1、第3講等比數(shù)列,1.等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于 同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫,做等比數(shù)列的_，通常用字母 q 表示.,公比,2.等比數(shù)列的通項公式,設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1qn1.,3.等比中項 若G2ab(ab0)，則G叫做a與b的等比中項. 4.等比數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：anamqnm(n，mN*). (2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.,遞減,(4)已知等比數(shù)列an， 若首項a10，公比q1或首項a10，公比01，則數(shù)列an單調

2、_； 若公比q1，則數(shù)列an為常數(shù)列； 若公比q0，則數(shù)列an為擺動數(shù)列.,5.等比數(shù)列的前 n 項和公式,6.等比數(shù)列前 n 項和的性質,設等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn. 當q1時，Sn_；,若公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍是等比數(shù)列.,na1,C,1.在等比數(shù)列an中，a44，則a2a6( ) A.4 B.8 C.16 D.32,2.(2017 年新課標)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有 如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八 十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7 層塔共掛了 381 盞 燈，且相鄰兩層中的下

3、一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的,),頂層共有燈( A.1 盞 C.5 盞,B.3 盞 D.9 盞,解析：設塔的頂層共有燈 x 盞，則各層的燈數(shù)構成一個首 項為 x，公比為 2 的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的求和公式有,381，解得 x3.即塔的頂層共有燈 3 盞.故選 B.,答案：B,6,1,3.(2015年新課標)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和，若Sn126，則n_.,考點 1,等比數(shù)列的基本運算,解析：設等比數(shù)列的公比為 q，很明顯 q1，結合等比 數(shù)列的通項公式和題意可得方程組： 由可得 q2，代入可得 a1 1. 由等比數(shù)列的通項公式可得 a4a1q3 8

4、. 答案：8,例1：(1)(2017年新課標)設等比數(shù)列an滿足a1a2 1, a1a33，則a4_.,(2)(2016年新課標)設等比數(shù)列an滿足a1a310， a2a45，則a1a2an的最大值為_.,方法二，設等比數(shù)列an的公比為 q，,答案：64,答案：1,121,(3)(2016年浙江)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_. 解析：a1a24，a22a11a11，a23.再由an1 2Sn1，an2Sn11(n2)an1an2anan13an(n2).,答案：32,【規(guī)律方法】在解決等比數(shù)列問題時，已知a1，an，q，n，Sn中任意三個，可求

5、其余兩個，稱為“知三求二”.而求得a1和q是解決等比數(shù)列an所有運算的基本思想和方法.,考點 2,等比數(shù)列的基本性質及應用,答案：C,(2)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_. 解析：因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以lna1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19) (a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50. 答案：50,A.31,B.32,C.63,D.64,(3)(2014年大綱)設等比數(shù)列an的前

6、n項和為Sn，若S23，S415，則S6(),答案：C,【規(guī)律方法】(1)解決給項求項問題，先考慮利用等比數(shù)列的性質“若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq”，再考慮基本量法. (2)等比數(shù)列前n項和的性質：若公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍是等比數(shù)列.,【互動探究】,1.(2017年安徽合肥第三次質檢)在正項等比數(shù)列an中，,A.2015 C.2015,B.2016 D.2016,D,考點 3,等差與等比數(shù)列的混合運算,例3：(2017年新課標)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知S22，S36. (1)求an的通項公式； (2)求S

7、n，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列.,【互動探究】,2.(2017年新課標)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b22. (1)若a3b35，求bn的通項公式； (2)若T321，求S3. 解：設an的公差為d，bn的公比為q， 則an1(n1)d，bnqn1. 由a2b22，得dq3.,(1)由a3b35，得2dq26，,因此bn的通項公式bn2n1，nN*. (2)由b11，T321，得q2q200， 解得q5，q4. 當q5時，由，得d8，則S321. 當q4時，由，得d1，則S36.,思想與方法 分類討論思想在數(shù)列中的應用 例題：(2015年福建)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0， q0)的兩個不同的零點，且 a，b，2 這三個數(shù)可適當排序后 成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則 pq 的值等于,(,),A.6,B.7,C