1、5.5 菲涅耳全息圖,菲涅耳全息圖的特點是記錄平面位于物體衍射光場的菲涅耳衍射區(qū)，物光由物體直接照射到底片上。由于物體可以看作點源的線性組合，所以討論點源全息圖（即基元全息圖）具有普遍意義。,5.5.1 點源全息圖的記錄和再現(xiàn),兩相干單色點源所產(chǎn)生的干涉圖實質(zhì)上就是一個點源全息圖，即波帶片型基元全息圖。假定參考波和物波是從點源 和點源 發(fā)出的球面波，波長為 ，全息底片位于z=0的平面上，與兩個點源的距離滿足菲涅耳近似條件。據(jù)此即可以用球面波的二次曲面近似描述這個球面波。記錄光路圖如下圖,設(shè)投射到記錄平面上的物光波的振幅為O，考慮到一常數(shù)相位因子，寫成 。到達記錄平面的相位以坐標原點0為參考點來

2、計算，并作傍軸近似，即假設(shè) ，于是物光波的相位可簡化為 于是，記錄平面上的物光波可寫成,同理，記錄平面上的參考光可寫成 以上兩式中的 為記錄時所用的波長。記錄平面上的復(fù)振幅分布為 記錄平面上的光強分布為,通常需保持記錄過程的線性條件，即顯影定影后底片的振幅透過率正比于曝光量，即 在透過率中最重要的兩項是,在再現(xiàn)過程中，全息底片由位于 的點源發(fā)出的球面波照明，再現(xiàn)光波波長為 ，如圖5.5.1（b）所示，可記為 全息圖透射項中， 和 是我們感興趣的波前。,同理 （5.510）式和（5.5.11）式的相位中，x和y的二次項是傍軸近似的球面波的相位因子，給出了再現(xiàn)像在z方向的焦點。X和y的一次項是傾斜

3、傳播的平面波的相位因子，給出了再現(xiàn)像離開z軸的距離。因此它們給出了再現(xiàn)光波的幾何描述：一個向像點 會聚或由像點 發(fā)散的球面波。這些球面波在xy平面上的光場傍軸近似具有下列標準形式,為正表示由點 發(fā)出的發(fā)散球面波， 為負表示向點 會聚的球面波 。將它們含x，y的二次項和一次項系數(shù)與（5.5.10）式和（5.5.11）式比較，可確定像點坐標 式中，上面的一組符號適用于分量波U3，下面的一組符號適用于U4。當 為正時，再現(xiàn)像是虛像，位于全息圖的左側(cè)；當 為負時，再現(xiàn)像是實像，位于全息圖的右側(cè)。,像的橫向放大率可以用 和 表示，所以波前再現(xiàn)過程產(chǎn)生的橫向放大率為 像的縱向放大率可以用 表示，所以,5.

4、5.2 幾種特殊情況的討論,（1）當再現(xiàn)光波與參考光波完全一樣時，即 ，由公式（5.5.13）（5.5.15） 可得 及 （5.5.18） （5.5.18）式表明，分量波U4產(chǎn)生物點的一個虛像，像點的空間位置與物點重合，橫向放大率為1。它是原物點準確的再現(xiàn)。分量波U3可以產(chǎn)生物點的實像或虛像，它取決于 的正負。,當 是， ，產(chǎn)生虛像；當 時， 產(chǎn)生實像。在通常情況下，橫向放大率不等于1。 （2）再現(xiàn)光波與參考光波共軛時，即 ，則由（5.5.13）（5.5.15）式可得 及 (5.5.19) M=1 （5.5.19）式表明，分量波U3產(chǎn)生物點的一個實像，像點和物點的空間位置相對于全息圖鏡面對稱。

