1、4.角平分線（1） 性質(zhì)定理與逆定理,駛向勝利的彼岸,角平分線,你還能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點嗎?,已知:如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E. 求證:PD=PE.,而OPDOPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).,故結(jié)論可證.,老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.,分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的OPDOPE，,你還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎?,角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,你能證明這一結(jié)論嗎?,駛向勝利的彼岸,幾何的三種語言,定理 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來

2、證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖, OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEoB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).,進(jìn)步的標(biāo)志,駛向勝利的彼岸,你能寫出“定理 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?,逆命題 在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,它是真命題嗎?,如果是.請你證明它.,已知:如圖,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E. 求證:點P在AOB的平分線上.,分析:要證明點P在AOB的平分線上,可以先作出過點P的射線OC,然后證明1=2.,老師期望: 你能寫出規(guī)范的證明過程

3、.,駛向勝利的彼岸,逆定理,逆定理 在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,如圖, PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知), 點P在AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).,老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一. 從這個結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?,O,尺規(guī)作圖,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺規(guī)作角的平分線.,1.在OAT和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AO

4、B內(nèi)交于點C.,3.作射線OC.,請你說明OC為什么是AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.,老師提示: 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實掌握.,則射線OC就是AOB的平分線.,挑戰(zhàn)自我,駛向勝利的彼岸,如圖,AD,AE分別是ABC中A的內(nèi)角平分線外角平分線,它們有什么關(guān)系?,老師期望: 你能說出結(jié)論并能證明它.,夢想成真,2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺 1:20 000).,回味無窮,定理 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知

5、) PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等). 逆定理 在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上. PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知), 點P在AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上). 用尺規(guī)作角的平分線. 鄰補(bǔ)角的角平分線之間的關(guān)系. 如,知識的升華,P9習(xí)題1.8 1,2,3題. 祝你成功！,習(xí)題1.8,駛向勝利的彼岸,1.利用尺規(guī)作出三角形三個內(nèi)角的平分線.,老師期望: 先分別作出不同形狀的三角形,再按要求去作圖.,你發(fā)現(xiàn)了什么？,習(xí)題1.8,駛向勝利的彼岸,2. 如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等.,老師期望: 養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣.,習(xí)題1.8,駛向勝利的彼岸,3.已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F. 求證:EB=FC.,老師期望: 做完題目后,一定要“