1、2020/9/10,1,計算方法,第二章 插值法,2.3 均差與牛頓插值公式,2020/9/10,2,2.3.1 均差及其性質(zhì),我們知道,拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)為,形式上太復(fù)雜,計算量很大,并且重復(fù)計算也很多,2020/9/10,3,拉格朗日插值公式可看作直線方程兩點式的推廣，若從直線方程點斜式,出發(fā)，將它推廣到具有n+1個插值點的情況，可把插值 多項式表示為,2020/9/10,4,當(dāng),2020/9/10,5,一、差商(均差),定義2.,稱,2020/9/10,6,2020/9/10,7,二、均差具有如下性質(zhì)：,2020/9/10,8,例,2020/9/10,9,這個性質(zhì)也表明差商與

2、節(jié)點的排列順序無關(guān) (差商的對稱性)。即,2020/9/10,10,性質(zhì)3：若f(x)在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點,則n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：,2020/9/10,11,三、均差的計算方法(表格法):,規(guī)定函數(shù)值為零階均差,均差表,2020/9/10,12,例1:已知下表，計算三階差商,解：列表計算,2020/9/10,13,2.3.2 牛頓插值公式,2020/9/10,14,2020/9/10,15,2020/9/10,16,2020/9/10,17,2020/9/10,18,2020/9/10,19,顯然：,2020/9/10,20,例2：依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過三次的Lagrange

3、插值 多項式及Newton插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。,2020/9/10,21,解：(1)建立Lagrange插值多項式：基函數(shù)為,Lagrange插值多項式為,2020/9/10,22,（2）Newton插值多項式：建立差商表為,2020/9/10,23,Newton插值多項式為,（3）唯一性驗證：將Newton插值多項式按x冪次排列， 便得到,2020/9/10,24,練習(xí)： 已知由數(shù)據(jù)(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)構(gòu)造出的三次插值多項式P3(x)的x3的系數(shù)是6，試確定數(shù)據(jù)y。,2020/9/10,25,四、拉格朗日插值與牛頓插值的比較,2020/9/10

4、,26,2020/9/10,27,一、差分,定義3.,2.3.4 差分及其性質(zhì),2020/9/10,28,依此類推,2020/9/10,29,差分表,2020/9/10,30,二、在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關(guān)系,2020/9/10,31,依此類推,2020/9/10,32,一、牛頓前插公式,等距節(jié)點插值公式,2020/9/10,33,2020/9/10,34,牛頓插值法的優(yōu)點是計算較簡單,尤其是增加節(jié)點時,計算只要增加一項,這是拉格朗日插值無法比的. 但是牛頓插值仍然沒有改變拉格朗日插值的插值曲線在節(jié)點處有尖點，不光滑，插值多項式在節(jié)點處不可導(dǎo)等缺點.,二、牛頓插值公式與拉格朗日插值相比,2020/9/1