5、因此，觀察者看到的是一個與原物形狀相同，但凸凹互易的贗視實像。分量U4可以產(chǎn)生物點的虛象，也可以產(chǎn)生物點的實像，這取決于 的正負。,(3)參考光波和再現(xiàn)光波都是沿z軸傳播的完全一樣的平面波，即 則由公式（5.5.13）（5.5.15）可得 可見，此時得到的兩個像點位于全息圖對稱位置，一個實象，一個虛像。 （4）如果物點和參考點位于z軸上，即 這時在線性記錄的全息圖中與（5.5.10）和（5.5.11）式相對應(yīng)的透過率中，重要的兩項是,這時透過率的峰值出現(xiàn)在其相位為 整數(shù)倍的地方，由（5.5.21）式得 即 可見，此時所形成的干涉條紋是一族同心圓，圓心位于原點，為同軸全息圖，其半徑 同軸全息圖的

6、再現(xiàn)可以分為兩種情況： 其一，在軸上照明光源再現(xiàn)的情況下， ，這時像點的坐標是,這表示再現(xiàn)所得到的兩個像均位于z軸上。當照明光源與參考光源完全相同時，即 時，則有 這說明分量波U4產(chǎn)生的虛像與軸上原始物點完全重合，另一個像點的虛實由 的符號決定。當照明光源與參考光源為共軛時，有 這說明分量波U3產(chǎn)生一個與原始物點位置對稱的實像，另一個像點的虛實仍然由 的符號決定。 其二，同軸全息圖也可能用軸外照明光源再現(xiàn)。設(shè)照明光源坐標是 ，這時像點坐標是,注意到 ，說明再現(xiàn)的兩個像點位于通過全息圖原點的傾斜直線上。這表明，即使用軸外照明光源再現(xiàn)，同軸全息圖產(chǎn)生的各分量衍射波仍然沿同一方向傳播，觀察是互相干擾

7、。圖5.5.2給出了電源同軸全息圖再現(xiàn)的情況。,5.6 傅立葉變換全息圖,物體的信息由物光波所攜帶，全息記錄了物光波，也就記錄下了物體所包含的信息。物體信號可以在空域中表示，也可以在頻率中表示，也就是說，物體或圖象的光信息既表現(xiàn)在它的物體光波中，也蘊含在它的空間頻譜內(nèi)。因此，用全息方法既可以在空域中記錄物光波，也可以在頻域中記錄物頻譜。物體或圖象頻譜的全息記錄，稱為傅立葉變換全息圖。,5.6.1 傅立葉變換全息圖,傅立葉變換全息圖不是記錄物體光波本身，而是記錄物體光波的傅立葉頻譜。利用透鏡的傅立葉變換性質(zhì)，將物體置于透鏡的前焦面，在照明光源的共軛像面位置就得到物光波的傅立葉頻譜。在引入?yún)⒖脊馀c

8、之干涉，通過干涉條紋的振幅和相位調(diào)制，在干涉圖樣中就記錄了物光波傅立葉變換光場的全部信息，包括傅立葉變換的振幅和相位。這種干涉圖稱為傅立葉變換全息圖。,實現(xiàn)傅立葉變換可以采用平行光照明和點源照明兩種基本方式，這里我們以平行光照明為例進行分析： 記錄光路見圖5.6.1（a）。設(shè)物光分布為 ，則物光波的頻譜公式為 式中： 是空間頻率；f是透鏡焦距；x，y是后焦面上的位置坐標。平面參考光是由位于物光平面上的點（0，-b）處的點源產(chǎn)生的。點源的復(fù)振幅可用 函數(shù)表示為 ，它在后焦面上形成的場分布為,后焦面上的總的光場分布為 這樣，記錄時的曝光強度為 在線性記錄條件下，全息圖的復(fù)振幅透過率為 假定用振幅為

9、 的平面波垂直照射全息圖，則透射光波的復(fù)振幅為,式中，第三項是原始物的空間頻譜，第四項是共軛頻譜，這兩個譜分別由兩列平面波為載波向不同方向傳播。這樣，就以離軸全息的方式再現(xiàn)了物光波的傅立葉變換。 為了得到物體的再現(xiàn)像，必須對全息圖的透射光場作一次逆傅立葉變換。 在全息圖后方放置透鏡，使全息圖位于透鏡前焦面上，在透鏡后焦面上將的到物體的再現(xiàn)像。再現(xiàn)光路如5.6.1（b）所示。 由于透鏡只能做正變換，所以這里取反演坐標，并假定再現(xiàn)和記錄透鏡的焦距相同，于是后焦面上的光場分布為,有 式中：第一項是 函數(shù)，表示直接透射光經(jīng)透鏡會聚在像面中心產(chǎn)生的亮點；第二項是物分布的自相關(guān)函數(shù)，形成焦點附近的一種暈輪

