1、6.4數(shù)列求和,-2-,-3-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),-4-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),(3)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng). 常見的裂項(xiàng)公式,(4)錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣. (5)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.,-5-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.(教材改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若an= ,則S5等于(),答案,解析,-6-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S1

2、00等于() A.200B.-200 C.400D.-400,答案,解析,-7-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為() A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2,答案,解析,-8-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),4.sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=.,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),5.(教材改編)1+2x+3x2+nxn-1=(x0且x1).,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.含有字母的數(shù)列求和,常伴隨著分類討論. 2.錯(cuò)位相減法中,兩式相減后

3、,構(gòu)成等比數(shù)列的有n-1項(xiàng),整個(gè)式子共有n+1項(xiàng). 3.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),裂項(xiàng)相消后,前面剩余幾項(xiàng),后面就剩余幾項(xiàng). 4.數(shù)列求和后,要注意化簡(jiǎn),通常要進(jìn)行通分及合并同類項(xiàng)的運(yùn)算.,-11-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,分組轉(zhuǎn)化求和法(考點(diǎn)難度),【例1】 (1)(2018浙江臺(tái)州二模)已知數(shù)列an的通項(xiàng),A.-2 016B.-2 017 C.-2 018D.-2 019,答案,解析,-12-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S4=24,S7=63. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 若bn= +(-1)nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,解:因?yàn)閍n為等差數(shù)列,-1

4、3-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-14-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an=bncn,且bn,cn為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和; (2)通項(xiàng)公式為an= 的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.,-15-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知等差數(shù)列an中,Sn為其前n項(xiàng)和,若a5=11,S20=0. (1)求通項(xiàng)an; (2)設(shè)數(shù)列bn-an是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.,所以an=19-2(n-1)=-2n+21. (2)由題意知bn-an=3n-1,所以bn

5、=3n-1-2n+21,-16-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,錯(cuò)位相減法求和(考點(diǎn)難度) 【例2】 (1)(2017浙江湖州第三次模擬改編)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=6,S5=15,bn= ,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=.,答案,解析,-17-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)(2017山東高考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.,分析:列出關(guān)于a1,d的方程組,解方程組求基本量;用錯(cuò)位相減法求和.,-18-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三

6、,-19-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,解題思路是:和式兩邊同乘等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解. 2.在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.,-20-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018浙江高考)已知等比數(shù)列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿足b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前n項(xiàng)和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.,解:(1

7、)由a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng),得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.,-21-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前n項(xiàng)和為Sn,-22-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-23-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,裂項(xiàng)相消法求和(考點(diǎn)難度) 【例3】 (1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= (nN*),其前n項(xiàng)和為Sn,則在數(shù)列S1,S2,S2 016中,有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為() A.42B.43C.44D.45,答案,解析,-24-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)(2017浙江紹興二診改編)若An和Bn分別表示數(shù)列an和bn的前n

8、項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù)n,an=2(n+1),3An-Bn=4n. 求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;,解:由于an=2(n+1),an為等差數(shù)列,且a1=4.,Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n. 當(dāng)n=1時(shí),b1=B1=8, 當(dāng)n2時(shí),bn=Bn-Bn-1=3n2+5n-3(n-1)2+5(n-1)=6n+2. 由于b1=8適合上式,bn=6n+2.,-25-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-26-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意正、負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng).未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn).,3.在解題中,要善于利用裂項(xiàng)相

9、消的基本思想,變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式,達(dá)到求解目的.歸納起來常見的裂項(xiàng)類型有:,-27-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018天津高考)設(shè)an是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nN*), 求Tn;,解:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因?yàn)閝0,可得q=2,故an=2n-1. 設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13

10、d=16,從而b1=1,d=1,故bn=n. 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=n.,-28-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-29-,又當(dāng)n2時(shí),由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an, 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-1,nN*. (7分),答題規(guī)范求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問題 數(shù)列求和問題主要思路是識(shí)別通項(xiàng)類型,尋找合適的求和方法. 【典例】 (2016浙江高考文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*. (1)求通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列|an-n-2|的前n項(xiàng)和.,-30-,(2

11、)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,nN*,則b1=2,b2=1. 當(dāng)n3時(shí),由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3. (10分) 設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則T1=2,T2=3,-31-,答題指導(dǎo)1.求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和的一般步驟如下: 第一步:求數(shù)列an的前n項(xiàng)和; 第二步:令an0(或an0)確定分類標(biāo)準(zhǔn); 第三步:分兩類分別求前n項(xiàng)和; 第四步:用分段函數(shù)形式下結(jié)論; 第五步:反思回顧,查看|an|的前n項(xiàng)和與an的前n項(xiàng)和的關(guān)系,以防求錯(cuò)結(jié)果. 2.本題求解用了分類討論思想,求數(shù)列|an|的和時(shí),因?yàn)閍n有正有負(fù),所以應(yīng)分兩類分別求和. 3.常出現(xiàn)的錯(cuò)誤:當(dāng)n11時(shí),求

12、|an|的和,有的學(xué)生認(rèn)為就是S11=110;當(dāng)n12時(shí),求|an|的和,有的學(xué)生不能轉(zhuǎn)化為2(a1+a2+a11)-(a1+a2+an),導(dǎo)致出錯(cuò).,-32-,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(15分)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an; (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,解:(1)由題意得5a3a1=(2a2+2)2, (2分) 即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4. (4分) 所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*. (6分),-33-,(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐0,由(1)得d=-1,an=-n+11.,-34-,高分策略1.數(shù)列求和,一