1、,（一）函數(shù)的定義,（二）極限的概念,（三）連續(xù)的概念,一、主要內(nèi)容,函 數(shù) 的定義,反函數(shù),反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系,基本初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性,雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù),(一)函數(shù),1、函數(shù)的定義,定義,因變量,自變量,定義域,函數(shù)的分類,函數(shù),初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù)),代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),有理函數(shù),無理函數(shù),有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)),有理分函數(shù)(分式函數(shù)),(1) 單值性與多值性:,2、函數(shù)的性質(zhì),(2) 函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),(3) 函數(shù)的單調(diào)性:,(4) 函數(shù)的有界性:,設(shè)函數(shù) f(

2、x) 的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l 稱為 f(x) 的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,(5) 函數(shù)的周期性:,5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系,3、反函數(shù),6、基本初等函數(shù),2）冪函數(shù),3）指數(shù)函數(shù),4）對數(shù)函數(shù),5）三角函數(shù),6）反三角函數(shù),1）常數(shù)函數(shù),7、復(fù)合函數(shù),8、初等函數(shù),定義,初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則 運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用 一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式,左右極限,兩個(gè)重要 極限,求極限的常用

3、方法,無窮小 的性質(zhì),極限存在的 充要條件,判定極限 存在的準(zhǔn)則,無窮小的比較,極限的運(yùn)算,數(shù)列極限,函 數(shù) 極 限,等價(jià)無窮小 及其性質(zhì),極限 的性質(zhì),兩者的 關(guān)系,無窮大,(二)極限,1、極限的定義,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,左極限,右極限,無窮小:,極限為零的變量稱為無窮小.,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,無窮大:,在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,無窮小與無窮大的關(guān)系,2、無窮小與無窮大,定理1 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是

4、無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,無窮小的運(yùn)算性質(zhì),定理,推論1,推論2,3、極限的運(yùn)算法則,4、求極限的常用方法,a.消去零因子法求極限; b.無窮小因子分出法求極限; c.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; d.利用兩個(gè)重要極限求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限; f.利用等價(jià)無窮小代換求極限; g.利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限,5、判定極限存在的準(zhǔn)則,(夾逼準(zhǔn)則),(1),(2),6、兩個(gè)重要極限,7、無窮小的比較,定義:,定理(等價(jià)無窮小替換定理),8、等價(jià)無窮小的性質(zhì),9.極限的性質(zhì),(局部)有界性,唯一性,定理3,推論,(局部)保號性

5、,(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),子列收斂性,定理4,左右連續(xù),在區(qū)間a,b 上連續(xù),閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),初等函數(shù) 的連續(xù)性,間斷點(diǎn)定義,連 續(xù) 定 義,連續(xù)的 充要條件,連續(xù)函數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì),(三)連續(xù),1、連續(xù)的定義,定義1,則稱函數(shù)y =f (x)在點(diǎn)x0連續(xù).,定義2,則稱函數(shù)y =f (x)在點(diǎn)x0連續(xù).,定義3,則稱函數(shù)y =f (x)在點(diǎn)x0連續(xù).,注意！,3、連續(xù)的充要條件,2、單側(cè)連續(xù),定理,4、間斷點(diǎn)的定義,5、間斷點(diǎn)的分類,第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn):,間斷點(diǎn),(見下圖),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn).,可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無窮型,振蕩型,

6、第二類間斷點(diǎn),6、閉區(qū)間上連續(xù),7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì),定理,定理1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,定理2,定理3,定理4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,8、初等函數(shù)的連續(xù)性,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,例1,解,二、典型例題,例2,解,利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性,代入原方程得,代入上式得,解聯(lián)立方程組,例3,解,將分子、分母同乘以因子(1-x), 則,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解：,例7. 選擇以下給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論,設(shè)f (x) = 2x + 3x 2, 當(dāng)x0 時(shí)，有 (A) f (x)與x 是等價(jià)無窮小 (B) f (x)與 x 同