10、光；第三項是原始像的復(fù)振幅，中心位于反射坐標系的（0，b）處；第四項是共軛像的復(fù)振幅，中心位于反射坐標系的（0，-b）處，第三、四項都是實像。 設(shè)物體在y方向上的寬度為 ，則第二項自相關(guān)函數(shù)的寬度為2 ，原始像和共軛像的寬度均為 ，故要使再現(xiàn)像不受暈輪光的影響，必須使 。 安排光路時應(yīng)保證這一條件。,實現(xiàn)傅立葉變換還可采用波面波照明方式，使物體置于透鏡的前焦面，在點源的共軛像面上得到物光分布的傅立葉變換。用傾斜入射的平面波作為參考光波，也能記錄傅立葉變換全息圖。 根據(jù)完全相同的理由，也可以用球面波照射全息圖，利用透鏡進行逆傅立葉變換，在點源的共軛像面上實現(xiàn)傅立葉變換全息圖的再現(xiàn)。圖5.6.2（

11、a），（b）給出了采用這種方式的記錄和再現(xiàn)光路。 應(yīng)該說明的是：兩種記錄和再現(xiàn)的方法都是獨立的，例如我們可以采用平行光記錄入射記錄，球面波照明再現(xiàn)；反過來也一樣。,5.6.2 準傅立葉變換全息圖,在圖5.6.3所示的光路中，平行光垂直照射物體，透鏡緊靠物體放置，參考點源與物體位于同一平面上，在透鏡后焦面處放置記錄介質(zhì)。,根據(jù)透鏡的傅立葉變換性質(zhì)，則全息圖平面上的物光分布為 式中， ， 是物函數(shù) 的傅立葉變換。 注意：由于該項前面出現(xiàn)的二次相位因子，是物體的頻譜產(chǎn)生了一個相位彎曲，因而全息圖平面上的物光波并不是物體準確的傅立葉變換。 設(shè)參考點位于（0，-b）處，參考點源的表達式為 于是在全息圖平

12、面上的參考光場分布為,這樣，在線性記錄條件下，全息圖的復(fù)振幅透過率為 上式與（5.6.3）式所表示的傅立葉變換全息圖的透過率完全相同，并且球面參考波的二次相位因子抵消了物體頻譜的相位彎曲。 因此，盡管到達全息圖平面的物光場不是物體準確的傅立葉變換，但由于參考光波的相位被補償，我們?nèi)匀荒艿玫轿矬w的傅立葉變換全息圖，故稱為準傅立葉變換全息圖。,若不考慮記錄過程的光路按排，則準傅立葉變換全息圖與傅立葉變換全息圖具有相同的透過率，因此再現(xiàn)方式也相同。 從上面的結(jié)果中，我們得到一個啟示：參考光波的 形式提供了一種額外的靈活性，我們甚至可以采用空間調(diào)制的參考光來記錄一個全息圖。,5.6.3 無透鏡傅立葉變

13、換全息圖,下面我們討論另一種記錄光路，如下圖所示，參考光s束是從和物體共面的一個點發(fā)出的一個球面波。用這種特殊光路所記錄的全息圖可稱為無透鏡傅立葉變換全息圖,下面將闡明其原理： 為了研究這類全息圖的性質(zhì)，我們?nèi)砸玫匠上襁^程的線性特性，但這次是考慮成像系統(tǒng)對單個物點的響應(yīng)，而不是對一個平面物光束的響應(yīng)，用 和 各自代表參考光束和物光束的點源的坐標，它們在乳膠上對應(yīng)復(fù)振幅分布為 因此曝光時的入射光強為,由坐標為 的物點發(fā)出的光波與參考光波相干涉，形成一個正弦型條紋圖樣，其空間頻率為 因此，對于這種特殊記錄光路，物點坐標和全息圖上的空間頻率之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種變換關(guān)系正是傅立葉變換運算的特征，但沒有用變換透