Y,兩個(gè)開關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：,+,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈亮。,A接通、B斷開，燈亮。,A、B都接通，燈亮。,實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為

4、或門?；蜷T的邏輯符號(hào)：,Y=A+B,真值表,功能表,邏輯符號(hào),3、非邏輯（非運(yùn)算）,非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：,開關(guān)A控制燈泡Y,實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號(hào)：,A斷開，燈亮。,A接通，燈滅。,真值表,功能表,邏輯符號(hào),1、與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2、或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2.2.2 幾種導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算,3、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,4、 與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2.2.3 邏輯函數(shù)及其表示方法,1、真值表,真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。,真值表列寫方法

5、：每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，n個(gè)變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來(lái)，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。,例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)，函數(shù)Y=1；否則Y=0。,2、邏輯表達(dá)式,邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。,函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。,3、卡諾圖,卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。,邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的

6、方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。,4、邏輯圖,邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。,、波形圖,波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。,2.2.4 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換,1、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換,真值表,邏輯表達(dá)式或卡諾圖,1,1,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,化簡(jiǎn),2,或,2,畫邏輯圖,3,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用與非門實(shí)現(xiàn)，將最簡(jiǎn)與或表達(dá)式變換成最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式,3,2、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換,邏輯圖,邏輯表達(dá)式,1,1,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,化簡(jiǎn),2,2,從輸入到輸出逐級(jí)寫出,最簡(jiǎn)與

7、或表達(dá)式,3,真值表,3,2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式和定律,2.3.2 邏輯代數(shù)的三個(gè)重要規(guī)則,退出,2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律,1、常量之間的關(guān)系,2、基本公式,分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。,3、基本定律,利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明AB=BA：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等冪律AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1律A+1=1,證明分配律：A+BA=(A+B)(A+C),證

8、明：,4、常用公式,分配律A+BC=(A+B)(A+C),0-1律A1=1,分配律A(B+C)=AB+AC,0-1律A+1=1,例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：,1、代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。,2、反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：,2.3.2 邏輯代

9、數(shù)的三個(gè)重要規(guī)則,3、對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。例如：,對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：,注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。,本節(jié)小結(jié),邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問(wèn)題抽象為邏輯函數(shù)來(lái)描述，并

10、且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。 與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。 邏輯代數(shù)的公式和定率是推演、變換及化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)。,2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法,2.4.1 化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn),2.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法,退出,對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)和變換，可以得到最簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)式和所需要的形式，設(shè)計(jì)出最簡(jiǎn)潔的邏輯電路。這樣可以節(jié)省元器件，優(yōu)化生產(chǎn)工藝，降低成本，提高系統(tǒng)的可靠性，從而提高產(chǎn)品在市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力。,2.4.1 化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn),一、化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的意義,二、邏輯函數(shù)

11、的幾種常見形式,一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、 或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、 或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。,一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。,三、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,1、最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。,2、最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式,非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。,在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反,用摩根定律去掉下面的非號(hào),3、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式,括號(hào)最少、并且每個(gè)括號(hào)內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。,求出反函數(shù)的最

12、簡(jiǎn)與或表達(dá)式,利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式,4、最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式,非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。,求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式,兩次取反,、最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式,非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。,求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式,用摩根定律去掉下面的非號(hào),用摩根定律去掉大非號(hào)下面的非號(hào),2.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法,一、并項(xiàng)法,邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。,若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。,運(yùn)用

13、摩根定律,運(yùn)用分配律,運(yùn)用分配律,二、吸收法,如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。,運(yùn)用摩根定律,（）利用公式，消去多余的項(xiàng)。,如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。,三、配項(xiàng)法,（）利用公式，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。,四、消去冗余項(xiàng)法,例：化簡(jiǎn)函數(shù),解：先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。,求Y的對(duì)偶函數(shù)，便得的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。,2.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法,2.5.1 最小項(xiàng)與卡諾圖,2.5.2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.5.3 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),2.5.4 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn),退出,2.5.1 最小項(xiàng)與卡諾圖,一、最小項(xiàng)的

14、定義與性質(zhì),如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的 全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量 的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱 為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。,3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：,1、最小項(xiàng)的定義,2、最小項(xiàng)的性質(zhì)：,任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。,全部最小項(xiàng)的和必為1。,任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。,通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。,3、最小項(xiàng)的表示方法：,3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小

15、項(xiàng)可以分別表示為：,二、最小項(xiàng)的卡諾圖表示,1、卡諾圖的構(gòu)成,將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。,2、卡諾圖的特點(diǎn),卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)） 。,每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰,最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的,最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的,3、最小項(xiàng)的卡諾圖表示,每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰,每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰,

16、2.5.2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),一、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式,如果一個(gè)與或邏輯表達(dá)式中的每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)，則該邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)與-或式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和的表達(dá)式。對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC來(lái)配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。,如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。,將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。,二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),（1）根據(jù)邏輯式中的變量數(shù)，畫出變量的卡諾圖； （2）在卡諾圖上有最小項(xiàng)的方格內(nèi)填入1，其余的方

17、格內(nèi)填入0 或不填。,1、 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的步驟：,每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰,最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的,最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的,兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量,邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并,先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。,變換為與或表達(dá)式,2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,3、卡諾圖的性質(zhì),（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反

18、變量的因子，保留公因子）。,（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。,（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。,相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為 個(gè)才能合并為一項(xiàng)，并消去 n 個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單。這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理。,小 結(jié),2.5.3 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法和步驟：,1、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖； 2、合并卡諾圖中的相鄰最小項(xiàng)（即將卡諾圖中相鄰的1方格花在一個(gè)圈中） ； 3、將合并化簡(jiǎn)后的各與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，便求得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與-或式。,邏輯表達(dá)式或真值表,卡諾圖,1,1,化簡(jiǎn)示例,合并最小項(xiàng),圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)的方格數(shù)目必須為個(gè)。同一個(gè)方格可同時(shí)畫在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)的方格。,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,